2024-2025学年安徽省宿州市泗县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省宿州市泗县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（4分）下列命题中，假命题是
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
3．（4分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为
A．B．C．4D．8
4．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为
A．B．C．D．
5．（4分）若，则的值是
A．B．C．D．
6．（4分）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是
A．B．C．D．
7．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是
A．B．C．D．
8．（4分）如图，，．，，在同一条直线上，，则的长为
A．B．C．D．
9．（4分）如图，中，，，，点从点开始出发向点以的速度移动，点从点出发向点以的速度移动，若、分别同时从，出发， 秒后四边形是面积的．
A．2B．4.5C．8D．7
10．（4分）定义：对于确定顺序的三个数，，，计算，将这三个计算结果的最大值称为，，的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为
①3，1，的“极数”是36；
②若，，0的“极数”为0，则和中至少有1个数是负数；
③存在2个数，使得，，2的极数为；
④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）在一幅比例尺为的地图上，甲乙两地的距离为，那么两地的实际距离为 千米．
12．（5分）已知，，，求 ．
13．（5分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为 ．（结果保留根号）
14．（5分）中，点是斜边的中点．
（1）如图1，若与，于，，，则 ；
（2）如图2，若点是的中点，且，则 ．
三、解答题（每小题8分，共16分）
15．（8分）解方程：．
16．（8分）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且△与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
（1）请在方格图中画出位似中心；
（2）请在方格图中将△补画完整．
四、（每小题8分，共16分）
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别为，，且，若，求的值．
18．（8分）如图，菱形中，于，于．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
五、（每小题10分，共20分）
19．（10分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
（1）第个图有 个小圆；（用含的代数式表示）
（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
20．（10分）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：．
（2）当，求的值．
六、（本题12分）
21．（12分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
七、（本题12分）
22．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了 名九年级学生， ；
（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
八、（本题14分）
23．（14分）【问题背景】
在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形时，
①求证：△；
②当时中点时， 度．
【深入研究】
（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当△是直角三角形时，请直接写出的长．
参考答案
一、单选题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列方程一定是一元二次方程的是
A．B．C．D．
解：．方程是一元二次方程，选项符合题意；
．方程含有两个未知数，
方程不是一元二次方程，选项不符合题意；
．方程不是整式方向，
方程不是一元二次方程，选项不符合题意；
．方程不是整式方向，
方程不是一元二次方程，选项不符合题意．
故选：．
2．（4分）下列命题中，假命题是
A．一组对边相等的四边形是平行四边形
B．三个角是直角的四边形是矩形
C．四边相等的四边形是菱形
D．有一个角是直角的菱形是正方形
解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
、四边相等的四边形是菱形，是真命题；
、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
故选：．
3．（4分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为
A．B．C．4D．8
解：移项得，，
，
，
．
故选：．
4．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为
A．B．C．D．
解：元．
故选：．
5．（4分）若，则的值是
A．B．C．D．
解：，
设，则，
，
故选：．
6．（4分）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是
A．B．C．D．
解：应添加的条件是，理由为：
证明：、、、分别为、、、的中点，且，
，，，，
，
则四边形为菱形，
故选：．
7．（4分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是
A．B．C．D．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
故选：．
8．（4分）如图，，．，，在同一条直线上，，则的长为
A．B．C．D．
解：如图，过点作于点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
9．（4分）如图，中，，，，点从点开始出发向点以的速度移动，点从点出发向点以的速度移动，若、分别同时从，出发， 秒后四边形是面积的．
A．2B．4.5C．8D．7
解：中，，
是直角三角形，
由勾股定理，得．
设秒后四边形是面积的，
则秒后，，．
根据题意，知，
，
即，
解得或（舍去）．
故选：．
10．（4分）定义：对于确定顺序的三个数，，，计算，将这三个计算结果的最大值称为，，的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为
①3，1，的“极数”是36；
②若，，0的“极数”为0，则和中至少有1个数是负数；
③存在2个数，使得，，2的极数为；
④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数．
A．1B．2C．3D．4
解：①，，，
，1，的“极数”是36，
故①正确；
②，，0的“极数“为0，
，
，
，
则和中至少有1个数是负数，
故②正确；
③在，，2中，
，，，
，，2的“极数“为，
当时，
，
此时，
不成立．
当时，
，
此时，
当时，，，2的“极数”为；
故③不正确；
④在，，1中，
，，，
“极数“为6．
在，1，中，
，，，
“极数“为4．
在，，1中，
，，，
“极数“为4．
在，1，中，
，，，
“极数“为4．
调整，，1这三个数的位置，
一共有6种情况，
而前面四种，已经出现三种情况的“极数“相同，
故得不到6种不同的“极数“，
故④说法错误．
故正确个数为2个，
故选：．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．（5分）在一幅比例尺为的地图上，甲乙两地的距离为，那么两地的实际距离为 6 千米．
解：，
又，
实际距离为．
故答案为：6．
12．（5分）已知，，，求 2 ．
解：，，，
和是方程的两个解，
由根与系数的关系得：，
故答案为：2．
13．（5分）如图，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点，之间的距离为 ．（结果保留根号）
解：点是靠近点的黄金分割点，，
，
点是靠近点的黄金分割点，，
，
，
支撑点，之间的距离为，
故答案为：．
14．（5分）中，点是斜边的中点．
（1）如图1，若与，于，，，则 10 ；
（2）如图2，若点是的中点，且，则 ．
解：（1），，
，
四边形为矩形，
，
在中，由勾股定理得，，
点是斜边的中点，
，
故答案为：10；
（2）如图，过点作，，垂足分别为点、，过点作，，垂足分别为点、，则四边形为矩形，
，，
点为的斜边的中点，
，
，
点为的中点，，，
点为的中点，即，
，
，
同理可得，
，
故答案为：62.5．
三、解答题（每小题8分，共16分）
15．（8分）解方程：．
解：,
，
故或，
解得：，．
16．（8分）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且△与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
（1）请在方格图中画出位似中心；
（2）请在方格图中将△补画完整．
解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，△即为所求．
四、（每小题8分，共16分）
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别为，，且，若，求的值．
【解答】（1）证明：
．
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：的两个根分别为，，且，
，，
，
，
即，
，
解得：或．
18．（8分）如图，菱形中，于，于．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【解答】（1）证明：在和，
四边形是菱形，，，
又，
；
（2）解：由，，
，
．
五、（每小题10分，共20分）
19．（10分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察．
（1）第个图有 个小圆；（用含的代数式表示）
（2）是否存在某个图，其小圆的个数恰好为160个？如果存在，指出是第几个图；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可知第1个图形有小圆个；
第2个图形有小圆个；
第3个图形有小圆个；
第4个图形有小圆个；
第个图形有小圆个，
故答案为：．
（2）设第个图中小圆的个数恰好为160个，根据题意得
，（不符题意，舍去）
答：第12个图中小圆的个数恰好为160个．
20．（10分）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结．点是延长线上的一点，连结，若平分．
（1）求证：．
（2）当，求的值．
【解答】（1）证明：以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
而，
，
．
六、（本题12分）
21．（12分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
解：根据题意可得：，，
△△，
，
，，，
，
，
，
答：树高为．
七、（本题12分）
22．（12分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了 300 名九年级学生， ；
（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中按的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生．若从中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
解：（1）本次抽测了（名九年级学生，
，
故答案为：300；108；
（2）组人数所占的比例为：，
（人，
故该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3600人；
（3）组人数为（人，
由题意可知：抽取的优秀学生人数为（人，
其中恰好有2名女生，
组的男生人数为：（人，
如下：
由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为．
八、（本题14分）
23．（14分）【问题背景】
在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．
【特例感知】
（1）如图1，若四边形是正方形时，
①求证：△；
②当时中点时， 67.5 度．
【深入研究】
（2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当△是直角三角形时，请直接写出的长．
【解答】（1）四边形是正方形，
，，
①证明：，
，且，，
△△，
，
，
△△；
②解：如图，连接，
四边形是正方形，是对角线，
，
，，，
，
则，
即，
点是的中点，
，
是的垂直平分线，
，
即△是等腰三角形，
平分，
即，
在△中，，
故答案为：67.5；
（2）解：四边形菱形，
，
如图，过点作，交于点，且当为中点，
，
△△，
，
点是中点，
则，
是△的中位线，
，
设，则，，
，
△△，
，
即，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），，
的长为；
（3）解：四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
第一种情况，如图，当，△是直角三角形，
设，则，
在△中，，
，
，
则，
，
，且，
△△，
，
即，
整理得，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母有意义，
或；
第二种情况，如图，，△是直角三角形，过点作延长线于点，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，，
，
，
△等腰三角形，则，
，
△△，
，
，
，
，，，
，
，
，
综上所述，或或．