2024-2025学年自贡市高三第一次诊断性考试数学试题解析版

这是一份2024-2025学年自贡市高三第一次诊断性考试数学试题解析版，共20页。试卷主要包含了选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页19题．全卷满分150分．考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3，非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，根据集合的交集运算即可得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2. 在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】写出，利用复数的四则运算法则计算出，确定对应的点的坐标，得到答案.
【详解】由题意得，
则，
对应的点为，位于第三象限.
故选：C
3. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】定义域关于原点对称，且，可以判断函数为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】的定义域为R，
且，
故为偶函数，A正确；
B选项，的定义域为R，，
，故不为偶函数，B错误；
C选项，的定义域为R，
，
故是奇函数，C错误；
D选项，的定义域为R，
且，
故为奇函数，D错误.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正切差角公式得到，进而化弦为切，代入求值即可.
【详解】，
解得，
则.
故选：D
5. 同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上点数，设两枚骰子朝上点数分别是，设，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出掷两枚质地均匀的骰子，朝上点数共有的情况数，再分其一为2，两者均为2两者情况，得到的情况总数，得到相应的概率.
【详解】同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上点数共有种情况，
若其一为2，另一个从中选择，
此时的情况数为种情况，
若均为2，情况数为1，
故的情况数共有种，
故的概率为.
故选：B
6. 已知，且与的终边关于轴对称，则的最大值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据角的终边关于轴对称可得，根据的取值情况可得的最大值.
【详解】因为与的终边关于轴对称，所以，
又，所以，则，
故的最大值为.
故选：B.
7. 根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图．对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断．
【详解】对于A，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故A正确；
对于B，残差与观测时间有线性关系，故B错误；
对于C，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小再变大，故C错误；
对于D，残差与观测时间是非线性关系，故D错误.
故选：A.
8. 已知空间直角坐标系中的点集，对任意，都存在不全为零的实数满足．若，则的一个充分条件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可．
【详解】不全为0的实数，使得，
所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，即向量共面，
对于A，，若，则与共线，与共线，所以可以属于，此时三者不共面，故A不正确；
对于B，，若，则与共线，
所以可以属于，此时三者不共面，故B不正确；
对于C，，若，则与，
所以可以属于，此时三者不共面，故C不正确；
对于D，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，故D正确．
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．
9. 函数，若在区间单调递减，且，下列正确的是（ ）
A. B. 在区间单调递增
C. 函数的最小正周期为2D. 图象的对称轴是
【答案】ABC
【解析】
【分析】AC选项，分析得到为函数位于轴右侧第一个最大值点，且为函数位于轴右侧第一个对称中心，从而得到方程组，求出，，的最小正周期为，AC正确；B选项，时，，得到在区间单调递增，B正确；D选项，代入计算出，D错误.
【详解】AC选项，因为在上单调递减，且，
，故在上单调递增，
所以为函数位于轴右侧第一个最大值点，
且为函数位于轴右侧第一个对称中心，
故，，解得，，
故函数的最小正周期为，AC正确；
B选项，时，，
由于在上单调递增，故在区间单调递增，B正确；
D选项，，故不是图象的对称轴，D错误.
故选：ABC
10. 不相同的数列与，且都不为常数数列，，则下列正确的是（ ）
A. 数列均为等差数列，则中最多一个元素；
B. 数列为等差数列，为等比数列，则中最多两个元素；
C. 数列单调递增，数列单调递减，则中最多一个元素；
D. 数列均为等比数列，则中最多三个元素．
【答案】AC
【解析】
【分析】根据散点图的特征可判断A，C的正误，举出反例可判断D的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断B的正误．
【详解】对于A，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为，，
则，所以，
因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以：
（i）若，则，则；
（ii）若，则，则不存在；
（iii）若，，则；综上A正确；
对于B，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
若，，则由和的散点图可得：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，，否则，因，单调性相反，方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为：，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时，即，否则，因，单调性相反，
方程至多一个奇数解，因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即中最多有3个元素，故B不正确；
对于C，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故C正确；
对于D，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为，且，
显然，显然该数列的奇数项都相同，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：对于等差数列与等比数列的性质讨论，可以利用两者的散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负数，此时要注意合理转化.
11. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于点对称D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用已知抽象函数关系式和奇偶性定义可推导得到的周期性和对称性，由此可知ABC的正误；根据周期性可求得的值，由此可计算得到D正确.
【详解】对于A，，
，，
，即是周期的周期函数，
，A正确；
对于C，奇函数，，
即，关于点中心对称，C正确；
对于B，，令，则，
，又，，B错误；
对于D，且关于点中心对称，，
，，
又，，图象关于轴对称，
又关于点中心对称，的图象关于轴对称；
当时，，，，，
，
，
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下：
（1）若，则关于直线成轴对称；
（2）若，则关于成中心对称.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在多项式的展开式中，的系数为16，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】写出的展开式通项公式为，从而根据的系数得到方程，求出.
【详解】的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
则的展开式中的系数为，解得.
故答案为：1
13. 高为8的正四棱锥的顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的表面积为______．
【答案】128
【解析】
【分析】设正四棱锥的顶点在底面的投影为，由题意结合勾股定理计算可得该正四棱柱底面边长与侧棱长，再计算出侧面的高后，结合表面积公式计算即可得解．
【详解】如图所示，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，
因为正四棱锥的高为8，外接球的半径为5，
所以，，
所以，，
则，
故中，边的高为，
所以该正四棱锥的侧面积为，
故该正四棱锥的表面积为．
故答案为：128．
14. 曲线上两点关于直线对称的点在曲线上，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】转化为与有2个交点，即有2个不同的实根，设，求导得到其单调性，并画出函数图象，结合的图象为过定点的直线，得到相切时的斜率，数形结合得到的取值范围.
【详解】与关于对称，
又上两点关于直线对称的点在曲线上，
故与有2个交点，
即有2个不同的实根，
即有2个不同的实根，
设，则，
当时，ℎ′x>0，当时，ℎ′x