四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第1卷 （选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A B. C. D.
5. 空间中有两个不同平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．
A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B 从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
7. 三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与向量夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量共面
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
B. 若，则事件A与事件B相互独立
C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D 若，，且事件A与事件B相互独立，则
11. 已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（ ）
A. 若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B. 若三棱锥的体积是定值
C. 若，有且仅有一个点P，使得平面
D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________.
13. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为______________.
14. 如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，则锐二面角的平面角的余弦值是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.
16. 记的内角，，所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若是的中线，且，的面积为，求的周长．
17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段的比赛.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率．
18. 如图，且，，且，且，平面，.
（1）设面BCF与面EFG的交线为，求证：；
（2）证明:
（3）在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
（1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．