浙教版数学七年级下册重难点培优训练专题5.4 分式（压轴题）（2份，原卷版+解析版）

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专题5.4 分 式（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•梁溪区期中）下列各式中：，，，，，，，分式有（　　）个．A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．【解题过程】解：，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，，是分式，共3个，故选：B．2．（2021秋•顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】根据最简分式的概念逐一判断即可．【解题过程】解：A．，不是最简分式，不符合题意；B．（x﹣2）＝﹣x+2，不是最简分式，不符合题意；C．是最简分式，符合题意；D．，不是最简分式，不符合题意；故选：C．3．（2022春•镇平县月考）在分式中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（　　）A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍 C．不变 D．缩小到原来的【思路点拨】通过分式的基本性质，将分子分母同时乘以100得到，分式的值不变，然后将中，把x，y的值都扩大到原来100倍，得到，所以分式的值不变．【解题过程】解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．∴将中的分子和分母同时乘以100，分式的值不变，∴原式，∵中，把x，y的值都扩大到原来100倍，∴原式，∴分式的值不变，故选：C．4．（2022春•宛城区校级月考）下列运算正确的是（　　）A． B．a+b C． D．【思路点拨】根据分式的基本性质逐一处理即可．【解题过程】解：A、，故A选项不符合题意；B、是最简分式，不能继续化简，故B选项不符合题意；C、，故C选项不符合题意；D、，故D选项符合题意．故选：D．5．（2021秋•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（　　）①；②；③；④．A．①③ B．②④ C．①② D．③④【思路点拨】利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．【解题过程】解：①，故①正确；②，故②正确；③，故③错误；④，故④错误，故选：C．6．（2021秋•房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（　　）千米/时．A． B． C． D．【思路点拨】设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度，列分式并化简即可得出答案．【解题过程】解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，则平均速度（千米/时）．故选：C．7．（2022•昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（　　）A． B． C． D．【思路点拨】由实际每天比原计划多改造10米，可得出原计划每天改造（x﹣10）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际所用时间比原计划少十分之一，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解题过程】解：∵施工时，每天比原计划多改造10米，且实际每天改造x米，∴原计划每天改造（x﹣10）米．依题意得：（1）．故选：A．8．（2021秋•鼓楼区校级期末）计算所得的结果是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】原式进行通分计算．【解题过程】解：原式 ，故选：C．9．（2022•景县校级模拟）有一道题目：已知（）•A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（　　）A．嘉嘉的说法正确 B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3 C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3 D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5【思路点拨】根据（）•A＝1，可以计算出A，然后根据A＜2和（a+3）（a﹣3）≠0，即可得到a的取值范围，从而可以判断哪个选项是正确的．【解题过程】解：∵（）•A＝1，∴A＝1÷（）＝1＝1•＝a﹣3，∵A＜2，∴a﹣3＜2，解得a＜5，又∵（a+3）（a﹣3）≠0，∴a≠±3，由上可得，当A＜2时，a的取值范围是a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5，故选：D．10．（2022•渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（　　）A．2 B．5 C．6 D．9【思路点拨】利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．【解题过程】解：∵不等式组的解集为x＞2，∴a﹣2≤2．∴a≤4．关于y的分式方程1的解为y．∵y＝3是原分式方程的增根，∴3．∴a≠3．∵关于y的分式方程1的解为正整数，∴为正整数．∴a＝2，4，7．∵a≤4，∴a＝2，4．∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022春•宜兴市校级月考）当x　≠1　时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 　1　．【思路点拨】根据分式有意义的条件，分母不为0；分式值为0，即分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．【解题过程】解：当x﹣1≠0时，即当x≠1时，分式有意义，∵分式的值为0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，∴x＝±1且x≠﹣1，∴x＝1，故答案为：≠1，1．12．（2021秋•交城县期末）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ﹣4或6　．【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解题过程】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），∵分式方程会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，解得：x＝﹣2或x＝2，把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，解得：m＝6；把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，解得：m＝﹣4，则m的值是﹣4或6．故答案为：﹣4或6．13．（2021秋•江北区期末）已知，则　　．【思路点拨】根据已知可得3，从而得x3，然后先求出的值即可解答．【解题过程】解：∵，∴3，∴x3，x2﹣1＝x21＝（x）2﹣2﹣1＝32﹣3＝6，∴，故答案为：．14．（2021秋•思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足，则y的值是 　　．【思路点拨】已知等式左边分子分母都除以分子，得到关系式，联立求出y的值即可．【解题过程】解：∵三个数，x，y，z满足3，，，∴3，，，即①，②，③，②﹣③得：④，①+④得：，解得：y．故答案为：．15．（2022•绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 　10　天．【思路点拨】设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．由题意：甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．列出分式方程，得出x＝60，则1.5x＝90，再设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，然后由题意：若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解题过程】解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．根据题意得：4，解得：x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，则1.5x＝90．即乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得：7m5≤195．解得：m≥10．即至少安排甲队工作10天，故答案为：10．三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2022春•镇平县月考）计算下列各题：（1）（）；（2）（）•．【思路点拨】（1）先化简第一个分式，再通分、计算分式的加减法；（2）先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可．【解题过程】解：（1）原式 ；（2）原式＝[]•＝（）•• ．17．（2022春•靖江市校级月考）解方程：（1）；（2）．【思路点拨】（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘3（x﹣2）得出3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【解题过程】解：（1），1，方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝﹣1是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣1；（2），1，方程两边都乘3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），解得：x＝2，检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0，所以x＝2是增根，即原方程无实数根．18．（2022•济宁一模）化简：（）并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．【思路点拨】先算括号内的，将除化为乘，化简后将有意义的x的值代入计算即可．【解题过程】解：原式＝[]•• • ，∵x＝0，x＝2和x＝4时原式无意义，∴当x＝1时，原式 ．19．（2020秋•丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：．反过来，有．运用这个运算规律可以计算：11．（1）请你运用这个运算规律计算：　　；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的第m次倒出的水量是L的按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．【思路点拨】（1）利用拆项方法变形即可得到结果；（2）①由第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，得出倒2次水倒出的总水量是，第3次倒出的水量是L的，那么倒3次水倒出的总水量是，同理得出倒m次水倒出的总水量的式子是，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；②将①的计算结果与1比较即可求解．【解题过程】解：（1） ．故答案为：；（2）①＝1＝1（L）；②这1L水不能倒完，理由如下：∵1，∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1L，因此，按照这种倒水的方法，这1L水不能倒完．20．（2022春•靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度100%．公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 　25%　．拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）【思路点拨】公式应用：直接应用公式代入求值即可；拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意列分式方程，解方程并且检验即可；解决本题：先表示出原来盐水的浓度，再表示加入c克盐后的盐水浓度，由于现在盐水浓度﹣原来盐水浓度大于0，可知盐水浓度变化．【解题过程】解：公式应用：盐水浓度为：25%，故答案为：25%；拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意，得，解得m＝25，经检验，m＝25是原方程的根，∴需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．解决问题：食盐水的浓度变大了，理由如下：∵原来盐水的浓度：，现在盐水的浓度：，∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度，∵a＞0，c＞0，且a＞b，∴a+c＞0，a﹣b＞0，∴0，∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度＞0，∴现在盐水浓度大于原来盐水的浓度，食盐水的浓度变大了．21．（2022•蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 　1.5x　千克，第一次购进水果的单价为 　　元/千克；（2）该商贩两次购进水果各多少千克？（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 　2或3　（直接写出结果）．【思路点拨】（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，（2）由题意：第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可；（3）由题意：共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的a的正整数解即可．【解题过程】解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，故答案为：1.5x，；（2）由题意得：2，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，则1.5x＝1.5×120＝180，答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，解得：a，∵a为正整数，100≤m≤200，∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；当a＝2时，m＝150，符合题意；当a＝3时，m＝200，符合题意；当a＝4时，m＝225超过范围；综上所述，a的值为2或3，故答案为：2或3．22．（2022春•海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．（1）①用含x的代数式表示y；②若x、y均为正整数，求x、y的值；（2）设p，q，y1、y2分别是分式中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．【思路点拨】（1）将已知等式变形即可求出y；（2）由于x、y均为正整数，所以x﹣2是2的正约数2或1，即可求出x和y的值；（3）先将p和q化简，然后换元m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，得出p﹣q，可知p﹣q＜0，从而得出p和q的大小关系．【解题过程】解：（1）∵xy﹣2y﹣2＝0，∴（x﹣2）y＝2，∴y；（2）∵x、y均为正整数，∴x﹣2＝2或1，∴x＝4或3，∴当x＝4时，y＝1，当x＝3时，y＝2．（3）p＜q，理由如下：∵y1，y2，∴q，令m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，则p，q，∴p﹣q（），∵x2＞x1＞2，∴m＞0，n＞0，∴mn＞0，m+n＞0，（m﹣n）2＞0，∴p﹣q＜0，∴p＜q．23．（2021•武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．（1）求的值．（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．【思路点拨】（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．【解题过程】解：（1）由等式，去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，∵xy+yz+zx≠1，∴xy+yz+zx﹣1≠0，∴xyz﹣（x+y+z）＝0，∴xyz＝x+y+z，∴原式．（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，又∵x，y，z为正实数，∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．题号一二三总分得分 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