沪科版数学七下同步讲义专题10.7 相交线、平行线与平移章末重难点突破（2份，原卷版+解析版）

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专题10.7 相交线、平行线与平移章末重难点突破【沪科版】【考点1 相交线中的规律问题】【例1】（2021秋•市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（　　）A．18 B．20 C．22 D．24【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出，m、n的值即可．【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，所以m+n＝22，故选：C．【变式1-1】（2020秋•奉化区校级期末）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　）A．100个 B．135个 C．190个 D．200个【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）n（n﹣1）个交点，据此解答即可．【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，11×2，3条直线相交最多有3个交点，3＝1+22×3，4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+33×4，5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+44×5，…n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）．20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）20×19＝190．故选：C．【变式1-2】（2021秋•杏花岭区校级期中）（1）直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，则这三条直线最多有 　3　个交点；（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，则这四条直线最多可有 　6　个交点．（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，n（n＞1）条直线最多有 　　个交点．【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第三条直线时，应尽量和前面两条直线再产生2个，即有1+2＝3个交点．依此类推即可找到规律．【解答】解：（1）三条直线相交交点最多为：1+2＝3；（2）四条直线相交交点最多为：1+2+3＝6；（3）五条直线相交交点最多为：1+2+3+4＝10；六条直线相交交点最多为：1+2+3+4+5＝15；…；n条直线相交交点最多为：1+2+3+…+n﹣1．故答案为：3，6，．【变式1-3】（2021春•自贡期末）同一平面内1条直线把平面分成两个部分（或区域）；2条直线最多可将平面分成几个部分？3条直线最多可将平面分成几个部分？4条直线最多可将平面分成几个部分？请分别画出图来．由此可知n条直线最多可将平面分成几个部分？【分析】根据直线两两相交，每三条不交于同一点，可把平面分成最多部分，根据两条直线最多分成的部分比一条直线分成部分增加2，三条直线最多分成部分比两条直线最多分成部分增加三，以此类推，可得答案．【解答】解：2条直线最多可将平面分成4个部分，如图；三条直线最多分成可将平面分成7个部分，如图；四条直线最多分成可将平面分成11个部分，如图；n条直线最多分成可将平面分成2+2+3+4+…+n个部分．【考点2 相交线与平行线中的概念判断】【例2】（2021秋•渝中区校级期末）下列命题是真命题的有（　　）（1）过两点有且只有一条线段；（2）两点之间直线最短；（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）平移前后连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据线段的性质、平行线的性质、平移的性质判断即可．【解答】解：（1）过两点有且只有一条线段，是真命题；（2）两点之间线段最短，原命题是假命题；（3）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；（4）在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；（5）平移前后连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，是真命题；故选：C．【变式2-1】（2021秋•南岗区校级月考）下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据对顶角、点到直线的距离、邻补角、垂线解决此题．【解答】解：①具有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角为对顶角，故①不正确．②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故②不正确．③互为邻补角的两个角的和为180°，那么互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故③正确．④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④不正确．综上：正确的有③，共1个．故选：A．【变式2-2】（2021春•饶平县校级月考）下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若a║b，b║c，那么a║c；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．④两条直线的位置关系有平行与相交．其中错误的说法有（　　）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答．【解答】解：①若a与c相交，b与c相交，则a与b不一定相交，可能平行，错误；②若a║b，b║c，那么a║c，正确；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故正确．④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、两种；故错误，故选：B．【变式2-3】（2021秋•丰泽区期末）下列说法：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直．其中正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】依据平行公理，垂线段最短以及平行线的性质，即可得出结论．【解答】解：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原说法正确；②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误；③如果直线a∥b，b∥c，那么a∥c，原说法正确；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确；⑤两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，原说法正确．其中正确的是①③④⑤，共4个．故选：C．【考点3 运用方程思想求角】【例3】（2021春•武昌区期中）如图，直线MD、CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°．（1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度数；（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数．【分析】（1）根据对顶角的定义可得∠COD的度数，再根据∠BOD∠COD可得∠BOD的度数，然后根据邻补角互补可得答案；（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，利用角的和差运算即可解得x，进而可得∠BON的度数．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD∠COD，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．【变式3-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．（1）求∠AOE的度数；（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．【分析】（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，列方程即可得到结论；（2）根据补角的定义即可得到结论；（3）如图，当OP在CD的上方时，当OP在CD的下方时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，∴90°﹣4x＝x﹣10°，∴x＝20°，∴∠AOE＝80°；（2）∠AOC在图中的所有补角是∠AOD，∠BOC，∠BOE；（3）∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，∴∠AOD＝100°，∴∠AOC＝80°，如图，当OP在CD的上方时，设∠AOP＝x，∴∠DOP＝100°﹣x，∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，∴80°+x＝80°+100°﹣x，∴x＝50°，∴∠AOP＝∠DOP＝50°，∵∠BOD＝∠AOC＝80°，∴∠BOP＝80°+50°＝130°；当OP在CD的下方时，设∠DOP＝x，∴∠BOP＝80°﹣x，∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，∴100°+x＝80°﹣x，∴x＝50°，∴∠BOP＝30°，综上所述，∠BOP的度数为130°或30°．【变式3-2】（2020春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．【分析】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；（3）根据（1）（2）解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，∵OC平分∠AOF，∴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；（2）∵∠AOE＝x°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，∵OC平分∠AOF，∴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴；∴∠AOE＝2∠BOD；（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．【变式3-3】（2020秋•南岗区期中）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥CD．（1）如图1，求证：∠BOE﹣∠AOC＝90°；（2）如图2，将射线OB沿着直线CD翻折得到射线OF，即∠BOD＝∠FOD，求证：OE平分∠AOF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OG⊥AB，当∠FOG：∠AOE＝2：3时，求∠COG的度数．【分析】（1）由垂直的定义及角度的和差计算可得；（2）证明OE平分∠AOF，即证明∠AOE＝∠EOF，通过题目中角度的和差运算可得；（3）设出∠FOG的度数，表示出∠AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知数的值，即可．【解答】解：（1）如图，∵AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠BOE﹣∠AOC＝90°．（2）如图，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，∴∠EOF+∠FOD＝90°，∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，∵∠BOD＝∠FOD，∴∠FOB＝2∠FOD，∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，∴∠AOE＝∠EOF，∴OE平分∠AOF．（3）如图，∵∠FOG：∠AOE＝2：3，∴设∠FOG＝2α，则∠AOE＝3α，∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，∴∠EOG＝∠BOD＝α，∴∠FOD＝∠BOD＝α，∵A，O，B三点在一条直线上，∴3α+α+2α+α＝180°，解得α＝22.5°，∴∠COG＝112.5°．【考点4 运用分类讨论思想求角】【例4】（2020秋•永嘉县校级期末）直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；②若OF平分∠AOE，∠AOF∠DOF，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据∠BOC＝130°，OE平分∠BOD即可求∠AOE的度数；（2）①根据OF⊥OE，OE平分∠BOD，即可判断OF是∠AOD的平分线；②根据OF平分∠AOE，∠AOF∠DOF，即可求∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，∴∠AOD＝∠BOC＝150°，∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝25°∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．答：∠AOE的度数为155°（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°∴∠BOE+∠AOF＝90°∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE∴∠DOE+∠AOF＝90°∠DOE+∠DOF＝90°∴∠AOF＝∠DOF∴OF是∠AOD的平分线；②∵∠AOF∠DOF，设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝5x∴∠DOE＝2x∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝4x5x+3x+4x＝180°∴x＝15°．∴∠BOD＝4x＝60°．答：∠BOD的度数为60°．【变式4-1】（2021秋•南岗区校级月考）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且∠AOB＝120°，∠COD＝70°．（1）如图1，若OC平分∠BOD，求∠AOD的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；（3）如图3，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；（2）分两种情况：当OG在EF下方时；当OG在EF上方时，计算即可；（3）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，再结合角平分线的性质可用α表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度数．【解答】解：（1）∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．（2）当OG在EF下方时，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴，∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．当OG在EF上方时，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，∴，∵OG⊥OB，∴∠BOG＝90°，∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；（3）设∠DOE＝5α，则∠FOH＝α，∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6α，∴∠BOC＝275°﹣15α，∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15α）﹣120°＝15α﹣105°，∴∠AOE＝10α﹣105°，∴∠AOE＝2∠DOE﹣105°．【变式4-2】（2020秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，①依题意补全图1；②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE＜180°）【分析】（1）①依据OD平分∠BOC，射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O，进行画图即可．②依据角平分线的定义以及垂线的的定义，即可得出∠AOE的度数；（2）分两种情况讨论：点C在直线AB上方，点C在直线AB下方，分别依据角平分线的定义以及垂线的的定义，进行计算即可．【解答】解：（1）①如图所示：②∵∠BOC＝30°，OD平分∠BOC，∴∠BOD∠BOC＝15°，∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，又∵点O在直线AB上，∴∠AOE＝180°﹣90°﹣15°＝75°；（2）分两种情况：①当点C在直线AB上方时，如图1，同理可得，∠BOD，∠DOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣90°90°；②当点C在直线AB下方时，如图2，∵OD平分∠BOC，∴∠BODα，∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝90°α，又∵点O在直线AB上，∴∠AOE＝180°﹣（90°α）＝90°α．综上所述，∠AOE的度数为90°或90°α．【变式4-3】（2020秋•金湖县期末）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样的一个问题：“如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠AOC＝30°，∠BOC＝90°，求∠DOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时∠AOC的度数不知道也可以求出∠DOE的度数．也就是说这个题目可以简化为：如图1，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．若∠BOC＝90°，求∠DOE的度数．（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图1，若∠BOC＝m°，则∠DOE＝　　°；【变式拓展】小明继续探究：（3）已知直线AM、BN相交于点O，若OC是∠AOB外一条射线，且不与OM、ON重合，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，当∠BOC＝m°时，求∠DOE的度数（自己在备用图中画出示意图求解）．【分析】（1）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，推出∠DOE即可；（2）首先假设∠AOC＝a°，然后用a表示∠AOB，再根据OD，OE两条角平分线，用m°表示∠DOE即可；（3）分三种情况讨论，第一种：OC在AM上，第二种：OC在AM下侧，∠MON之间，第三种：OC在∠AON之间，即可得到∠DOE，【解答】解：（1）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+90°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE∠AOB∠AOC（a°+90°）a°45°；（2）设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE∠AOB∠AOC（a°+m°）a°，故答案为：°；（3）①当OC在AM上，即OC在∠BOM之间，设∠AOC＝a°，则∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝a°+m°，∵OD平分∠AOB，OE平分∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE∠AOB∠AOC（a°+m°）a°；②当OC在直线AM下方，且OC在∠MON之间时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝m°，∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD∠AOC∠AOB∠BOC＝180°；③当OC在直线AM下方，且OC在∠AON之间时，由②得，∠BOC＝m°，∠DOE∠AOC∠AOB∠BOC；综上所述，∠DOE或180°．、【考点5 填写推理过程】【例5】（2021秋•皇姑区期末）填空，完成下列说理过程：如图，直线EF和CD相交于点O，∠AOB＝90°，OC平分∠AOF，∠AOE＝40°．求∠BOD的度数．解：∵∠AOE＝40°（已知）∴∠AOF＝180°﹣　∠AOE　（邻补角定义）＝180°﹣　40　°＝　140　°∵OC平分∠AOF（已知）∴∠AOC∠AOF＝　70　°（ 　角平分线的定义　）∵∠AOB＝90°（已知）∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC（ 　平角的定义　）＝180°﹣90°﹣　70　°＝　20　°【分析】由邻补角的定义可得∠AOF＝140°，再由角平分线的定义得∠AOC＝70°，再由一平角等于180°即可求解．【解答】解：∵∠AOE＝40°（已知）∴∠AOF＝180°﹣∠AOE（邻补角定义）＝180°﹣40°＝140°∵OC平分∠AOF（已知）∴∠AOC∠AOF＝70°（角平分线的定义）∵∠AOB＝90°（已知）∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC（平角的定义）＝180°﹣90°﹣70°＝20°．故答案为：∠AOE；40；140；70；角平分线的定义；平角的定义；70；20．【变式5-1】（2020秋•皇姑区期末）已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．解：∵∠COE＝90°，∠COF＝34°（已知）．∴　∠EOF　＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣34°＝56°．∵OF平分∠AOE（已知）．∴∠AOE＝2∠　EOF　（角平分线定义）．∵点O是直线AB上一点（已知）．∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝　68°　（平角定义）．∵点O是直线CD上一点（已知），∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣90°﹣　68°　＝　22°　（平角定义）．【分析】由于∠COE是直角，∠COF＝34°，由此即可求出∠EOF＝90°﹣34°＝56°，由于OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF＝56°，由于∠COF＝34°，由此即可求出∠AOC＝56°﹣34°＝22°，进而求解．【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF，∵点O是直线AB上一点，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝68°，∵点O是直线CD上一点，∴∠BOD＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故答案为：∠EOF，EOF，68°，68°，22°．【变式5-2】（2021春•普陀区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　已知　），∠AGC+∠AGD＝180°（ 　邻补角的定义　），所以∠BAG＝∠AGC（ 　同角的补角相等　）．因为EA平分∠BAG，所以∠1　∠BAG　（ 　角平分线的定义　）．因为FG平分∠AGC，所以∠2　∠AGC　，得∠1＝∠2（ 　等量代换　），所以AE∥GF（ 　内错角相等，两直线平行　）．【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），因为EA平分∠BAG，所以∠1∠BAG（角平分线的定义），因为FG平分∠AGC，所以∠2∠AGC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．【变式5-3】（2021秋•泉州期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，那么EF平分∠DEB吗？解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠1＝∠2（ 　角平分线的定义　），∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠　3　，∴∠2＝∠3（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠4＝∠3（ 　两直线平行，内错角相等　），∠2＝∠5（ 　两直线平行，同位角相等　），∴∠4＝∠5（等量代换）．∴EF平分∠DEB．【分析】利用角平分线的定义、平行线的性质等知识点，逐个分析得结论．【解答】解：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠1＝∠2（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠4＝∠3（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等），∴∠4＝∠5（等量代换）．故答案为：角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．【考点6 平行线的判定与性质综合证明题】【例6】（2021春•镇江期中）已知：如图所示，∠BAC和∠ACD的平分线交于E，AE交CD于点F，∠1+∠2＝90°．（1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD＝180°，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵∠BAC和∠ACD的平分线交于E，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠1，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2+∠3＝90°．【变式6-1】（2021秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：（1）BF∥EC；（2）∠A＝∠D．【分析】（1）由∠1＝∠2直接可得结论；（2）根据BF∥EC，∠B＝∠C，可得∠B＝∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A＝∠D．【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2（已知），∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；（2）∵BF∥EC（已证），∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）．【变式6-2】（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）证明：∵FP⊥AC，∴∠PGC＝90°，∵EF∥BC，∴∠EAC+∠C＝180°，∵∠2+∠C＝90°，∴∠BAC＝∠PGC＝90°，∴AB∥FP，∴∠1＝∠B；（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．【变式6-3】（2021秋•安居区期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．（1）AD与BC平行吗？请说明理由．（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若BE平分∠ABC．试说明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．【分析】（1）由∠ADE+∠BCF＝180°结合邻补角互补，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出AD∥BC；（2）根据角平分线的定义及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥EF；（3）①由AB∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABE＝∠E，结合角平分线的定义可得出∠ABC＝2∠E；②由AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再结合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠BCF＝∠ADC，∴AD∥BC．（2）AB∥EF，理由如下：∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，∴∠BAF∠BAD＝∠F，∴AB∥EF．（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：∵AB∥EF，∴∠ABE＝∠E．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．②∠E+∠F＝90°，理由如下：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，∴2∠E+2∠F＝180°，∴∠E+∠F＝90°．【考点7 平行线中的辅助线构造】【例7】（2021秋•西乡县期末）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解；（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解；（3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴CD∥PQ．∴∠CFP+∠FPQ＝180°∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，又∵PQ∥AB，∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠CFP，同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF（∠P+∠AEP）（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（α+∠AEP）α∠AEP﹣∠HGEα．【变式7-1】（2021秋•济阳区期末）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．（1）试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为 　∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°　．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为 　130°　；②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；②过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；②设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则可求∠P，∠Q，即可求解．【解答】解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作PH∥AB，则PH∥CD，∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，当点P在EF的右侧时，过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①∠EPF＝100°，则∠EQF＝130°，由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，故答案为130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°．理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，设：∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，则∠P＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠Q＝α+β，即：∠EPF+2∠EQF＝360°．【变式7-2】（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°　．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE＝∠A＝50°，∠EPD＝180°﹣150°＝30°，即可求出∠APD的度数；（2）过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，又∠FPA＝∠DPF﹣APD，即可得出∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；（3）PD交AN于点O，由AP⊥PD，得出∠APO＝90°，由∠PAN∠PAB＝∠APD得出∠PAN∠PAB＝90°，由∠POA+∠PAN＝90°，得出∠POA∠PAB，由对顶角相等得出∠NOD∠PAB，由角平分线的性质得出∠ODN∠PDC，即∠AND＝180°（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，代入计算即可求出∠AND的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，∵∠A＝50°，∴∠APE＝∠A＝50°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD＝180°，∵∠D＝150°，∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠CDP＝∠DPF，∠FPA+∠PAB＝180°，∵∠FPA＝∠DPF﹣APD，∴∠DPF﹣APD+∠PAB＝180°，∴∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，故答案为：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°；（3）如图3，PD交AN于点O，∵AP⊥PD，∴∠APO＝90°，∵∠PAN∠PAB＝∠APD，∴∠PAN∠PAB＝90°，∵∠POA+∠PAN＝90°，∴∠POA∠PAB，∵∠POA＝∠NOD，∴∠NOD∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN∠PDC，∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN＝180°（∠PAB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠PAB﹣APD＝180°，∴∠CDP+∠PAB＝180°+∠APD，∴∠AND＝180°（∠PAB+∠PDC）＝180°（180°+∠APD）＝180°（180°+90°）＝45°．【变式7-3】（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行线的性质得∠CDE＝∠DCM，则可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH∠ABC，∠EFG∠CFD，可得∠FGQ（∠ABC﹣∠CFD），结合（2）即可求解．【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，∴∠ABC＝∠BCM，∵AB∥ED，∴∠CDE＝∠DCM，∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：过点C作CN∥AB，如图2，∴∠ABC＝∠BCN，∵AB∥ED，∴CN∥EF，∴∠F＝∠FCN，∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，∴∠ABC＝∠BCF+∠F，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ABC＝90°+∠F，即∠ABC﹣∠F＝90°；（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，∴∠BGD＝∠CGQ，∵AB∥DE，∴∠ABH＝∠EQG，∵GP∥EF，∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，∴∠PGQ＝∠ABH，∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，∴∠ABH∠ABC，∠EFG∠CFD，∴∠FGQ∠ABC∠CFD（∠ABC﹣∠CFD），由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，∴∠FGQ90°＝45°，即∠BGD﹣∠CGF＝45°．【考点8 与平行线有关的实际问题】【例8】（2021秋•罗湖区期末）请解答下列各题：（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　，∠2＝∠4，依据是 　等量代换　．②反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　．（2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　84°　；∠3＝　90°　．【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；（2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换；②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）如图，∵∠1＝42°，∴∠4＝∠1＝42°，∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，∵m∥n，∴∠2+∠6＝180°，∴∠2＝84°，∴∠5＝∠7，∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．故答案为：84°，90°．【变式8-1】（2021秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．（2）图2中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后得到反射光线n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判断直线m与直线n的位置关系，并说明理由．（3）图3是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？【分析】（1）根据角的关系解答即可；（2）求出∠5+∠6＝180°，根据平行线的判定得出即可；（3）根据平行线的性质和平均的定义得到∠5＝∠6，根据平行线的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵∠AFE＝∠BFE＝90°，∵θ1＝θ2．∴∠1＝∠2；（2）解：直线m∥直线n，理由：如图2，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，∴∠5+∠6＝180°，∴直线m∥直线n；（3）解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，即：∠5＝∠6，∴m∥n．【变式8-2】（2020秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图①、图②中都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝130°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD为钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝x（0°＜x＜90°）．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数（可用含x的代数式表示）．【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣50°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ＝140°．【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∵α＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴EF//GH；（2）β＝2α﹣180°．理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，∵∠3＝∠4，∠4＝∠MGB∴∠3＝∠MGB，∴∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；（3）90°+m或140°．理由如下：①当n＝3时，如下图所示：∵∠BEG＝∠1＝x，∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣x，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2x，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣x），∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，则∠GHK＝120°，则∠GHC＝30°，由△GCH内角和，得γ＝90°+x．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示：根据三角形外角定义，得∠G＝γ﹣＝50°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，∠G＝γ﹣50°＝90°，则γ＝140°．综上所述：γ的度数为：90°+x或140°．【变式8-3】（2021春•广宁县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝　60°　；（2）如图2，①若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒（0＜t＜90），则∠MAM'＝　（2t）°　，∠PBP'＝　（30+t）°　；（用含t的式子表示）②在①的条件下，若AM′∥BP'，则t＝　30　秒．（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；（2）①根据路程＝速度×时间即可求出；②若AM′∥BP'，则∠M′AB＝∠P′BA，又QP∥MN，所以∠PBA＝∠MAB，所以∠M′AM＝∠PBP′，进而求解；（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°60°，故答案为：60°；（2）①设灯A转动t秒（0＜t＜90），则∠MAM'＝（2t）°，∠PBP'＝（30+t）°，故答案为：（2t）°，（30+t）°；②若AM′∥BP'，则∠M′AB＝∠P′BA，又∵QP∥MN，∴∠PBA＝∠MAB，∴∠PBA﹣∠M′AB＝∠MAB﹣∠P′BA，∴∠M′AM＝∠PBP′，∴2t＝30+t，∴t＝30；（3）不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD．【考点9 平行线中的旋转问题】【例9】（2021秋•三水区期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，设∠ACE＝x．（1）填空：∠BCE＝　90°﹣x　，∠ACD＝　90°﹣x　；（用含x的代数式表示）（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度数；（3）若三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，当∠BCE等于多少度时CD∥AB？【分析】（1）根据题意直接得出即可；（2）先得出∠BCD＝180°﹣x，再根据∠BCD＝5∠ACE解得x的值即可；（3）分情况讨论求值即可．【解答】解：（1）由题知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣x，故答案为：90°﹣x，90°﹣x；（2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x，∵∠BCD＝5∠ACE，∴180°﹣x＝5x，解得x＝30°，即∠ACE＝30°；（3）若CD∥AB分以下两种情况：①如图①，此时∠BCD+∠B＝180°，∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE，∴（90°+∠BCE）+60°＝180°，∴∠BCE＝30°；②如备用图所示，此时∠BCD＝∠B＝60°，∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BCE＝90°+60°＝150°，综上，当∠BCE等于30或150度时CD∥AB．【变式9-1】（2021秋•太仓市期末）如图所示，已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．（1）在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　40　°；②若∠CPA＝70°，求此时t的值；（2）在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①当t＝20（秒）时，∠ECP＝60°，∠BAP＝40°，可得∠CAP＝20°，即得∠CPA＝∠ECP﹣∠CAP＝40°；②根据∠BAM＝2t°，∠ECN＝3t°，且AB∥CD，∠BAC＝60°，可得（60°﹣2t°）+（180°﹣3t°）+70°＝180°，即可解得t＝26；（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．【解答】解：（1）①如图：当t＝20（秒）时，∠ECP＝20×3°＝60°，∠BAP＝20×2°＝40°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAP＝∠BAC﹣∠BAP＝20°，∴∠CPA＝∠ECP﹣∠CAP＝40°，故答案为：40°；②如图：根据题意知：∠BAM＝2t°，∠ECN＝3t°，∵AB∥CD，∠BAC＝60°，∴∠CAP＝60°﹣2t°，∠ACP＝180°﹣3t°，∵∠CPA＝70°，∴（60°﹣2t°）+（180°﹣3t°）+70°＝180°，解得t＝26，∴t的值是26；（2）存在AM∥CN，分两种情况：（Ⅰ）如图：∵AM∥CN，∴∠ECN＝∠CAM，∴3t°＝60°﹣2t°，解得t＝12，（Ⅱ）如图：∵AM∥CN，∴∠ACN＝∠CAM，∴180°﹣3t°＝2t°﹣60°，解得t＝48，综上所述，t的值为12或48．【变式9-2】（2021春•醴陵市期末）钱塘江汛期来临前，防汛指挥部准备在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是1度/秒．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN．（1）当A灯转动t秒时（0＜t＜60），用t的代数式表示灯A射线转动的角度大小；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？【分析】（1）根据灯A转动的速度是3度/秒，A灯转动t秒，于是得到结论；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，②当60＜t＜120时，③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，根据平行线的性质列方程即可得到结论．【解答】解：（1）解：∵灯A转动的速度是3度/秒，A灯转动t秒，∴灯A射线转动的角度大小为3t （0＜t＜60）；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴3t＝（30+t）×1，解得t＝15；②当60＜t＜120时，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°；∴3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，解得t＝82.5；③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，解得t＝195＞150（不合题意），综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【变式9-3】（2021春•莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定河两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）∠BAN＝　60　度．（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN需要 　90　秒；（3）若灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，当AC到达AN之前时，如图2所示．①∠PBD＝　t+30　度，∠MAC＝　2t　度（用含有t的代数式表示）；②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC∥BD？（4）在BD到达BQ之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD？若存在，直接写出转动时间，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；（2）求出灯A射线转动180°所需时间即可；（3）①用速度乘以每条光线转动的时间即可得答案；②设A灯转动t秒，当AC到达AN之前，即0＜t＜90时，两灯的光束互相平行，根据2t＝1•（30+t），即可解得 t＝30；（4）当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°60°，故答案为：60；（2）灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN，旋转了180°，∴所需时间为180÷2＝90（秒），故答案为：90；（3）①∵灯B射线BD（交MN于点D）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动．设AC转动时间为t秒，∴∠PBD＝（t+30）°，∠MAC＝2t°，故答案为：t+30，2t；②设A灯转动t秒，当AC到达AN之前，即0＜t＜90时，两灯的光束互相平行，理由如下：如图：∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得 t＝30（秒）；（4）BD到达BQ之前，即90＜t＜150时，还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC∥BD，如图：∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得 t＝110（秒）．【考点10 与平行线有关的综合题】【例10】（2021秋•丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度数（用含α，β的式子表示）；（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．【分析】（1）过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝α+β，再根据角平分线的定义可得结论；（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；（3）结合（2）和已知条件根据三角形内角和定理可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE∠PMA，可得∠NQE+2∠QNE＝180°，结合三角形的内角和定理可得∠QNE＝∠NEQ，再根据平行线的性质可得∠PNE＝∠QNE，进而可得结论．【解答】解：（1）过点P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，∵PQ平分∠MPN，∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，∵∠NEF∠AMP，∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE∠AMP，即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，∴∠NQE+2∠QNE＝180°，∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，∴∠QNE＝∠NEQ，∵QE∥PN，∴∠PNE＝∠QEN，∴∠PNE＝∠QNE，∴NE平分∠PNQ．【变式10-1】（2020秋•仁寿县期末）如图①．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B，过点B作BD⊥AM于点D，设∠BCN＝α．（1）若α＝30°，求∠ABD的度数；（2）如图②，若点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC，求∠EBF的度数；（3）如图③，在（2）问的条件下，若CF平分∠BCH，且∠BFC＝3∠BCN，求∠EBC的度数．【分析】（1）延长DB，交NC于点H，利用平行线的性质可求得∠BHC的度数，利用平角的定义可求结论；（2）延长DB，交NC于点H，利用（1）中的方法求出∠DBA，利用角平分线的定义和角的和差的表示方法即可求得结论；（3）利用角平分线的定义和平行线的性质用α分别表示∠方程，∠DFC和∠DBF，在△DBF中利用三角形的内角和定理列出关于α的方程，解方程可得α的值，则结论可求．【解答】解：（1）延长DB，交NC于点H，如图，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC．∴∠BHC＝90°．∵∠BCN＝α＝30°，∴∠HBC＝90°﹣∠BCN＝60°．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝30°；（2）延长DB，交NC于点H，如图，∵AM∥CN，BD⊥AM，∴DH⊥NC．∴∠BHC＝90°．∵∠BCN＝α，∴∠HBC＝90°﹣α．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠HBC＝α．∵BE平分∠ABD，∴∠DBE＝∠ABEα．∵∠HBC＝90°﹣α，∴∠DBC＝180°﹣∠HBC＝90°+α．∵BF平分∠DBC，∴∠DBF＝∠CBF∠DBC＝45°α．∴∠EBF＝∠DBF﹣∠DBE＝45°αα＝45°；（3）∵∠BCN＝α，∴∠HCB＝180°﹣∠BCN＝180°﹣α．∵CF平分∠BCH，∴∠BCF＝∠HCF∠HCB＝90°α．∵AM∥CN，∴∠DFC＝∠HCF＝90°α．∵∠BFC＝3∠BCN，∴∠BFC＝3α．∴∠DFB＝∠DFC﹣∠BFC＝90°α．由（2）知：∠DBF＝45°α．∵BD⊥AM，∴∠D＝90°．∴∠DBF+∠DFB＝90°．∴45°α+90°α＝90°．解得：α＝15°．∴∠FBC＝∠DBF＝45°+α＝52.5°．∴∠EBC＝∠FBC+∠EBF＝52.5°+45°＝97.5°．【变式10-2】（2021秋•香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：BD∥EF；（2）如图2，当点G在点F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度数．【分析】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．【解答】证明：（1）∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG．又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB．∴AD∥BC．∴∠DEF＝∠EFG．∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG．∴BD∥EF．（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，∵BD∥EF，∴GH∥EF．∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．∴∠PDM＝180°﹣α．∵DN平分∠PDM∴．∴．∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°α＝90°．∵DG⊥ON，∴∠DNG＝90°．∴．∵DE∥BF，∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，∴，解得：α＝30°．∴∠B＝180°﹣4α＝60°．【变式10-3】（2021秋•南岗区校级期末）已知：直线AB∥CD，一块三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求证：PQ∥FH．【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；（3）设∠AFE＝x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE＝60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CHG．∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，∴3∠CHG+60°＝180°．∴∠CHG＝40°．∴∠1＝40°．（2）解：∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系为：∠AFE＝∠E+∠MHE，理由：∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CME．∵∠CME＝∠E+∠MHE，∴∠AFE＝∠E+∠MHE．（3）证明：设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．∵AB∥CD，∴∠BFT＝∠ETF．∵∠EFT＝∠ETF，∴∠EFT＝∠BFT∠EFB＝90°x．∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFHx．∵∠Q﹣∠HFT＝15°，∴∠Q＝15°x．∵AB∥CD，∴∠AFE+∠CEF＝180°．∴∠CEF＝180°﹣x．∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．∵EQ平分∠CEH，∴∠QEH∠CEH＝105°x．∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，∴15°x+105°x+∠QPE＝180°．∴∠QPE＝60°．∵∠H＝60°，∴∠QPE＝∠H．∴PQ∥FH．