人教版2024-2025学年九年级数学上册 第一次月考测试卷（解析版）-A4

这是一份人教版2024-2025学年九年级数学上册 第一次月考测试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析是解决问题的关键．
【详解】解：A、不是一元二次方程，此选项错误；
B、不是整式方程，此选项错误；
C、不是一元二次方程，此选项错误；
D、是一元二次方程，正确；
故答案为：D．
2. 一元二次方程化成一般形式后，若，则，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为，
∴二次项系数和常数项分别为，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
3. 如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（ ）
A. 3或B. 6或C. 1或3D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据流程图可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
解得或，
故选：B．
4. 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：方程 和有一个公共根.


解得：
把代入.
即：

故选C.
5. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上( )
A. 16B. ﹣16C. 4D. ﹣4
【答案】A
【解析】
【详解】x2﹣8x=9配方，得x2﹣8x+42=9+42，即（x－4）2=25，方程左右两边同时加上16.
故选A.
点睛：二次项系数为1时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
6. 把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数平移的问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线解析式为，
故选：C．
7. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A. y＝﹣3（x﹣1）2+3B. y＝3（x﹣1）2+3C. y＝﹣3（x+1）2+3D. y＝3（x+1）2+3
【答案】A
【解析】
【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y＝a（x−1）2＋3，然后把（0，0）代入可求出a的值．
【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，
设二次函数y＝a（x−1）2＋3，
把（0，0）代入得0＝a＋3解得a＝−3．
故二次函数的解析式为y＝−3（x−1）2＋3．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．
8. 一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A. ﹣2B. 1C. 2D. 0
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选D．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
9. 抛物线与x轴的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点个数即为对应的一元二次方程实数解的个数，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴抛物线与x轴的交点个数是2个，
故选：C．
10. 如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设点的运动时间为，则，，
，
，
的面积为，
，
解得：或（舍），
即使的面积为，则点P运动的时间是，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）
11. 已知 是关于x的一元二次方程，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________．
【答案】x＋3＝0(或x－1＝0)
【解析】
【分析】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．
【详解】解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0．
故答案为x﹣1=0或x+3=0．
13. 设a、b是方程的两个不等的根，则a2+2a+b的值为__．
【答案】2013
【解析】
【分析】由方程的解的定义求得a2+a=2014，由根与系数的关系求得a+b=-1，然后将其代入所求的代数式进行解题．
【详解】∵a、b是方程x2+x-2014=0的两个不等的根，
∴a2+a=2014，a+b=-1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2014-1=2013．
14. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】首先根据根的判别式得出m的取值范围，然后根据根的判别式求出m的值，从而得出答案．
【详解】解：∵△=，
解得：m＞，
根据韦达定理可得：a+b=2m+3，ab=，
∴，
解得：m=3或－1，
∵m＞，
∴m=3．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式以及韦达定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是韦达定理和根的判别式的综合应用，不然会出现多解的问题．
15. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）
【答案】① ③ ②
【解析】
【详解】①y=−3x²，②y=−x²，③y=−x²中,二次项系数a分别为−3、−、−1，
∵|−3|>|−1|>，∴抛物线②y=−x²的开口最宽,抛物线①y=−3x²的开口最窄．
故答案为①③②．
点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，关键是找到开口大小与a的关系，对于二次函数，二次项系数|a|越大，其开口越小，反之越大．
16. 已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点C，这条抛物线的对称轴与x轴交于点D，以为边作菱形，若菱形的顶点A，B在这条抛物线上，则菱形的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等，先求出，再求出对称轴为直线，则，即可得到，再由菱形的性质得到，则点A､B关于直线对称，可得，再利用勾股定理求出的长即可利用菱形面积计算公式求出答案．
【详解】解：设抛物线的对称轴交于点E，如解图，
当时，，解得，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
，
∵四边形为菱形，
，
∴点A､B关于直线对称，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
18. 某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y＝－x2＋4x＋，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．

【答案】
【解析】
【详解】当y=0时，即-x2+4x+=0，
解得x1=，x2=-（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
故答案是：．
三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．
（1）写出平移后的抛物线的解析式；
（2）指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？
【答案】（1）
（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的平移问题：
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）平移后的抛物线解析式开口向下，则在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，据此可得答案．
【小问1详解】
解：把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问3详解】
解：∵平移后抛物线解析式开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，
又∵对称轴为直线，
∴当y随x 的增大而减小时，．
20. 解下列方程：
（1） （配方法）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（2）先去括号，然后移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
21. 如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）．

（1）写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？
【答案】（1）
（2）当时，长方形的面积最大，最大值为32
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；
（2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，y最大，最大值为32，
∴当时，长方形的面积最大，最大值为32．
22. 音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx．
（1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；
（2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
（3）若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
【答案】(1)a、b的值分别是，2；(2)喷出的抛物线水线最大高度是9米；(3)喷出的抛物线水线能达到岸边．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的顶点在直线y=kx上，抛物线为y=ax2+bx，k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，可以求得a，b的值；
（2）根据k=1，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线y=kx上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度；
（3）根据k=3，a=-，抛物线的顶点在直线y=kx上，抛物线为y=ax2+bx，可以求得b的值，然后令y=0代入抛物线的解析式，求得x的值，然后与18作比较即可解答本题．
【详解】(1)∵y=ax2+bx的顶点为（﹣），抛物线的顶点在直线y=kx上，k=1，抛物线水线最大高度达3m，
∴，，
解得，a=，b=2，
即k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，此时a、b的值分别是，2；
(2)∵k=1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边18m，抛物线的顶点在直线y=kx上，
∴此时抛物线的对称轴为x=9，y=x=9，
即此时喷出抛物线水线最大高度是9米；
(3)∵y=ax2+bx的顶点为（﹣）在直线y=3x上，a=﹣，
∴，
解得，b=6，
∴抛物线y=，
当y=0时，0=，
解得，x1=21，x2=0，
∵21＞18，
∴若k=3，a=﹣，则喷出的抛物线水线能达到岸边，
即若k=3，a=﹣，喷出的抛物线水线能达到岸边．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．
23. 抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，且
（1）求A，B 的坐标；
（2）若D到A，B，C距离相等，求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】（1），
（2）或或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质：
（1）先求出得到，则，再利用待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴，再由对称性即可求出点B的坐标；
（2）先根据题意得到点D在抛物线对称轴上，设，根据点D到点A和点C的距离相等，得到，解方程求出，设，再分当为对角线时，当为对角线时， 当为对角线时，三种情况由平行四边形两条对角线的中点相同建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
把代入中得，解得，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴
【小问2详解】
解：∵点D到点A和到点B的距离相等，
∴点D在抛物线对称轴上，
设，
∵点D到点A和点C的距离相等，
∴，
解得，
∴；
设，
当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点相同可知，
∴，
∴点P的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点相同可知，
∴，
∴点P的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点相同可知，
∴，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线下方的抛物线上一动点．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点M，使四边形为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点M运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】（1），，
（2）
（3）当M点的坐标为时，四边形的面积最大，且最大面积为9
【解析】
【分析】（1）令，则，解方程可得，，进而可得A、B的坐标，再令，可得，进而可得C的坐标；
（2）设M点坐标为，根据菱形的性质可得垂直平分，由可得M点的纵坐标为，进而可得，再解即可得到M点坐标；
（3）过点M作y轴的平行线与交于点Q，与交于点H，连接、，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，进而可得的长，然后由，可得四边形的面积最大值，进而可得M点的坐标．
【小问1详解】
解：令，则，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，
∴，，
令，则，
∴；
【小问2详解】
存在点M，使四边形是菱形，如图1所示，
设M点坐标为，
若四边形菱形，则垂直平分．
∵，
∴M点的纵坐标为，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴M点的坐标为；
【小问3详解】
过点M作y轴的平行线与交于点Q，与交于点H，连接、，如图2所示，
设直线的解析式为，将，代入得：，，
∴直线的解析式为，
∴可设，，
∴，
∴
，
∴当时，四边形的面积最大，且最大面积为9．
当时，，
∴当M点的坐标为时，四边形的面积最大，且最大面积为9．
【点睛】本题是二次函数综合题，关键是数形结合的数学思想方法的应用，掌握二次函数最值的求法，以及抛物线与坐标轴的交点坐标的特点．