浙教版数学八年级下册重难点提升训练专题1.4 二次根式（压轴题综合）（2份，原卷版+解析版）

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专题1.4 二次根式（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2021秋•麦积区期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据形如（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．【解题过程】解：A、当a+1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、当a﹣1＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；D、∵a2≥0，∴a2+2＞0，是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．2．（2021秋•龙泉驿区期末）下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘法与除法的法则对各项进行运算即可．【解题过程】解：A、，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B．3．（2021秋•徐汇区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据最简二次根式的定义判断即可．【解题过程】解：A.，故A不符合题意；B.2，故B不符合题意；C.|x﹣1|，故C不符合题意；D.是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．4．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列二次根式中，化简后可以合并的是（　　）A．和 B．和 C．和 D．和【思路点拨】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同即可判断．【解题过程】解：A.和不能合并，故A不符合题意；B．∵|a|，∴与能合并，故B符合题意；C.与不能合并，故C不符合题意；D．∵5，∴与不能合并，故D不符合题意；故选：B．5．（2020•青羊区自主招生）a6a5a2的值为（　　）A．是正数 B．是负数 C．是非负数 D．可为正也可为负【思路点拨】先根据二次根式的意义确定a的取值范围，再化简计算即可．【解题过程】解：由题意得：，∴a＜0，∴原式＝a5a，＝4a5a，＝9a0，故选：B．6．（2020•武昌区校级自主招生）已知实数x满足等式，则x的取值范围是（　　）A．﹣1＜x B．﹣1≤x C．﹣1＜x D．x【思路点拨】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解题过程】解：由题意可知：，∴﹣1＜x，故选：A．7．（2020•汉阳区校级自主招生）化简：的结果是（　　）A．6 B． C． D．【思路点拨】利用完全平方公式将已知二次根式变形为即可求解．【解题过程】解： （33）＝3，故选：D．8．（2020•鹿城区校级自主招生）设，则代数式x（x+1）（x+2）（x+3）的值为（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【思路点拨】根据已知条件得出x+1、x+2和x+3的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解题过程】解：∵x，∴x+1，x+2，x+3，∴原式 ＝﹣1×1＝﹣1．故选：C．9．（2020•镜湖区自主招生）当x＝4时，的值为（　　）A．1 B． C．2 D．3【思路点拨】利用完全平方公式先把原式化简得到，利用x＝4得到原式，再把复合二次根式化得到，然后分母有理化后合并．【解题过程】解：原式，而x＝4，所以原式 ＝1．故选：A．10．（2020•新华区校级自主招生）如果实数x，y满足（x）（y）＝1，那么x+y值为（　　）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【思路点拨】根据平方差公式发现：（x）（x）＝x2+1﹣x2＝1，（y）（y）＝y2+1﹣y2＝1，根据已知可得方程组，相加可得结论．【解题过程】解：∵（x）（x）＝x2+1﹣x2＝1，（y）（y）＝y2+1﹣y2＝1又∵（x）（y）＝1，∴，①+②得：﹣x﹣y＝x+y，∴2（x+y）＝0，∴x+y＝0．故选：A．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2021秋•南岗区校级期末）若是整数，则正整数n的最小值是 　 　．【思路点拨】因为是整数，且2，则21n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为21．【解题过程】解：∵2，且是整数，∴2是整数，即21n是完全平方数；∴n的最小正整数值为21．故答案为：21．12．（2021春•崇川区校级月考）设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2yy＝17+4，则（y）2021＝　　．【思路点拨】根据题中等式列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．【解题过程】解：∵x，y是有理数，且x，y满足等式x+2yy＝17+4，∴，解得：，则原式＝（4）2021＝（5﹣4）2021＝12021＝1．故答案为：1．13．（2020•浙江自主招生）设a﹣b＝2，b﹣c＝2，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　　．【思路点拨】将a﹣b＝2和b﹣c＝2相加，得到a﹣c＝4，再将a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc转化成关于a﹣b，b﹣c，a﹣c的完全平方的形式，再将a﹣b＝2，b﹣c＝2和a﹣c＝4整体代入即可．【解题过程】解：∵a﹣b＝2，b﹣c＝2，两式相加得，a﹣c＝4，原式＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac ＝15．14．（2021秋•鄞州区校级期末）已知，，|b3+c3|＝b3﹣c3，则a3b3﹣c3的值为 　　．【思路点拨】根据绝对值的意义分析b和c的取值，然后利用完全平方公式计算求得ab的值，从而进行计算．【解题过程】解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴4ab＝（）2﹣（）222＝4，∴ab＝1，∵|b3+c3|＝b3﹣c3，且|b3+c3|＝±（b3+c3），当|b3+c3|＝b3+c3＝b3﹣c3时，c＝0，∴原式＝（ab）3﹣03＝1，当|b3+c3|＝﹣b3﹣c3＝b3﹣c3时，b＝c＝0，此时ab＝0，故此情况不成立，综上，原式的值为1，故答案为：1．15．（2021秋•昌江区校级期中）已知x＞0，y＞0，x2+y2＝36，250，则xy＝　 　．【思路点拨】根据完全平方公式和平方差公式将250变形，然后计算求值即可．【解题过程】解：＝[（）2+（）2]2﹣2（）2（）2＝（x﹣2y+x+2y）2﹣2（x﹣y）2＝（2x+2y）2﹣2（x2﹣2xy+y2）＝4x2+8xy+4y2﹣2x2+4xy﹣2y2＝2x2+12xy+2y2，∵x＞0，y＞0，x2+y2＝36，250，∴2x2+12xy+2y2＝2（x2+y2）+12xy＝2×36+12xy＝72+12xy＝250，解得xy，故答案为：．三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（8分）（2021秋•牡丹区月考）计算：①|2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0；②；③（﹣2）2﹣（）；④（23）（23）﹣（1）2．【思路点拨】①根据实数的运算法则，先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、立方根，然后计算加减．②根据二次根式的乘除运算法则，从左往右计算．③根据实数的混合运算法则，先计算乘方、去括号、乘法，再计算加减．④根据二次根式的混合运算法则，先计算乘法、乘方，再计算减法．【解题过程】解：① ．② ＝1．③（﹣2）2﹣（） ．④（23）（23） ＝12﹣9﹣4＝﹣1．17．（4分）（2021秋•浦东新区校级月考）已知，求代数式20x2+55xy+20y2的值．【思路点拨】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形进而代入得出答案．【解题过程】解：∵x（）2＝5﹣2，y（）2＝5+2，∴原式＝20x2+40xy+20y2+15xy＝20（x2+2xy+y2）+15xy＝20（x+y）2+15xy＝20×（5﹣25+2）2+15×（5﹣2）（5+2）＝20×102+15×（25﹣24）＝2000+15＝2015．18．（4分）（2021秋•高州市期中）已知|2018﹣a|a，求a﹣20182+2020的值．【思路点拨】根据二次根式有意义确定a的取值范围，再化简二次根式，进而得出a的值，然后代入所求式子计算即可．【解题过程】解：∵有意义，∴a﹣2020≥0，解得：a≥2020，∴|2018﹣a|＝a﹣2018，∴原式化简为，则，∴a＝20182+2020，∴a﹣20182+2020＝20182+2020﹣20182+2020＝4040．19．（6分）（2022•丛台区校级开学）已知m，n是两个连续的正整数，m＜n，a＝mn，求证：是定值且为奇数．【思路点拨】先由m和n是两个连续的正整数和m＜n得到n＝m+1，然后得到a＝m（m+1），进而将a和m代入中化简证明．【解题过程】证明：∵m和n是两个连续的正整数，m＜n，∴n＝m+1，∴a＝mn＝m（m+1），∴（m+1）﹣m＝1，∴是定值且为奇数1．20．（6分）计算：．【思路点拨】将每个二次根式分母有理化，再将每个式子拆分为两个式子，寻找抵消规律．【解题过程】解：原式 ＝1＝1．21．（8分）（2021秋•崇川区校级月考）已知x为实数且x2+3x+1＝0．①求x的值；②求的值．【思路点拨】①先将已知等式两边同时除以x，可得结论；②将原式的被开方数化简成完全平方数，根据①中的结论：x3，可知x是负数，则x﹣1是负数，化简可得结论．【解题过程】解：①∵x2+3x+1＝0，∴x≠0，∴x+30，∴x3；② ＝|（x﹣1）|，∵x3，∴x＜0，∴x﹣1＜0，0，∴原式＝1﹣x＝1﹣x ，∵x2+3x+1＝0，∴x2＝﹣3x﹣1，∴原式 ＝5．22．（8分）（2021秋•泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）若3与x是关于1的平衡数，5与y是关于1的平衡数，求x，y的值；（2）若（m）×（1）＝﹣2n+3（1），判断m与5n是否是关于1的平衡数，并说明理由．【思路点拨】（1）根据题意列式计算即可；（2）将已知等式化简可得，m+2n﹣2m0，然后分三种情况分别列式计算：①当m和n均为有理数时，②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，进而可得结论．【解题过程】解：（1）根据题意可知：3+x＝2，解得x＝﹣1，5y＝2，解得y＝﹣3；（2）（m）×（1）＝﹣2n+3（1），∴mm3＝﹣2n+33，∴m+2n﹣2m＝0，①当m和n均为有理数时，则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，解得：m＝﹣2，n＝1，当m＝﹣2，n＝1时，m5n253≠2，所以m与5n不是关于1的平衡数；②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，m5nm+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，所以m与5n不是关于1的平衡数；③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，∵m+2n﹣2m＝0，解得m，n，使得m与5n是关于1的平衡数，当m，n时，m与5n不是关于1的平衡数，综上可得：当m，n时，m与5n是关于1的平衡数，否则m与5n不是关于1的平衡数．23．（11分）（2021春•莆田期中）阅读下面材料：同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④中，属于神奇对称式的是　　（填序号）；（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式　 　；②若q＝0，求神奇对称式的最小值．【思路点拨】（1）根据神奇对称式的概念进行判断；（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn，m+n的值，然后利用分式的计算法则进行计算；②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．【解题过程】解：（1），故①是神奇对称式；只有当m+n＝0或m﹣n＝0时，m2﹣n2＝n2﹣m2，∴m2﹣n2不一定等于n2﹣m2，故②不是神奇对称式；只有当m＝n≠0或m＝﹣n时，，∴不一定等于，故③不是神奇对称式；，故④是神奇对称式；故答案为：①④；（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，∴，故答案为：；②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，∴m+n＝p，mn＝q，原式＝m2n2＝（m+n）2﹣2mn＝p2﹣2q，又∵，∴p＝±q，当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，∴此时，原式的最小值是0；当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，∴此时，原式的最小值是﹣2；综上，的最小值是﹣2．题号一二三总分得分 评卷人  得 分    评卷人  得 分    评卷人  得 分