初中数学浙教版（2024）七年级下册第五章 分式5.5 分式方程达标测试

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【典例1】已知，关于x的分式方程1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值．
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解题过程】
解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x，
检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x．
答：分式方程的解是x．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
1．（2021春•南芬区月考）在①x2﹣x，②3＝a+4，③5x＝6，④1中，其中关于x的分式方程的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解题过程】
解：①x2﹣x是分式，不是分式方程；
②3＝a+4是关于a的分式方程；
③5x＝6是一元一次方程；
④1是关于x的分式方程，
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A．
2．（2022•黑龙江模拟）已知分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k＞1且k≠﹣1C．k＜1D．k＜1且k≠0
【思路点拨】
根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解题过程】
解：解得x＝k﹣1．
由关于x的分式方程的解是负数，得k﹣1＜0，且k≠0，
解得k＜1且k≠0．
故答案为：D．
3．（2022春•普宁市校级月考）若分式方程的解为整数，则整数a＝（ ）
A．a＝±2B．a＝±1或a＝±2C．a＝1或2D．a＝±1
【思路点拨】
对方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程即可求解．
【解题过程】
解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，
（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得：﹣2ax＝﹣4，
即ax＝2，
∵x，a为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∵原分式方程要求x≠±1，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故选：D．
4．（2022•龙马潭区模拟）已知关于x的方程无解，则实数m的取值是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】
将关于x的分式方程去分母，整理成整式方程，使整式方程未知数的系数为0，或是分式方程产生增根即可．
【解题过程】
解：关于x的方程，去分母得，
x﹣4m+m（x+2）＝x﹣2，
整理得，mx＝2m﹣2，
由于关于x的方程无解，
所以m＝0，或产生增根x＝±2，
当x＝2时，m的值不存在，当x＝﹣2时，m，
因此m＝0或m，
故选：D．
5．（2022•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组有且只有两个偶数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．4B．5C．6D．9
【思路点拨】
根据题目的条件确定m的取值范围即可求解．
【解题过程】
解：解不等式组：，
得，
∴不等式组解为，
∵不等式组有且仅有两个偶数解，
∴这两个偶数解为2、4，
∴，
即，1＜m≤5，
解分式方程，得y，
由于y是整数且y≠2，因此m≠4，
又因为1＜m≤5，m是整数，因此m＝2，m＝3，
所以满足条件的整数m的值之和是5．
故选：B．
6．（2022春•锡山区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．﹣1D．2
【思路点拨】
先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解题过程】
解：，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：x＜﹣1，
∵不等式组的解集恰好有3个负整数解，
∴﹣54，
∴﹣5＜a≤7，
1，
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
解得：y，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y为整数且1，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
7．（2022春•开州区月考）若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣9B．﹣8C．﹣5D．﹣4
【思路点拨】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数，确定出a的值，求出之和即可．
【解题过程】
解：不等式组整理得：，
∵关于x的不等式组有解，
∴2a+2≤8，
即a≤3，
解分式方程得y，
∵关于y的分式方程的解为非负数，
∴0，且2，
解得，a≥﹣5且a≠﹣1，
∴﹣5≤a≤3，且a≠﹣1，
∵a为整数，
∴a＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，
∴满足条件的所有整数a的值之和：（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+0+1+2+3＝﹣8．
故选：B．
8．（2022春•渝北区校级月考）已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【思路点拨】
分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程无解确定出m的值，整理不等式组表示出解集，由不等式组有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的值即可．
【解题过程】
解：分式方程去分母得：
mx+2（x﹣6）＝3（x﹣2），
∴mx+2x﹣12＝3x﹣6，
∴（m﹣1）x＝6，
当m﹣1＝0时，
即m＝1，方程无解；
当m﹣1≠0时，
即m≠1，
x，
由分式方程无解，得：
2或6，
解得：m＝4或m＝2，
整理不等式组得：
，
即﹣8≤y＜m﹣4，
∵不等式组有且只有三个偶数解，
∴偶数解为﹣8，﹣6，﹣4，
∴﹣4＜m﹣4≤﹣2，
即0＜m≤2，
∴符合条件的整数m的值为2，
故选：B．
9．（2022•东港区校级开学）a＝ 时，关于x的方程的解为1．
【思路点拨】
本题需先把分式方程化成整式方程，再根据关于x的方程的解为1，即可求出a的值．
【解题过程】
解：
（x﹣2）（2a﹣3）＝（x+1）（a+5）
ax﹣8x﹣5a+1＝0，
把x＝1代入，得a﹣8﹣5a+1＝0，
解得a．
故答案为：．
10．（2021秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 7 ．
【思路点拨】
解分式方程，用a表示x，根据最简公分母及一次系数不为0，求出a且a≠﹣1，a≠1，再根据关于x的方程的解为整数，求出a的值，进而求出满足条件的所有整数a的和．
【解题过程】
解：原分式方程可化为：，
去分母，得x﹣3﹣a（x+1）＝2a﹣2，
解得，x

＝﹣3，
∵x≠3且x≠﹣1，
∴﹣33且﹣31，
∴a且a≠﹣1，a≠1，
∵关于x的方程的解为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4，
∴a＝﹣3、0、2、3、5，
∴﹣3+0+2+3+5＝7，
故答案为：7．
11．（2021•雁江区模拟）若数m使关于x的不等式组至少有3个整数解且所有解都是2x﹣5≤1的解，且使关于x的分式方程有整数解．则满足条件的所有整数m的和是 2 ．
【思路点拨】
先解不等式组得﹣5≤x＜m，再由题意可知﹣2≤m≤3；再解分式方程得x，由方程有整数解，则3m﹣1是2的倍数，因为x≠1，所以m≠1，则可求满足条件的整数为2．
【解题过程】
解：，
由①得，x≥﹣5，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴﹣2≤m，
∵2x﹣5≤1的解集是x≤3，
∴m≤3，
∴﹣2≤m≤3，
，
方程两边同时乘x﹣1，得4x﹣2﹣3m+1＝2x﹣2，
移项、合并同类项得，2x＝3m﹣1，
解得x，
∵分式方程有整数解，
∴3m﹣1是2的倍数，
∵x≠1，
∴m≠1，
∵m是整数，
∴m＝﹣1，3，
∴满足条件的所有整数m的和是2，
故答案为：2．
12．（2021•龙泉驿区模拟）若关于x的不等式组无解，关于y的方程1的解大于1．则m的取值范围是 12＜m≤18，且m≠16 ．
【思路点拨】
解不等式组，根据不等式组无解得出m的范围；解分式方程，根据解大于1得出m的范围；检验分式方程，得出m的范围；综上所述，得出m的范围．
【解题过程】
解：，
解不等式①得：x＞5，
解不等式②得：x，
∵不等式组无解，
∴5，
∴m≤18；
解关于y的分式方程，
方程两边都乘以（y+2）（y﹣2）得：（y+2）2﹣（y+2）（y﹣2）＝m，
∴y2+4y+4﹣（y2﹣4）＝m，
∴y2+4y+4﹣y2+4＝m，
∴4y＝m﹣8，
∴ym﹣2，
∵y＞1，
∴m﹣2＞1，
∴m＞12，
∵（y+2）（y﹣2）≠0，
∴y≠±2，
∴m﹣2≠±2，
∴m≠0，m≠16，
综上所述，12＜m≤18，且m≠16．
故答案为：12＜m≤18，且m≠16．
13．（2021秋•仓山区校级期末）解下列方程
（1）0；
（2）2．
【思路点拨】
（1）方程两边都乘x（x﹣1）得出3x﹣（x+2）＝0，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x+2得出7﹣2（x+2）＝2﹣3x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解题过程】
解：（1）0，
0，
方程两边都乘x（x﹣1），得3x﹣（x+2）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无实数根；
（2）2，
方程两边都乘x+2，得7﹣2（x+2）＝2﹣3x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x+2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣1．
14．（2022春•河南月考）已知关于x的方程：3．
（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；
（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正整数，得出关于m的方程，解方程即可得出m的值；
（2）去分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再根据方程的解为正数及分式方程的意义，得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围．
【解题过程】
解：（1）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
解得：x，
∵方程的解为正整数，且x≠2，
∴4﹣m＝5或4﹣m＝1且4﹣m≠2
解得：m＝﹣1或3，且m≠2，
∴整数m的值为﹣1或3；
（2）去分母得：x+1＝mx﹣3（x﹣2），
解得：x，
∵方程的解为正数且x≠2，
∴0且2，
解得：m＜4，且m，
∴m的取值范围为m＜4且m．
15．（2021春•城关区校级期末）已知关于x的分式方程
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【思路点拨】
方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解题过程】
解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
16．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
【思路点拨】
表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可．
【解题过程】
解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，
由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，
解得：x0，得a＞2，
不等式组整理得：，即2a﹣5≤x＜11，
由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，
解得，a≤6，
由x为正整数，且0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，
解得：a＝3或4或6，
∵分式方程中x＝4增根，a≠4，
∴a＝3或6，
∵a≤6，
∴a＝3或6，
3+6＝9，
则符合条件的所有整数a的和为9．
故答案为：9．
17．（2021秋•庄浪县期末）观察下列等式：，将以上三个等式两边分别相加得：．
解答下面的问题：
（1）猜想并写 ；
（2）求的值；
（3）探究并解方程：．
【思路点拨】
（1）根据题干中的规律即可得出结果；
（2）利用题干中的规律进行计算即可得出结果；
（3）利用规律把方程左边化简，再解分式方程即可．
【解题过程】
解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
∵，
∴
＝1...
＝1
；
（3），
（），
（），
x3+18x+9x2+162﹣x3﹣18x＝9x2+81x，
81x＝162，
x＝2，
检验：当x＝2时，x（x+9）（x2+18）≠0，
∴x＝2是原分式方程的根．
18．（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为： ；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：．
【思路点拨】
（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
【解题过程】
解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
19．（2021秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程的解为：x1＝ 3 ，x2＝ ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
【思路点拨】
（1）根据题意可得x＝3或x；
（2）由题意可得a+b＝5，ab＝3，再由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19；
（3）方程变形为x﹣1k﹣1，则方程的解为x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，则有t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，整理得k＝t+t2+2，t3+t＝4，再将所求代数式化为k2﹣4k+2t3＝t（t3+t）+4t3﹣4＝4（t3+t）﹣4＝12．
【解题过程】
解：（1）∵xa+b的解为x1＝a，x2＝b，
∴的解为x＝3或x，
故答案为：3，；
（2）∵x5，
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
（3）k﹣x可化为x﹣1k﹣1，
∵方程k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，
则有x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，
∴t（t2+1）＝4，t+t2+1＝k﹣1，
∴k＝t+t2+2，t3+t＝4，
k2﹣4k+2t3
＝k（k﹣4）+2t3
＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+2t3
＝t4+4t3+t2﹣4
＝t（t3+t）+4t3﹣4
＝4t+4t3﹣4
＝4（t3+t）﹣4
＝4×4﹣4
＝12．