江苏省常州市天宁区正衡中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份江苏省常州市天宁区正衡中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列手机中的图标是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 2，2，3B. 4，5，6C. 7，14，15D. 9，12，15
3.如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为10km，则M、C两点间的距离为( )
A. 6km
B. 5km
C. 12km
D. 7km
5.甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在( )
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三边中线的交点D. 三边上高的交点
6.如图，中，，AD平分，，，则的面积为( )
A. 12
B. 10
C. 15
D. 30
7.如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为已知，则CE的长为( )
A. 3
B.
C.
D.
8.如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接若，则的周长为( )
A. 8B. 12C. 15D. 16
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.等边三角形有______条对称轴．
10.如图，在中，，点D为BC边的中点，，则______.
11.如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，记三个正方形的面积分别为，，，若，，则______.
12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 .
13.如图，在中，与的平分线交于点O，过O点作，分别交AB、AC于D、若，，则的周长是______，
14.如图，已知，，则______.
15.如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点10m处，已知旗杆原长20m，则旗杆在离底部______米的位置断裂.
16.已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的值为______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
如图，网格中的与为轴对称图形.
利用网格线作出与的对称轴l；
如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积=______；
利用网格线在1上找一点P，使得的长度最小.
利用网格线在1上找一点Q，使得
18.本小题10分
如图，在中，，，点D在线段CA的延长线上，求证：AE平分
19.本小题10分
如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米.
求A、C之间的距离；
求这块四边形空地的面积；
若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为______元.
20.本小题10分
如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是BD、AC的中点连接AE，EC，求证：；
当，时，EF的长为______.
21.本小题12分
【概念认识】
定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点.当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点.
如图①，在中，，A是B，C两点的勾股点，B是A，C两点的勾股点，C是A，B两点的勾股点，也是强勾股点.
【概念运用】
如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A，B两点的勾股点的有______个.
如图③，在中，，垂足为D，若，，
求证：C是A，B两点的强勾股点.
【拓展提升】
如图④，在中，，，，D是AC的中点，P是射线BD上一个动点，当P是A、B两个点的强勾股点时，直接写出BP的长为______.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：
根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、，
不能组成直角三角形，该选项不符合题意；
B、，
不能组成直角三角形，该选项不符合题意；
C、，
不能组成直角三角形，该选项不符合题意；
D、，
能组成直角三角形，该选项符合题意；
故选：
直接利用勾股定理逆定理进行判断即可．
本题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形，解题关键是牢记判定方法：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定方法分别判定即可．
【解答】
解：在和中，，，
A、添加，根据SSS可判定≌，故本选项不符合题意；
B、添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、添加，根据HL可判定≌，故本选项不符合题意；
D、添加，根据SAS可判定≌，故本选项不符合题意.
4.【答案】B
【解析】解：是公路AB的中点，
，
，
，
，C两点间的距离为
故选：
根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
5.【答案】B
【解析】解：因为中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等，
所以中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上，
故选：
根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】 解：如图，过点D作于E，
，AD平分，
，
的面积
故选
7.【答案】C
【解析】解：由折叠得，，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得，
故选：
由折叠得，，则，求得，由，得，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，，
则，
，
，
，
的周长为
故选：
由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，，可得，由，可得，则的周长为
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
9.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质和轴对称图形，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题. 沿着一条直线对折，能够和另一部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】
解：等边三角形有3条对称轴．
故答案为：
10.【答案】
【解析】解：，点D为BC边的中点，
，，
，
，
故答案为：
根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：如图，在中，由勾股定理得，
，
分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，记三个正方形的面积分别为，，，
，
，
故答案为：
根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．
本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
12.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质和三角形三边关系有关知识，首先根据题意对该题进行分类讨论，然后再进行计算即可解答.同时，要考虑三角形的三边关系.
【解答】
解：当3为等腰三角形的腰时，不满足三角形的三边关系，
则3不能是等腰三角形的腰；
当6为等腰三角形的腰时，满足三角形的三边关系，
则等腰三角形的周长为：
故答案为
13.【答案】11
【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
的周长是
，
故答案为：
根据角平分线定义和平行线性质得出，推出，同理E得出，求出的周长等于，求出即可．
本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，关键是推出的周长等于
14.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
故答案为：
由，，可求出，而，由，计算求解即可．
本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为，
根据勾股定理得：，
可得：，即距离地面8米处断裂，
故答案为：
旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．
16.【答案】5或8或
【解析】解：在中，由勾股定理得：，
①如图1，当时，
；
②如图2，当时，
，
；
③如图3，当时，，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
综上所述：t的值为5或8或，
故答案为：5或8或
当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出BP的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
17.【答案】3
【解析】解：如图，直线l即为所求．
的面积为
故答案为：
如图，连接CD，交直线l于点P，连接AP，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
如图，作线段EF的垂直平分线，交直线l于点Q，
则点Q即为所求．
结合轴对称的性质，作线段AD的垂直平分线即为所求的直线
利用割补法求三角形的面积即可．
连接CD，交直线l于点P，则点P即为所求．
结合线段垂直平分线的性质，作线段EF的垂直平分线，交直线l于点Q，则点Q即为所求．
本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
18.【答案】证明：，
，，
，
，
，
平分
【解析】根据平行线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的定义得到AE平分
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】480
【解析】解：如图，连接AC，
，
，
；
在中，，，
而，
，
是直角三角形，，
种植草皮的面积为
平方米，
种植草皮的面积为96平方米．
若种植草皮费用为5元/平米，
种植此块草皮的费用为元
答：种植此块草皮的费用为480元．
由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，在根据勾股定理可求出AC的值；
，再根据即可求出空地的面积；
用面积乘费用即可．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】6
【解析】证明：，E为BD中点，
，
，
，
，
是AC中点，
；
解：，，E、F分别是边AC、BD的中点，
，，
，
，
，
故答案为：
由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
在中，利用勾股定理求出EF的长即可．
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
21.【答案】4
【解析】解：如图②，
G，H，T，R四点与A，B能构成四个直角三角形，
图中A，B两点的勾股点的有4个，
故答案为：4；
证明：
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
在中，，
又，
，
由勾股定理逆定理得：是直角三角形，
点C是A，B两点的强勾股点；
解：若点P是A，B两个顶点的强勾股点时，如图④，
，，
，
设，
，
，
，
；
的长为，
故答案为：
根据新定义“勾股点”可得出答案；
由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论；
由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想．