沪科版数学七年级下册专题11.3 期中解答压轴题专项训练（2份，原卷版+解析版）

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1．（2021春•蜀山区校级期中）[发现]通过计算，我们发现：
①32+42＞2×3×4；
②（﹣2）2+（﹣3）2＞2×（﹣2）×（﹣3）；
③（）2+（）2＞2；
④（﹣4）2+（﹣4）2＝2×（﹣4）×（﹣4）．
（1）[猜想]请用字母表示上面发现的规律：a2+b2 2ab．
（2）[验证]试用你所学知识说明这个规律的正确性．
因为a2+b2﹣2ab＝（ ）2，
又因为任何数的平方 0，（填“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“＝”）
所以于a2+b2 2ab．（填“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“＝”）
（3）[应用]根据发现的规律，回答：
①若xy＝5，则x2y2有最 值，这个值是 ．
②若a+2b＝4，且a、b均为正数，求ab的最大值．
2．（2021春•庐阳区校级期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．
（1）请判断S1与S2的大小：S1 S2；
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差（即S3﹣S1）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件2021＜n≤|S1﹣S2|的整数n有且只有8个，直接写出m的值为 ．
3．（2020春•瑶海区期中）用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1（请注意两个不同的符号）．解决下列问题：
（1）[﹣5.5]＝ ，＜3.8＞＝ ；
（2）若[x]＝2，则x的取值范围是 ；若＜y＞＝﹣1，则y的取值范围是 ；
（3）已知x，y满足方程组求x，y的取值范围．
4．（2021春•合肥期中）为抗击疫情，全国所有人民群策群力．合肥市某公司有甲、乙两个口罩生产车间，甲车间每天生产普通口罩6万个，N95口罩2.2万个．乙车间每天生产普通口罩和N95口罩共10万个，且每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个．
（1）求乙车间每天生产普通口罩和N95口罩各多少万个？
（2）现接到市防疫指挥部要求：需要该公司提供至少156万个普通口罩和尽可能多的N95口罩．因受原料和生产设备的影响，两个车间不能同时生产，且当天只能确保一个车间的生产，已知该公司恰好用20天完成防疫指挥部下达的任务．问：
①该公司至少安排乙车间生产多少天？
②该公司最多能提供多少个N95口罩？
5．（2021春•蜀山区校级期中）（阅读理解）“若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值”．
解：设（70﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
则（70﹣x）（x﹣20）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
那么（70﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝502﹣2×30＝2440．
（解决问题）
（1）若x满足（40﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（40﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）．
6．（2021春•台儿庄区期中）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
7．（2021秋•中原区校级期中）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K（n），例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以K（123）＝6．
（1）计算：K（342）和K（658）；
（2）若x是“梦幻数”，说明：K（x）等于x的各数位上的数字之和；
（3）若x，y都是“梦幻数”，且x+y＝1000，猜想：K（x）+K（y）＝ ，并说明你猜想的正确性．
8．（2021春•济南期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
9．（2021春•蜀山区校级期中）方法探究：
同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单、特殊的情况入手，例如：
求（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）的值．
分别计算下列各式的值：
（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝ ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
…
由此可得（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
（2）计算：1+2+22+23+…+22020+22021＝ ；
（3）根据以上结论，计算：5+52+53+…+52020+52021．
10．（2021春•庐阳区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a（a+b），如1⊕5＝2×1（1+5）＝﹣7．
（1）若x⊕4＝0，则x＝ ．
（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
11．（2021春•安岳县期中）对于任意有理数x，我们用[x]表示不大于x的最大整数，则x﹣1＜[x]≤x．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，请根据以上信息，回答下列问题
（1）填空：[7.4]＝ ，[﹣5.12]＝ ；
（2）若[3x+2]＝﹣4，求x的取值范围；
（3）已知[3.5x+1]＝2x，求x的值．
12．（2021春•宣州区期中）利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a＝2018，b＝2019，c＝2020，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b，b﹣c，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
13．（2021秋•新田县期中）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
14．（2021春•安居区期中）为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对安居琼江河周边污水进行处理．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080t．
（1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．
（2）经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？
15．（2021春•卧龙区期中）如果一个一元一次方程的解是某个一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”
（1）已知方程：①x﹣（3x+1）＝﹣5，②1＝0，③3x﹣1＝0，其中是不等式组的“关联方程”的是 （只填序号）；
（2）若不等式组的某个“关联方程”的解是整数，写出一个这样的“关联方程” ；
（3）若方程xx，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的“关联方程”，求m的取值范围．
16．（2021春•延庆区期中）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞3的解集．
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出|x|恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：
点A左边的点表示的数的绝对值大于3；
点A，B之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论绝对值不等式|x|＞3的解集为：x＜﹣3或x＞3．
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
①|x|＞2的解集是 ．
②|x|＜5的解集是 ．
（2）求绝对值不等式2|x﹣2.5|+4＜6的解集．
（3）如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组的解，求m的取值范围．
（4）直接写出不等式x2＞16的解集是 ．
17．（2021春•普宁市期中）今年1月，N市地铁价格实行消费累计优惠．普通成人每月持卡乘坐地铁，当消费累计金额不超过150元时，每次乘坐地铁的票价打95折；当消费累计金额超过150元时，达到规定的消费累计金额后的乘次，票价所打折扣如表所示：
小明上、下班每次乘坐的地铁单程票价为10元，今年3月份他上、下班持卡共乘坐了40次．
（1）请根据以上信息填表：
（2）小明当月第几次乘车后，消费累计金额超过200元？（用一元一次不等式解决问题）
（3）小明3月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额为多少元？
18．（2021春•诸城市期中）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于4800元的金额再采购这两种型号的电风扇共26台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这26台电风扇能否实现利润不少于940元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
19．（2021春•朝阳区校级期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得，又因为x＞1，y＜0，所以解得 ．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围 （结果用含m的式子表示）．
20．（2022•重庆期中）阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
21．（2021秋•渑池县期中）阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：
（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝ ；
（2）请写出图3中所表示的数学等式： ；
（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝ ；
（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b，求2a+b的值．
22．（2021春•乳山市期中）【材料阅读】
有些等式可以用图形的面积来表示．
如图①，可得等式：（m+2n）（m+n）＝m2+3mn+2n2．
【问题解决】
（1）如图②，是将一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线分成四个完全相同的小长方形，然后再拼成一个中空的大正方形．用等式表示（m+n）2，（m﹣n）2，mn三者间的等量关系： ．
（2）利用（1）中的等量关系，直接写结果：
若x+y＝7，xy＝10，则x﹣y＝ ．
【拓广应用】
（3）如图③，小明用8个完全相同的长方形（长为a，宽为b），拼出了甲、乙两种图案．甲图案是大正方形，且中间是边长为2的小正方形，乙图案是大长方形．
求（a+2b）2﹣8ab的值．
23．（2021春•驿城区校级期中）我们常利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
（1）在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为 ．
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，因为BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，所以长方体①的体积为ab（a﹣b），类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果为 ．
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为 ．
（5）已知a﹣b＝4，ab＝2，求a3﹣b3的值．
24．（2021春•溧阳市期中）分组分解是因式分解的一种复杂的方法，让我们来学习这个知识．能分组分解的多项式有四项或六项或大于六项．以四项为例，常规的分组分解有两种形式：二二分法或三一分法，例如：
二二分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y），我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，逆用乘法分配律，两两相配，再提取公因式（x+y），这种方法叫做分组后提公因式法：
三一分法：x2﹣2xy+y2﹣1＝（x2﹣2xy+y2）﹣1＝（x﹣y）2﹣12＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）我们把有公式形式的分成一组，两次利用公式将该多项式分解因式，这种方法叫做分组后应用公式法．有时，我们可以综合利用这两种方法，对多项式进行分组分解因式分解．
请你利用上面所学方法将下列多项式分解因式：
（1）2x2﹣3xy+2x﹣3y．
（2）2xy﹣x2﹣y2+25．
（3）18a2﹣18a﹣32b2+24b．
25．（2021春•交城县期中）数学课上老师提了这样一个问题让大家思考：你能写出的小数部分吗？经过合作交流，小明用来表示的小数部分．他展示的正确理由如下：“大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是因为的整数部分是1，用减去其整数部分，差就是小数部分．”按照小明的思路，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分就为．
请回答下列问题：
（1）的整数部分为 ；小数部分为 ．
（2）小丽同学说，如果的整数部分为x，的小数部分为y，则，你认为正确吗？为什么？
（3）如果的整数部分为a，的小数部分为b，求的值．
26．（2021春•会昌县期中）对于实数a，我们规定：用符号【】表示不大于的最大整数，称【】为a的根整数，例如：【】＝3，【】＝3．
（1）计算【】＝ ，【】＝ ；
（2）若【】＝1，则满足题意的x的所有整数值为 ；
（3）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是BC的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求【|x﹣1|+1﹣2】的值．
27．（2021春•金湖县期中）对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，如：
M，min{﹣1，2，3}＝﹣1；
M，min{﹣1，2，a}；
解决下列问题：
（1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝ ；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝ ；
②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则 ”（填a，b，c的大小关系）；
③运用②解决问题：
若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
28．（2021秋•西湖区校级期中）某厨具店购进A型和B型两种电饭煲进行销售，其进价与售价如表：
（1）一季度，厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元，问该厨具店购进A，B型电饭煲各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过9560元的资金采购两种电饭煲共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲数量，问厨具店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，全部售完，请你通过计算判断，哪种进货方案厨具店利润最大，并求出最大利润．
29．（2020秋•未央区期中）若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b（m+n）2，则称a+b为子母根式，m+n为a+b的子母平方根，例如，因为3+2（1）2，所以1是3+2的子母平方根．
（1）已知2是a+b的子母平方根，则a＝ ，b＝ ．
（2）若m+n是a+b的子母平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知21﹣12是子母根式，直接写出它的一个子母平方根．
30．（2021秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．消费累计金额x（元）
折扣
150＜x≤200
9折
200＜x≤300
8折
x＞300
7.5折
第1次
第2次
…
第15次
第16次
第17次
…
消费累计金额（元）
9.5
19
…
142.5
152

…
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一天
2台
3台
1020元
第二天
5台
6台
2280元
进价（元/台）
售价（元/台）
A型
200
300
B型
180
260