河北省保定市莲池区爱和城学校2024-2025学年八年级上学期10月测试数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省保定市莲池区爱和城学校2024-2025学年八年级上学期10月测试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：考试时间120分钟，满分120分．
一、选择题（1-12题每小题3分，共36分）
1. 下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A. 9，15，12B. 11，60，61C. 6，8，10D. 0.3，0.4，0.5
【答案】D
【解析】
【分析】若三个整数中两个小数的平方和等于大数的平方，则称这组数为勾股数，根据此含义即可判断．
【详解】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数， 选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，关键是清楚勾股数的含义，特别注意它们必须是整数．
2. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】各式利用平方根、立方根定义计算即可求出值，即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了立方根，平方根以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．
3. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，x+2≥0，
解得x≥-2．
故答案为：B．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4. 下列二次根式能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简选项中各二次根式，根据同类二次根式的定义，逐项分析即可．
【详解】将各选项的二次根式化简如下：
，，，已是最简二次根式，
根据同类二次根式的定义可知，只有与是同类二次根式，可以合并，其它二次根式均于不属于同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
5. 在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（ ）
A. 点A到x轴的距离为3B. 点A与点关于x轴对称
C. 点A与点关于y轴对称D. 点A在第二象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握点的坐标与图形位置是解答本题的关键．
按照点在坐标平面内的特征以及有关对称点的性质求解即可．
【详解】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，故本选项不符合题意；
B、点A的坐标为关于x轴的对称点为，故本选项不符合题意；
C、点A的坐标为关于y轴的对称点为，故本选项不符合题意；
D、点A的坐标为，则点A在第二象限，故本选项符合题意．
故选：D．
6. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故A选项可以证明勾股定理；
B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故B选项可以证明勾股定理，
C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
7. 七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标．
【详解】解：根据题意，建立如下直角坐标系∶
则点C的坐标为．
故选：B．
8. 一支签字笔单价为1.5元，小美同学拿了元钱去购买了支该型号的签字笔，则剩余的钱数与之间的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的实际应用，根据题意，表示出剩余钱数，即可．
【详解】∵一支签字笔的单价为1.5元，
∴购买签字笔的费用为元，
∴剩余的钱数：．
故选：B．
9. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论．
【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴P，
∵平行于x轴，
∴设，
∵，
∴，
∴或，
∴Q或．
故选：A．
10. 平面直角坐标系中，过点−2,3的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点，得出y随x的增大而增大，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答．
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点，
∴y随x的增大而增大．
∵，
∴，
∴A、B、C均错；
∵点在直线l上，
∴．
故选D．
11. 若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的概念和无理数的估算，根据算术平方根的概念和无理数的估算求出，即可，熟练掌握算术平方根的概念和无理数的估算是解题的关键．
【详解】解：∵是的算术平方根，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故选：．
12. 图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形和等边组成，正方形的两条对角线交于点O，校办在CD的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，则九年级学生的行进路线可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确题中各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得，
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A不符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于刚开始的值，从时，y随x的增大先减小后增大，且和前图象对称，故选项C符合要求；
当经过的路线是时，从，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求；
故选：C．
二、填空题（13-16题每小题3分，共12分）
13. 的立方根是________；的平方根是_______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据立方根，平方根的定义进行解答即可得．
【详解】解：①∵，
∴8的立方根为：，
②∵，
又∵，
∴，
故答案：；．
【点睛】本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟记立方根和平方根的定义．
14. 直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是______．
【答案】第二象限
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可．
【详解】解；∵直线经过第二、三、四象限，
∴，
∴，
∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：第二象限．
15. 如图，圆柱形玻璃杯高为5cm，底面周长为12cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离是（杯壁厚度不计）_______cm．
【答案】10
【解析】
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′D=12=6，BD=BE+DE=5+3=8，
在直角△A′DB中，由勾股定理得，
A′B=．
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
16. 如图所示，一个动点P在边长为1的方格中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从点运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，第四次从点运动到点，第五次从点运动到点……按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的位置是 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律，旨在考查学生的抽象概括能力．由题意得动点P运动次后，位置为；可依次得运动次、次、次的位置，即可寻得规律求解.
【详解】解：由题意得：动点P运动次后，位置为；
运动次后，位置为；
运动次后，位置为；
运动次后，位置为；
∵
∴经过第次运动后，动点P的位置是
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算二次根式除法，零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后化简二次根式，再计算加减法即可；
（3）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可；
（4）先化简小括号内的二次根式，再计算小括号内的二次根式加减法，最后计算二次根式除法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题：
（1）画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标；
（2）求的面积；
（3）在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）
【答案】（1）图见解析，，，，
（2）
（3）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求．
【小问1详解】
解：如图1，即为所求．
，，；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
如图2，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
此时点．
19. （1）若满足等式．求的算术平方根．
（2）若的平方根为，．求的立方根．
【答案】（1）2；（2）3
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式得到，再由非负性的性质得到，则可求出，据此计算出的值，再根据算术平方根的定义求解即可；
（2）根据立方根，平方根的定义求出a、b的值，进而求出的值，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵4的算术平方根为2，
∴的算术平方根为2；
（2）∵的平方根为，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵27的立方根为3，
∴的立方根为3．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，完全平方公式，非负数的性质，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根．
20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）风筝的高度为21.6米
（2）他应该往回收线8米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理应用；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得：，
中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米)，
答：风筝的高度为21.6米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
米，
（米)，
（米)，
他应该往回收线8米．
21. 已知点，解答下列各题．
（1）点P在y轴上，求出点P的坐标；
（2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求a的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离：
（1）根据在y轴上的点横坐标为0求出a的值即可得到答案；
（2）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同求出a的值即可得到答案；
（3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，点Q的坐标为，直线轴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵到x轴、y轴的距离相等，，
∴，
∴或，
解得或，
当时，，则
当时，，则
综上所述，点P的坐标为或．
22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）海港C会受台风影响吗？什么？
（2）若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C会受到台风影响，理由见解析
（2）台风影响该海港持续的时间有
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）过点C作于D点，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再由三角形的面积公式可得，即可求解；
（2）当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，过点C作于D点，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
【小问2详解】
解：由（1）得，
如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形，
，
∴，
∵台风速度为，
∴，
∴台风影响该海港持续的时间有．
23. 如图，长方形中，点为平面直角坐标系中的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形移动一周）．设点运动的时间为秒．
（1）直接写出点的坐标；
（2）当点移动了4秒时，求出点的坐标．
（3）在移动过程中，当点到轴距离为4个单位长度时，求点移动的时间．
【答案】（1）
（2）
（3）秒或秒
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形：
根据长方形的性质，易得的坐标，
根据题意，的运动速度与移动的时间，可得运动了个单位，进而结合长方形的长与宽可得答案，
根据题意，当点 到轴距离为个单位长度时，有在与上两种情况，分别求解可得答案．
【小问1详解】
解：长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
∵点在第一象限，
∴点坐标为．
【小问2详解】
解：∵点，，
∴，，
当移动了秒时，移动的距离是个单位长度，，
此时点在线段上，坐标为．
【小问3详解】
根据题意，分两种情况：
①当点在线段上时，此时点移动的距离是个单位长度，移动时间为（秒），
②当点在线段上时，此时点移动的距离是个单位长度，移动的时间为（秒），
综上所述，当点到轴距离为个单位长度时，点移动的时间为秒或秒．
24. 【知识链接】
①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是．
②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，．
（1）【知识理解】填空：的一个有理化因式是_________；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
①_________；②________．
（3）【启发运用】计算：．
【答案】（1）；（答案不唯一）
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）由，即可找出的有理化因式；
（2）①分式中分子、分母同时乘以，即可得出结论；②分式中分子、分母同时乘以，即可得出结论；
（3）利用分母有理化将原式变形为，合并同类项即可得出结论．
【小问1详解】
∵，
∴的有理化因式是；
【小问2详解】
①；
②；
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查二次根式的化简，理解分母有理化的定义，并运用到实际化简中是解题的关键．