北师大版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考模拟卷（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考模拟卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是，根据一元二次方程的概念逐项判断即可．
【详解】、是分式方程，故不符合题意；
、是二元二次方程，故不符合题意；
、一元二次方程，故符合题意；
、，当时不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：．
2. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A. 12cm2B. 24cm2C. 48cm2D. 96cm2
【答案】B
【解析】
【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
3. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把方程的左边按照平方差公式进行整理，再移项把方程化为从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴

∴方程的一般形式为：
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式： ”是解本题的关键．
4. 在菱形中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用菱形的性质求出∠ABD=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠BAE=70°即可．
【详解】在菱形ABCD∵∠ABC=80°，
∴∠ABD=40°．
∵BA=BE，
∴∠BAE==70°．
故选：A．
【点睛】本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键．
5. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．
【详解】解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，
∵（k-1）2≥0，
即△≥0，
∴方程有两个实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．
【详解】解：列树状图如图所示，
共有9种情况，至少一辆车向右转有5种，
∴至少一辆车向右转的概率是，
故选：D．
7. 如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝( )
A. 90°B. 45°C. 30°D. 22.5°
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图的过程知道：AP是∠CAD的角平分线，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：∵正方形ABCD，∴∠DAC=∠BAC=45°,AD∥CP,由作图可知AP为∠DAC的平分线，∴∠DAP=∠DAC=22.5°, ∵AD∥CP, ∴∠P=∠DAP=22.5°,故答案为22.5°.
【点睛】本题考查了作图，角平分线的性质，根据作图的步骤推知AP是∠CAP的角平分线，是解题的关键．
8. 如图，在中，，，M为上的一动点，于E，于F，N为的中点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．过点A作于点，根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长．根据题意得出四边形是矩形，故可得出，当最小时，最短，此时M与重合，据此可得出结论．
【详解】解：过点A作于点，

∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
，
∴当最小时，最短，此时点M与重合，
．
故选：B．
9. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
∴，
故选：C．
10. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A. 2B. 2C. 2D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为，
在正方形中，
因为 ,
即 ，
∵，
∴，
故答案为：.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是_____________
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案．
【详解】解：
移项，可得
配方，可得，即
∴n的值是6，
故答案为：6．
12. 某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为x，则依题意所列的方程是_____________．
【答案】100（1+x）2=121
【解析】
【分析】根据题意给出的等量关系即可求出答案．
【详解】由题意可知：100（1+x）2=121
故答案为100（1+x）2=121
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型．
13. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有_________个
【答案】14
【解析】
【分析】先由频率估计出摸到黄球的概率，然后利用概率公式求解即可.
【详解】因摸到黄球的频率稳定在0.35左右
则摸到黄球的概率为0.35
设布袋中黄球的个数为x个
由概率公式得
解得
故答案为：14.
【点睛】本题考查了频率估计概率、概率公式，根据频率估计出事件概率是解题关键.
14. 如图，在矩形中，，是线段上的一点，把沿着直线折叠，点恰好落在线段上，且与点重合，若，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，直角三角形的性质，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据四边形是矩形，得出，，设，则， 根据勾股定理得出，求出，即可得到答案．
【详解】解：根据折叠可知：，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴的长为，
故答案为：．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．
【答案】6
【解析】
【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=cm．
又∵AP=，
∴．
∵PE//BC，
∴△APE∽△ADC．
∴，即．
∴
∴PE=AP=．
∴．
∵S1=2S2，
∴，
解得：t=6或t=0（舍去）．
故答案为：6
三、计算题：本大题共1小题，共16分．
16. 解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程；
（1）用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）用公式法解一元二次方程即可；
（4）化成一般式后用配方法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，；
【小问2详解】
解：
∴，
，
或，
解得，；
【小问3详解】
解：
，，，
，
则，
即，；
【小问4详解】
解：整理为一般式，得：，
，
则．
四、解答题：本题共7小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：

（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【答案】（1）40人，补全图形见解析；（2）480人；（3）
【解析】
【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；
（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；
（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可.
【详解】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12-4=8人，
8÷20%=40人，
补全图形如下：

（2）1200×（人）
答：全校B档的人数为480人，
（3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，

所以P（2名学生来自不同年级）=
【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
18. 已知关于的方程－（k＋2）＋2k＝0
（1）说明：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根.
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：由可得方程有两个不相等的实数根；可得方程有两个相等的实数根；可得方程没有实数根，再证明即可．
（2）由先求解 再解方程即可.
【详解】解：（1）由△


所以原方程总有实数根；
（2）由方程有两个相等的实数根可得，

解得
则原方程可化为，解得.
19. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交延长线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，则
当 ______时，四边形是菱形．
当 ______时，四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）①40；②80
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质、菱形的判定，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由证明，得出，即可得出结论；
（2）①证，即可得出结论；
②证，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
又∵O为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：；
②当时，四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：．
20. 某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
（1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
（3）商场日盈利能否达到3300元？
【答案】（1）60件；（2）25元；（3）不能达到，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量，
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，
（3）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案．
【详解】解：（1）当每件盈利50元时，每件商品降价：60-50=10（元），
商场每天可多销售：10×2=20（件），
每天销售：40+20=60（件），
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件，
（2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售2x件，
根据题意得：
（60-x）（40+2x）=3150，
整理得：x2-40x+375=0，
解得：x1=15，x2=25，为减少库存，应舍去15，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元，
（3）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，
则商场每天多销售2y件，
根据题意得：
（60-y）（40+2y）=3300，
整理得：y2-40y+450=0，
∵△=1600-1800=-200＜0，
∴该方程无实数根，
即商场日盈利不能达到3300元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线和角平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证；
（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
22. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
（1）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（3）若可利用的墙长不限，请你设计一下，使得围成的自行车车棚面积最大，并求最大面积．
【答案】（1）自行车车棚的长和宽分别为，
（2）不能，理由见解析
（3）当垂直于墙的长为，平行于墙的长为时使得围成的自行车车棚面积最大，最大面积
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数应用．
（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；
（2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可；
（3）设车棚面积为S，设垂直于墙的长为，则平行于墙的长为，表示出面积，再利用二次函数求最大值即可．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的长为，则平行于墙的长为；
根据题意可得：，
解得，；
当，（米），
当，（米），而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为，．
【小问2详解】
解：根据题意得，，
整理得：；
，
∴此方程没有实数根，
∴因此如果墙长，满足条件的自行车车棚面积不能达到．
【小问3详解】
解：设车棚面积为S，垂直于墙的长为，则平行于墙的长为；
则，
∴对称轴为直线
∵可利用的墙长不限，
∴00，解得
∴当时，车棚面积最大，此时平行于墙的长为；
．
∴当垂直于墙的长为，平行于墙的长为时使得围成的自行车车棚面积最大，最大面积．
23. 如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点．
（1）如图1，当，
①求证：；
①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）．
【答案】（1）①见解析；①见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，，通过证得，即可证得结论；②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，．再证明是三角形的中位线即可解决问题；
（2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设．则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得．
【小问1详解】
证明：①作交的延长线于点，
∵正方形，
∴，四边形是平行四边形，则，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，．
同①，
，
，，
，
，
，
，即；
【小问2详解】
解：过点作交于点，则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
设．则，
在中，，解得，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题．