陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期11月期中校际联考数学试题（Word版附解析）

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1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘、除法公式运算即可.
【详解】由.
故选：A
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集定义即可求解．
【详解】因为,
所以.
故选：B．
3. 过点，的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点间的斜率公式，结合倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意，直线的斜率为，故直线的倾斜角为.
故选：C
4. 圆心为，且与轴相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用与轴相切可得圆的半径，然后就可以写出圆的标准方程.
【详解】由圆心为，且与轴相切的圆的半径是1，
所以可得圆的方程为，
故选：B.
5. 从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由古典概率公式求解即可．
【详解】解：由题意可知，样本空间，共6种，卡片数字相邻的有，共3种，
所以所求概率.
故选：B
6. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点对称性质可得，进而可得
【详解】由题意，点关于轴的对称点为，
故.
故选：D
7. 若函数是在上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分段函数在R上递减，需要满足在每一段上均单调递减，且分段处，左端点函数值大于等于右端点函数值, 一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．.
【详解】由题意知是在上的减函数，
所以，解之可得，
则的取值范围是.
故选：A
8. 已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解.
【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为，
则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：，
又，所以，
又直线过原点，所以，
所以周长的最小值为：.
故选：D

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A. 直线在轴上的截距为2B. 直线的斜率为
C. 直线的一个方向向量为D. 直线不经过第一象限
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据截距的定义判断即可；对B，根据斜率的定义判断即可；对C，根据该直线的一个方向向量为判断即可；对D，根据直线的截距和斜率判断即可.
【详解】对于A，直线方程截距是，故A错误；
对于B，斜率，故B正确；
对于C，该直线的一个方向向量为，与平行，故C正确；
对于D，由直线方程可知斜率为负，截距为负数，故直线l不经过第一象限，故D正确；
故选：BCD
10. 已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据圆以及双曲线，以及椭圆的性质即可分类讨论求解.
【详解】当时，，方程可以化简为，曲线是圆；
当，且时，或，曲线是椭圆；
当时，或，曲线是双曲线．
故选:ABC．
11. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为、，过双曲线上的一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则（ ）
A. 双曲线的离心率为B. 焦点到渐近线的距离为
C. 四边形OMAN可能为正方形D. 四边形的面积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线方程写出对应参数值及离心率判断A；应用点线距离判断B；注意为双曲线顶点情况即可判断C；应用点线距离和矩形面积公式判断D.
【详解】由题设，双曲线中，则离心率为，A对；
焦点，，渐近线为，则焦点到渐近线的距离，B错；
当为双曲线顶点时，四边形OMAN可能为正方形，C对；
令，则到的距离，到的距离，
所以四边形的面积为，D对.
故选：ACD
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若圆与圆交于两点，则直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】两圆方程作差即可求得公共弦方程.
【详解】联立方程，消去二次项整理得，
所以直线的方程为.
故答案：
13. 已知正四棱台的体积为14，若，，则正四棱台的高为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据棱台体积公式求解即可.
【详解】由题意，，解得.
故答案为：
14. 已知都是锐角，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求解即可.
【详解】因为，所以，，，
所以
.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知直线和直线.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求两直线，间的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由直线方程的一般式中两直线垂直的系数关系求解即可；
（2）由直线方程的一般式中两直线平行的系数关系与两平行线的距离公式求解即可
【小问1详解】
直线和直线.
当时，，得；
【小问2详解】
当时，，得，
此时直线和直线的距离.
16. 如图，在三棱柱中，，分别为和中点，设，，.

（1）用，，表示向量；
（2）若，，，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的线性运算结合图形计算即可；
（2）利用空间向量数量积的运算律计算即可.
【小问1详解】
易知.
【小问2详解】
因为，，，
则
.
17. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程；
（2）根据直线与椭圆相切，可得判别式等于0，即可求解.
小问1详解】
椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0过点6,0，且离心率为，
可得：，解得，
再由，可得： ，
椭圆的方程为：.
【小问2详解】
由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立
消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得：
，解得.
18. 已知圆过三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）斜率为1的直线与圆交于两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可将三点坐标代入圆的一般方程中，列方程组求解，
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得，结合点到直线的距离即可求解.
【小问1详解】
设所求的圆的方程是，其中，
把已知三点坐标代入得方程组解得
所以圆的一般方程为.
故圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，又由（1）知圆的圆心为，半径为5.
所以圆心到直线的距离
解得或，所以直线的方程为：或.
19. 已知动点到点的距离与点到直线的距离相等.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到方程，化简得到；
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，由中垂线方程得，结合
求出，得到的中点坐标，求出直线的方程，联立后，由弦长公式求出答案.
【小问1详解】
设点Px,y，根据题意有，
上式两边同时平方得：，化简得，
点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
设Mx1,y1，Nx2,y2，线段的中点Ax0,y0，
线段的中垂线方程为，
直线的斜率，
由点Mx1,y1，Nx2,y2在抛物线上，可知，
两式相减得，
又，故，
，故，
直线的方程为，即，
联立方程消去整理得，
易知，，
即线段的长为.