江苏省南京市育英第二外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省南京市育英第二外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是( )
A. ，，B. 13，5，12C. ，，D. ，，
3.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A.
B.
C.
D. 2
4.下列说法：①是9的一个平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正确的说法有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.若中，，，高，则BC的长是( )
A. B.
C. 或D. 以上都不对
6.在如图所示的网格中，是格点三角形即顶点恰好是网格线的交点，则与有一条公共边且全等不含的所有格点三角形的个数是( )
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.的算术平方根是______；的算术平方根是______；的平方根是______.
8.a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是______.
9.如图，，要利用“SAS”说明≌，需添加的条件是______.
10.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为______.
11.如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则的值为______.
12.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，是一个任意角，在边OA和OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是的平分线，这里构造全等三角形的依据是______填简写
13.已知，，则______，______.
14.如图，D是内一点，且AD平分，连接BD，若的面积为16，那么的面积是______.
15.一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 .
16.，，，，以AB为边向外作正，则______.
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
17.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n 的代数式表示；
猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
18.如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
出发2秒后，求的周长．
问t为何值时，为等腰三角形？
另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分？
四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
解下列方程
；
20.本小题8分
如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，
在平面直角坐标系中画出；
画出与关于y轴对称的的图形；
的面积是______；
若点P是y轴上一动点，则的最小值是______.
21.本小题6分
如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，，，
求证：≌；
证明：
22.本小题5分
已知，如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高．
求证：AD垂直平分
23.本小题5分
如图，，，，，，求这块地的面积．
24.本小题6分
如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
城是否受到这次台风的影响？为什么？
若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
25.本小题8分
阅读理解：如图1，在的边AB上取一点P，连接CP，可以把分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是的边AB上的完美点．
解决问题：
如图2，中，，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
如图3，已知，的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的的度数．
26.本小题8分
【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌的理由是______.
A.
求得AD的取值范围是______.
A.
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，AD是的中线，BE交AC于E，交AD于F，且求证：
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：
根据轴对称图形的定义逐项分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、，故不能构成直角三角形；
B、，故能构成直角三角形；
C、，故不能构成直角三角形；
D、，故不能构成直角三角形．
故选：
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】B
【解析】解：直角三角形中，斜边，
也就是说圆弧的半径
因为A在原点左侧，所以点A对应的实数是
故选：
利用勾股定理求出半径，确定OA的长，根据数轴点A的位置确定符号，得出答案．
本题考查了数轴与实数的一一对应关系，解答时，需要用到勾股定理、同圆的半径相等等知识，解题的关键是确定OA的长．
4.【答案】C
【解析】解：①是9的一个平方根，正确；
②16的平方根是，故原说法错误；
③没有平方根，故原说法测；
④的算术平方根是，正确；
⑤的立方根是，故原说法错误；
⑥的平方根是，正确．
所以正确的说法有①④⑥共3个．
故选：
根据平方根、算术平方根、立方根的定义，即可解答．
本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根．
5.【答案】C
【解析】解：当高AD在BC上时，如图1所示：
，
在中，由勾股定理得，
，
又，，
同理可得：，
又，
；
当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：
，
在中，由勾股定理得，
，
又，，
，
同理可得；，
又，
，
综合所述：BC的长是或，
故选：
在中，由可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是或
本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形即可．
【解答】
解：以BC为公共边的三角形有，，，
以AC为公共边的三角形有，，，
以AB为公共边的三角形有，
，
故选：
7.【答案】2
【解析】解：，其算术平方根为2；
，其算术平方根为；
，其平方根为
故答案为：2；；
根据平方根和算术平方根的定义即可求解．
本题考查的是平方根，明确算术平方根的概念是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
的整数部分为1，的小数部分为，
是的整数部分，b是的小数部分，
，，
故答案为：
根据，利用不等式的性质可得，求出a、b 的值，再代入计算即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：添加，
，
，
在和中，
≌，
故答案为：
由可得，然后添加可利用“SAS”说明≌
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
10.【答案】
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
故答案为：
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
本考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
11.【答案】
【解析】解：如图，在与中，
，
≌，
，
则
故答案为：
利用全等三角形的判定定理SAS证得≌，则其对应角相等：，则
本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
12.【答案】SSS
【解析】解：在和中，
，
≌，
，
即射线OC是的平分线，
故答案为：
利用SSS证明≌，得，即可解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
故填，
当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也向相同方向移动一位，由此即可解决问题．
此题主要考查了立方根的性质：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也向相同方向移动一位．
14.【答案】32
【解析】解：延长CD交AB于E，如下图所示：

平分，
，
，
，
在和中
，，，
≌，
，，
，
，
故答案为：
延长CD交AB于E，证明和全等得，，进而得，由此得，则，据此可得的面积．
此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
15.【答案】，，，，
【解析】解：如图①所示，当时，那么它的最大内角是
当时，有以下4种情况，
对应的最大内角分别是：，，，
故答案为：，，，，
当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，正确画出图形是解题的关键.
16.【答案】
【解析】解：如图，以BC为边向下作等边，连接AE，作交AC的延长线于
，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
在中，，，
，，
在中，
故答案为：
如图，以BC为边向下作等边，连接AE，作交AC的延长线于利用全等三角形的性质证明，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17.【答案】解：由图表可以得出：
时，，，，
时，，，，
时，，，，
…
，，
、b、c为边的三角形时：
，
，
，
以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
【解析】利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是，加减1，即可得出答案；
利用完全平方公式计算出的值，以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出a、b、c与n之间的关系是解决问题的关键．
18.【答案】解：如图1，由，，，
，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，
出发2秒后，则，
，
，
的周长为：
①如图2，若P在边AC上时，，
此时用的时间为3s，为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
如图3，若使，此时，P运动的路程为，
所以用的时间为6s，为等腰三角形；
如图4，若，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为，
作于点D，
在中，，
所以，
所以P运动的路程为，
则用的时间为，为等腰三角形；
ⅲ如图5，若，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为
则所用的时间为，为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、、6s、时，为等腰三角形
如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则，，
直线PQ把的周长分成相等的两部分，
，
；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则，，
直线PQ把的周长分成相等的两部分，
，
，
当t为2或6秒时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
【解析】根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
因为AB与CB，由勾股定理得因为AB为5cm，所以必须使，或，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，为等腰三角形．
分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则，，；当P点在AB上，Q在AC上，则，，
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第由两种情况，为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．
19.【答案】解：，
，
；
，

【解析】根据平方根的定义计算即可；
根据立方根的定义计算即可．
本题考查了平方根和立方根，掌握它们的定义是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示，即为所求，
如上图所示，即为所求；
，
的面积是
由图形可知，的最小值即为的长，
的最小值
【解析】根据点的坐标，可得出点A、B、C的位置，从而画出；
根据轴对称的性质，可画出；
利用所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积即可；
连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形的面积等知识，准确画出图形是解题的关键．
21.【答案】证明：
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，

【解析】根据等式的性质得，再利用SAS即可证明结论成立；
根据全等三角形的对应角相等得，对顶角相等得，利用三角形内角和定理可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】证明：设AD、EF的交点为K，
平分，，，
，，
，
在和中，，
，
是的角平分线
是线段EF的垂直平分线．
【解析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是找到和，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．
23.【答案】解：连结AC，
在中，，，
，
，
在中 ，，，
，
，
答：这块地的面积为
【解析】连接AC，由，，利用勾股定理可求出AC的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，即可求出这块地的面积．
此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，解答此题的关键是连接AC，求出三角形ABC的面积，再减去三角形ACD的面积即可．
24.【答案】解：由A点向BF作垂线，垂足为C，
在中，，，则，
因为，所以A城要受台风影响；
设BF上点D，，则还有一点G，有
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以AC是DG的垂直平分线，，
在中，，，
由勾股定理得，，
则，
遭受台风影响的时间是：
【解析】点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若则A城不受影响，否则受影响；
点A到直线BF的长为200km的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是DG的中点，在中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．
25.【答案】解：取AB的中点P，连接PC即可如图①
，P是AB的中点，
，，
，是等腰三角形．
点P是边AB上的完美点.
满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥

【解析】取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明；
根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．
本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键．
26.【答案】B C
【解析】解：在和中
，
≌，
故选B；
解：由知：≌，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选
证明：
延长AD到M，使，连接BM，
是中线，
，
在和中
≌，
，，
，
，
，
，
，
即
根据，，推出和全等即可；
根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
延长AD到M，使，连接BM，根据SAS证≌，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．n
2
3
4
5
…
a
…
b
4
6
8
10
…
c
…