北师大版数学七上期末考点提升练习专题23 三角板转动求角和角平分线结合（2份，原卷版+解析版）

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（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝ °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝ °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．
【答案】（1）15；（2）40；（3）112°
【分析】（1）根据平角的定义求解即可；
（2）根据∠COF＝20°，先求解∠EOF＝70°，再根据OF平分∠AOE，求解∠AOE＝140°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可；
（3）根据∠COF＝56°，先求解∠EOF＝34°，由OF平分∠AOE，可得到∠AOE＝68°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可．
【详解】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，
故答案为：15；
（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，
∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，
故答案为：40；
（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．
【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义，角的平分线定义，直角的定义，熟练掌握补角的定义，角的平分线定义，角的和与差是解题的关键．
2．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将 SKIPIF 1 < 0 绕着点O顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _____________， SKIPIF 1 < 0 _____________；
(2)若射线OC是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，且 SKIPIF 1 < 0 ．
①若 SKIPIF 1 < 0 旋转到图3的位置， SKIPIF 1 < 0 的度数为多少？（用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示）
② SKIPIF 1 < 0 在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)64°，180°；
(2)①2 SKIPIF 1 < 0 ；②60°或36°
【分析】（1）根据∠BOP=180°-∠AOB-∠AOQ，可分别计算出结果；
（2）①先求∠BOP与∠PON，再利用∠BON=∠BOP+∠PON得出结论；
②分两种情况讨论：当OB旋转到OP左侧时；当OB旋转到OP右侧时解答即可．
(1)
解：MN⊥PQ，
∴∠MOQ=90°，∠AOB=90°，
∵∠AOQ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BOP=180°-∠AOB-∠AOQ=180°-90°-26°=64°，∠AOM=∠MOQ-∠AOQ=90°- SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠BOQ=∠AOB+∠AOQ=90°+ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠AOM+BOQ=90°- SKIPIF 1 < 0 +90°+ SKIPIF 1 < 0 =180°；
(2)
①∵∠MOP=90°，∠POC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠MOC=90°- SKIPIF 1 < 0 ，
∵OC是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴∠BOM=2∠MOC=2(90°- SKIPIF 1 < 0 )=180°-2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BOP=90°-∠BOM=2 SKIPIF 1 < 0 -90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2 SKIPIF 1 < 0 -90°+90°=2 SKIPIF 1 < 0 ；
②当OB旋转到OP左侧时，如图：
∵OC是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴∠BOC=∠MOC，
∵∠AOC＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠MOC，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，
∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，
∴ SKIPIF 1 < 0 =90°-∠MOC=60°；
当OB旋转到OP右侧时，如图：
设∠AOM=x，
∵∠AOC＝2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
∴∠BOC=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴ SKIPIF 1 < 0 =90°-∠MOC=36°；
综上 SKIPIF 1 < 0 的值为：60°或36°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，分情况讨论是解题关键．
3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．
（1）∠EOC＝ ；
（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数；
（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝ SKIPIF 1 < 0 ∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【答案】（1）40°；（2）10°；（3）30°或60°
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 和∠BOC的度数可以得到 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）根据OC是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 ，可以求得 SKIPIF 1 < 0 的度数，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的度数，从而可得 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（3）画出符合题意的两种图形，设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∠DOC＝ SKIPIF 1 < 0 ∠AOE可得 SKIPIF 1 < 0 的度数，由 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①若OD在OC下方时，∠DOC＝ SKIPIF 1 < 0 ∠AOE，
设∠DOC＝ SKIPIF 1 < 0 ，则∠AOE＝3 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
②若OD在OC上方时，∠DOC＝ SKIPIF 1 < 0 ∠AOE，
设∠DOC＝ SKIPIF 1 < 0 ，则∠AOE＝3 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了角的计算和旋转的知识以及角平分线的性质和应用，解题的关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量．
4．已知，如图，把直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的直角顶点 SKIPIF 1 < 0 放在直线 SKIPIF 1 < 0 上，射线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为 ；
（3）由（1）和（2），我们发现 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转到如图所示的位置，试问 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4）不变.理由见解析.
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据角平分线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．
（2）根据（1）中的步骤进行求解即可．
（3）根据（1），（2）的结果直接进行计算即可．
（4）根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ,根据角平分线的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ．
（4）不变，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线的性质及邻补角等知识，熟练掌握直角三角形与角平分线的性质进行计算是解题的关键．
5．如图1，点A、O、B在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB另一侧，直角三角形DOE绕直角顶点O逆时针旋转（当OD与OC重合时停止），设∠BOE=α：
（1）如图1，当DO的延长线OF平分∠BOC，∠α=______度；
（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE继续逆时针旋转，当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD= SKIPIF 1 < 0 ∠AOC，∠α=__度；
（3）在上述直角三角形DOE的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．
【答案】（1）30 ；（2） 110；（3）（∠COD+∠α）的度数不变，见解析.
【分析】（1）先根据邻补角定义和角平分线的定义求出∠BOF的度数，再根据余角的定义即可求出∠α的度数；
（2）根据∠AOD= SKIPIF 1 < 0 ∠AOC易得∠AOD=20°，根据余角的定义可求出∠AOE=70°，再根据补角的定义即可求出∠α的度数；
（3）根据周角等于360°可得∠COD+∠α=360°-∠DOE-∠BOC，∠DOE与∠BOC的大小不变，可知（∠COD+∠α）的度数不变且为150°．
【详解】解：（1）∵DO的延长线OF平分∠BOC，∠AOC=60°，
∴∠BOF= SKIPIF 1 < 0 ∠BOC= SKIPIF 1 < 0 （180°-∠AOC）= SKIPIF 1 < 0 （180°-60°）=60°，
又∵∠DOE=90°，
∴∠α=90°-∠BOF=90°-60°=30°．
故答案为30
（2）当OD位于∠AOC的内部，且∠AOD= SKIPIF 1 < 0 ∠AOC时，∠AOD= SKIPIF 1 < 0 ，
又∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=90°-∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠α=180°-∠AOE=180°-70°=110°．
故答案为110
（3）（∠COD+∠α）的度数不变．
理由如下：
∵（∠COD+∠α）+∠DOE+∠BOC=360°，
∵∠DOE=90°，∠BOC=120°，
∴∠COD+∠α=360°-90°-120°=150°．
∴（∠COD+∠α）的度数不变且为150°．
【点睛】本题主要考查了余角和补角的定义以及角平分线的定义，互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°．
6．如图1，将一块含 SKIPIF 1 < 0 角的三角板ABO的一边BO放在直线MN上，AB边在直线MN的上方，其中 SKIPIF 1 < 0 ，另一块含 SKIPIF 1 < 0 角的三角板POQ的一边OQ在直线MN上，另一边OP在直线MN的下方．
SKIPIF 1 < 0 现将图1中的三角板POQ绕点O按顺时针方向旋转，当直线MN恰好为 SKIPIF 1 < 0 的平分线时，如图2所示，则 SKIPIF 1 < 0 的度数______度；
SKIPIF 1 < 0 继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OA落在 SKIPIF 1 < 0 的内部，且AO恰好为 SKIPIF 1 < 0 的平分线时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
SKIPIF 1 < 0 在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，若三角板POQ绕点O以每秒 SKIPIF 1 < 0 的速度匀速旋转，当三角板POQ的OP边或OQ边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 ，则求此时三角板POQ绕点O旋转的时间t的值 SKIPIF 1 < 0 请直接写出答案 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）75；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）当OP边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 时旋转时间为11秒或23秒．
【分析】(1)根据三角板PQO的特性结合题意可得出∠POM=45°，在平角MON中可求出∠AOP的度数；
(2)根据角平分线的定义即可得到结论；
(3)此题分两种情况，一种OP边所在直线平分∠AOB，另一种OQ边所在直线平分∠AOB，找出两种情况下三角板PQO绕点O旋转的度数，即可求出时间t．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 直线MN平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为平角，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的度数为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为75；
SKIPIF 1 < 0 恰好为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 根据题意可知，分两种情况，
SKIPIF 1 < 0 当OP边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 时，三角板PQO绕点O旋转的度数为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时间 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当OQ边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 时，三角板PQO绕点O旋转的度数为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时间 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 ．
综合 SKIPIF 1 < 0 得当OP边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平分 SKIPIF 1 < 0 时旋转时间为11秒或23秒．
【点睛】此题考查了角平分线的定义，根据题意找到各个量之间的关系是解题的关键．
7．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．
（1）如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；
（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．
【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD 互补，理由详见解析；（4）∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；
（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．
【详解】解：解：（1）若∠BOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，
若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；
（3）∠AOC与∠BOD 互补．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC 与∠BOD互补．
（4）OD⊥AB时，∠AOD=30°，
CD⊥OB时，∠AOD=45°，
CD⊥AB时，∠AOD=75°，
OC⊥AB时，∠AOD=60°，
即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；
故答案为（1）145°，45°；（2）40°．
【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．
8．如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．
(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；
(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0