2024-2025学年上海交大二附中八年级（上）期中数学拓展试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海交大二附中八年级（上）期中数学拓展试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了如果是二次根式，求的取值范围，若，化简　　，多项式的最小值为　　，已知实数满足，那么等于　　，已知实数、满足，，则 　　，已知等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知方程和方程的根完全相同，则 ．
2．（3分）如果是二次根式，求的取值范围．
3．（3分）若，化简 ．
4．（3分）多项式的最小值为 ．
5．（3分）设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 ．
6．（3分）已知实数满足，那么等于 ．
7．（3分）已知实数、满足，，则 ．
8．（3分）如图，在△中，平分，于点，，，，，则 ．
9．（3分）已知：△是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将△沿着直线翻折，点恰好与点重合，则△的周长为 ．
10．（3分）如图，△中，，把△绕点逆时针旋转后得到△．连结、、，测量得．若△为等腰三角形，则的度数是 ．
二.解答题（第11题3分，第12题7分，第13题10分，总分20分）
11．（3分）在《代数学》中记载了求方程．正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于的方程时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39．该方程的正数解为 ．
12．（7分）小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖．
（1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（2）写出甲、乙两个商店中，收款（元关于购买本数（本的关系式．
（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
13．（10分）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于．
（1）当△为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明．
（2）①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）；
②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由．
参考答案
一.填空题（每题3分，共30分）
1．（3分）已知方程和方程的根完全相同，则 ．
解：，
，，
把代入方程得，解得，
解方程方程，解得，，
，
．
故答案为．
2．（3分）如果是二次根式，求的取值范围．
解：依题意得，
解得．
3．（3分）若，化简 ．
解：原式
．
4．（3分）多项式的最小值为 ．
解：原式，
，
，
当时，多项式的最小值为．
故答案为：．
5．（3分）设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则 ．
解：设方程另一个根为，
方程的一个根的3倍少7为另一个根，
一个根为，
则，
解得，
因此．
故答案为：．
6．（3分）已知实数满足，那么等于 ．
解：讨论的范围
如果，，得，符合；
如果，，得，不符合；
如果，得，不符合；
所以得出的范围为．
所以．
所以本题的答案为．
7．（3分）已知实数、满足，，则 或2 ．
解：实数、满足，，
实数、是一元二次方程的两个实数根，
当时，，满足，，
，
当时，，
故答案为：或2．
8．（3分）如图，在△中，平分，于点，，，，，则 54 ．
解：延长交于点，如图所示：
，
，
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，，，
，，，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
9．（3分）已知：△是边长为的等边三角形，点、点分别在边，上，点为边的三等分点，将△沿着直线翻折，点恰好与点重合，则△的周长为 20或25 ．
解：△是等边三角形，
，
①如图①，点为边的三等分点，且点靠近点时，
，
，
△的周长
②如图②，点为边的三等分点，且点靠近点时，
由折叠的性质得，，
△的周长
综上，△的周长为或．
故答案为：20或25．
10．（3分）如图，△中，，把△绕点逆时针旋转后得到△．连结、、，测量得．若△为等腰三角形，则的度数是 或或 ．
解：△绕点逆时针旋转后得到△，
，，，
△和△都是等边三角形；
，
而，
，
△为等腰三角形，下面分三种情况讨论：
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
③当时，，
解得．
综上所述，若△为等腰三角形，则，，．
故答案为：或或．
二.解答题（第11题3分，第12题7分，第13题10分，总分20分）
11．（3分）在《代数学》中记载了求方程．正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于的方程时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39．该方程的正数解为 3 ．
解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为：
，
该方程的正数解为．
故答案为：3．
12．（7分）小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖．
（1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（2）写出甲、乙两个商店中，收款（元关于购买本数（本的关系式．
（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
解：（1）甲商店．理由如下：
已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的卖．依题意得：
甲店收款为：（元，
乙店收款为：（元，
，
买20本时，到甲店购买省钱；
（2）甲商店：时，，即；
乙商店：时，，即；
（3）将代入得：
，
所以24元钱最多在甲商店可买28本，
将代入得：
，
所以24元钱最多在乙商店可买26本，
答：小明用24元最多可买28本．
13．（10分）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于．
（1）当△为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明．
（2）①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）；
②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由．
解：（1）；理由如下：
如图1，
△是等边三角形，
，
，
，，
，
，
△为等腰三角形，，
，
，
点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．
，
；
（2）①；理由如下：
如图2，作，交直线的延长线于点，
又于，
，
点、做匀速运动且速度相同，
，
△是等边三角形，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
；
②①中的结论还成立；理由如下：
如图3，作，交的延长线于点，连接，．
同①可得△△，
，，
，
，，
△△，
，
，
，
．