人教版数学七年级下册重难点培优训练5.2 平行线及其判定（含答案详解）

第五章 相交线与平行线 5.2平行线及其判定考点一：平行线的定义和表示平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。考点二：平行线的画法：P已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。●一、帖(线）二、靠(尺） a三、移(点)四、画(线）考点三：平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 ∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥c a b平行线具有传递性。 c12abc考点四、平行线的判定判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等, 两直线平行32abc判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.34abc判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。题型一：平行线的定义1．（2022·全国·七年级）下列说法正确的是 ( )A．不相交的两条直线是平行线．B．如果线段AB与线段CD不相交，那么直线AB与直线CD平行．C．同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线．D．同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．2．（2021·全国·七年级）下列说法中，正确的是（ ）．A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行3．（2021·全国·七年级）已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（ ）A．或 B． C． D．题型二：平行公理及推论4．（2021·上海浦东新·七年级期中）下列语句正确的个数是（　　）（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·全国·七年级）下列说法中正确的个数是（　　）（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·河北唐山·七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条题型三：平行线四大判定方法7．（2022·江苏昆山·七年级期末）如图所示，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，则下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠DAE＝∠BC．∠D＋∠BCD＝180° D．∠3＝∠48．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（ ）A． B．C． D．9．（2021·北京房山·七年级期末）下列图形中，由∠1＝∠2能得到ABCD的图形有（　　）个A．4 B．3 C．2 D．1题型四：平行线判定综合性问题10．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，点G在上，已知，平分，平分请说明的理由．解：因为（已知），（邻补角的性质），所以（________________）因为平分，所以（________________）．因为平分，所以______________，得（等量代换），所以_________________（________________）．11．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，，试说明．证明：∵（己知），∴（___________________），∴____________（同位角相等，两直线平行），∵（已知），∴（___________________），∴（___________________），∴（两直线平行，同位角相等）．12．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．解∵∠1＝60°（已知）∠ABC＝∠1 （①　 　）∴∠ABC＝60°（等量代换）又∵∠2＝120°（已知）∴（②　 　）+∠2＝180°（等式的性质）∴AB∥CD （③　 　）又∵∠2+∠BCD＝（④　 　°）∴∠BCD＝60°（等式的性质）∵∠D＝60°（已知）∴∠BCD＝∠D （⑤　 　）∴BC∥DE （⑥　 　）一、单选题13．（2022·江苏玄武·七年级期末）下列说法错误的是（ ）A．经过两点，有且仅有一条直线B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点之间的所有连线中，线段最短D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行14．（2021·重庆·七年级期中）如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）A． B． C． D．15．（2021·福建·泉州五中七年级期末）如图，下列条件能判断直线l1//l2的有（ ）①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（ ）A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．17．（2022·全国·七年级）如图，下列四个结论：①∠1＝∠3；②∠B＝∠5；③∠B＋∠BAD＝180º；④∠2＝∠4；⑤∠D＋∠BCD＝180º．能判断AB∥CD的个数有 （ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个18．（2022·全国·七年级）如图所示，给出了过直线外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（ ）．A．同位角相等，两直线平行． B．内错角相等，两直线平行．C．同旁内角互补，两直线平行． D．以上都不对．19．（2021·山东海阳·七年级期末）阅读下列证明过程，判断所填理由错误的代号是（ ）已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：．证明：∵（①平角的定义），∴是的补角（②互补的定义）．∵是的补角（③已知），∴（④等量代换）．∴（同位角相等，两直线平行）．A．① B．② C．③ D．④20．（2021·山东莱州·七年级期中）在平面内有3条直线，，，如果和相交夹的锐角是45°，和相交夹的锐角也是45°，那么直线与的位置关系为（ ）．A．垂直 B．平行C．垂直或平行 D．相交夹135°的钝角21．（2021·河南召陵·七年级期中）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线，，贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如图所示：上述三位同学的做法中，依据“内错角相等，两直线平行”的是（　　）A．仅贝贝同学 B．贝贝和晶晶 C．晶晶和欢欢 D．贝贝和欢欢一：选择题22．（2021·湖北洪山·七年级期中）下列说法中正确的个数为（ ）①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个23．（2021·四川苍溪·七年级期末）如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（　　）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠CC．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°24．（2021·四川龙泉驿·七年级期中）如图，可以判定AD∥BC的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠DAC=∠ACB D．∠ABC＋∠BCD＝180°25．（2021·山东沂南·七年级期末）如图，下列条件：①；②；（3）；④．其中能判断的有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个26．（2021·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）下列说法：①同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线一定平行；④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③27．（2021·湖南龙山·七年级期末）①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；④互为邻补角的两个角相等．以上四个结论中正确的是（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．①③28．（2021·辽宁凌海·七年级期中）如图所示，已知，若要使，则还需添加条件（ ）A． B． C． D．29．（2021·广东五华·七年级期中）如图，下列判断错误的是（ ）A．因为，所以 B．因为，所以C．因为，所以 D．因为，所以30．（2021·河南息县·七年级期末）在一节活动课上，数学老师提出如下问题：作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小刚利用两块形状相同的三角尺进行操作，如图所示：（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，沿这边作出直线AB．所以，直线AB即为所求．老师肯定了小刚的作法是正确的．请你回答：小刚的作图依据是（　　）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．以上答案都不对二、填空题31．（2021·北京·七年级期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中，能推出AD//BC的条件是 __．（填上所有符合条件的序号）32．（2021·北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是_____；a1与a2021的位置关系是_____．33．（2021·北京·七年级期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．如图，小华的画法；①将含角三角尺的最长边与直线重合，用虚线作出一条最短边所在直线；②再次将含角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线，则．你认为他画图的依据是__．34．（2021·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）35．（2021·辽宁大连·七年级期中）在数学课上，老师提出如下问题：小菲用两块形状、大小相同的三角尺完成了该题的作图，作法如下：老师说：“小菲的作法正确．”请回答：小菲的作图的依据是__________________________．36．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．三、解答题37．（2021·全国·七年级课时练习）按要求画图形：（1）如图所示，过点画的平行线；过点画的平行线．（2）是直线外一点，直线经过点，且与直线平行，直线也经过点且与直线垂直．（3）直线是相交直线，点是直线外一点，直线经过点且与直线平行，与直线相交于．38．（2022·全国·七年级）如图，已知GH、MN分别平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，试说明ABCD的理由．39．（2021·上海·七年级期中）如图，已知于点，于点，，试说明．解：因为（已知），所以（ ）．同理．所以（ ）．即．因为（已知），所以（ ）．所以（ ）．40．（2021·全国·七年级课时练习）完成下面的证明：如图，平分，平分，且，求证．证明：∵平分（已知），∴（ ）．∵平分（已知），∴________（ ）．∴（ ）．∵（已知），∴________（ ）．∴（ ）．41．（2021·全国·七年级课时练习）（1）如图，已知，试说明的理由．（2）当满足什么关系时，有呢?42．（2021·河南襄城·七年级阶段练习）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．43．（2021·山西·浑源县教育科技局教研室七年级期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）1．D【解析】【分析】根据平行线的定义逐项分析即可．【详解】A、同一平面内不相交的两条直线是平行线，故此说法错误；B、两条线段不相交也可以不平行，故此说法错误；C、同一平面内，不相交的两条射线可以平行，也可以既不平行也不相交，故此说法错误；D、同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，此说法正确，故选D．【点睛】本题考查了平行线的定义，理解此定义是关键，属于概念基础题．2．C【解析】【分析】根据平面内两直线的位置关系：平行或者相交，逐一判断选项即可．【详解】A选项，在同一平面内，两直线不相交则平行，不正确，不符合题意；B选项，在同一平面内，两直线不平行则相交，不正确，不符合题意；C选项，若两线段平行，那么它们不相交，正确，符合题意；D选项，两条线段不相交，那么它们不一定平行，不正确，不符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查平面内两直线的位置关系：平行或者相交，属于基础题，掌握平面内两直线的位置关系是解题关键．3．A【解析】【分析】分与在同侧和与在两侧两种情况，根据直线与的距离是，直线与的距离是分别求出与的距离即可得答案．【详解】①当与在同侧时，∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，∴与的距离为5-2=3cm，②当与在两侧时，∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，∴与的距离为5+2=7cm，综上所述：与的距离是3cm或7cm，故选：A．【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键．4．C【解析】【分析】由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可．【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；平面内，平行具有传递性，故（3）正确；同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确，∴正确的有（1）、（3）、（4），故选：C．【点睛】本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据平行线的性质分析判断即可；【详解】在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c，故（1）正确；在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c，故（2）错误；在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c，故（3）正确；在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．故（4）正确；综上所述，正确的是（1）（3）（4）；故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据平行公理的定义：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可直接得结论．【详解】解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，，当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．故选C．【点睛】本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键．7．D【解析】【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A、当∠1＝∠2时，可得：AD∥BC，故本选项不合题意；B、当∠DAE＝∠B时，可得AD∥BC，故本选项不合题意；C、当∠D＋∠BCD＝180°时，可得：AD∥BC，故本选项不合题意；D、当∠3＝∠4时，可得：AB∥CD，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．8．D【解析】【分析】直接利用平行线的判定定理分析得出答案．【详解】解：A、已知，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；B、已知，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；C、已知，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；D、已知，那么AB∥CD，不能推出AD∥BC，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．9．C【解析】【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2，∴AC∥BD；故不符合题意；第二个图形，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故符合题意；第三个图形，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AB∥CD；第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．10．同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，，内错角相等两直线平行【解析】【分析】根据补角的性质，角平分线的定义，及平行线的判定定理依次分析解答．【详解】解：因为（已知），（邻补角的性质），所以（同角的补角相等）因为平分，所以（角平分线的定义）．因为平分，所以∠AGC，得（等量代换），所以（内错角相等两直线平行），故答案为：同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，，内错角相等两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记补角的性质，角平分线的定义及平行线的判定定理是解题的关键．11．垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行【解析】【分析】根据垂直定义求出∠B=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．【详解】证明：∵（己知），∴（垂直定义），∴ABCD（同位角相等，两直线平行），∵（已知），∴（内错角相等，两直线平行），∴（平行于同一条直线的两条直线平行），∴（两直线平行，同位角相等）．故答案为：垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同一直线的两直线平行．12．对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．【解析】【分析】先求出∠ABC＝60°，即可证明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D 即可证明BC∥DE．【详解】解∵∠1＝60°（已知）∠ABC＝∠1 （对顶角相等），∴∠ABC＝60°（等量代换），又∵∠2＝120°（已知），∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性质），∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），又∵∠2+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°（等式的性质），∵∠D＝60°（已知），∴∠BCD＝∠D （等量代换），∴BC∥DE （内错角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．13．D【解析】【分析】根据垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理判断下列选项．【详解】解：由垂线的性质、线段的性质、直线的性质可知、、正确；A、根据直线的性质可知选项正确，不符合题意；B、根据垂线的性质可知选项正确，不符合题意；C、根据线段的性质可知选项正确，不符合题意；D、由平行公理可知选项不正确，需要保证该点不在已知直线上，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理，解题的关键是掌握相关的概念．14．A【解析】【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可．【详解】解：选项B中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项C中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项D中，，（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；而选项A中，与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，故A错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．15．D【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行依次判断即可．【详解】①∵∠1，∠3互为内错角，∠1=∠3，∴； ②∵∠2，∠4互为同旁内角，∠2+∠4=180° ，∴；③∠4，∠5互为同位角，∠4=∠5，∴； ④∠2，∠3没有位置关系，故不能证明 ，⑤，，∴∠1=∠3，∴，故选D．【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理．16．B【解析】【分析】画出图形，根据平行线的判定分别判断即可得出．【详解】A.如图，由内错角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，但方向相反，故不符合题意；B.如图，由同位角相等可知，第二次拐弯后与原来平行，且方向相同，故符合题意；C.如图，由内错角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意；D.如图，由同位角不相等可知，第二次拐弯后与原来不平行，故不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确画出图形，熟记判定定理是解题的关键．17．A【解析】【分析】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的两直线平行分别判断即可．【详解】解：①∵，∴，无法推出；②∵，∴；③∵，∴，无法推出；④∵，∴；⑤∵∴，无法推出，综上所述，能判断的是：②④，有2个，故选：A．【点睛】题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．18．A【解析】【分析】由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答．【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行．故选：A．【点睛】本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．19．D【解析】【分析】由平角的定义和补角的定义得出∠1 =∠3，由同位角相等，两直线平行即可得出结论．【详解】证明：∵（①平角的定义），∴是的补角（②互补的定义）．∵是的补角（③已知），∴（④同角的补角相等）．∴（同位角相等，两直线平行）．∴所填理由错误的代号是④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定方法、补角的定义、平角的定义，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．20．C【解析】【分析】分两种情况：当三条直线中没有平行线时和三条直线中有平行线时，进行讨论求解即可得到答案.【详解】解：①如图，三条直线在平面内的情况如下所示由题意可知：∠CDB=∠DAB=45°∴∥②如图，三条直线在平面内的情况如下所示由题意可得，∠DAC=∠CAB=45°∴∠DAB=90°∴⊥；②如图，三条直线在平面内的情况如下所示由题意可得，∠AED=∠EAD=45°∴∠ADE=90°∴⊥；故选C.【点睛】本题主要考查了平行线的判定和垂直的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21．D【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，贝贝：利用内错角相等，两直线平行；晶晶：利用同位角相等，两直线平行；欢欢：利用内错角相等，两直线平行；故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．属于基础题，熟记平行线的判定定理即可填空．22．A【解析】【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．【详解】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直，故①错误；②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．故正确的是②④，共2个．故选：A．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，正确利用定义是关键．23．C【解析】【分析】根据平行线的判定和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件是否符合题意，本题得以解决．【详解】解：当∠1=∠2时，AC∥EF，故选项A不符合题意；当∠4=∠C时，AC∥EF，故选项B不符合题意；当∠1+∠3=180°时，BC∥DE，不能判断AC∥EF，故选项C符合题意；当∠3+∠C=180°时，AC∥EF，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．C【解析】【分析】根据平行线的判定定理直接得出答案即可．【详解】解：A、当∠1=∠2时，AB∥CD，故A错误；B、当∠3=∠4时，AB∥CD，故B错误；C、当∠DAC=∠ACB时，AD∥BC，故C正确；D、当∠ABC+∠BCD=180°时，AB∥CD，故D错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．25．C【解析】【分析】利用平行线的判定方法分别判断即可得出答案．【详解】解：①当∠C=∠CAF时，AB∥CD，符合题意；②当∠C=∠EDB时，AC∥DB，不合题意；③当∠BAC+∠C=180°时，AB∥CD，符合题意；④当∠GDE+∠B=180°时，又∵∠GDE+∠EDB=180°，∴∠B=∠EDB，∴AB∥CD，符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，正确掌握平行线的判定是解题关键．．26．C【解析】【分析】利用所学的公理，定理，判断选择即可.【详解】解:①根据平行线的性质:两直线平行，同位角相等；故此选项错误；②根据垂线的性质:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；③由平行的公理知:平行于同一条直线的两条直线一定平行，故本选项正确；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确；所以正确的有②③④，故选:C．【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义等，正确把握相关定义是解题关键.27．D【解析】【分析】根据平行公理及推论，平行线的判定，邻补角的定义逐个判断即可．【详解】解：∵a，b，c是直线，a∥b，b∥c，∴a∥c，故①正确；当a、b、c在同一平面内时，如下图：若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故②错误；∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，故③正确；如果∠1和∠2互为邻补角，当∠1＝30°，∠2＝150°也符合，即互为邻补角的两个角不一定相等，故④错误；即正确的是①③，故选：D．【点睛】本题考查了平行公理及推论，平行线的判定，垂直的定义，邻补角定义等知识点，能熟记平行公理及推论、平行线的判定、垂直的定义、邻补角定义是解此题的关键．28．D【解析】【分析】根据∠3=∠4，若要使得∠1=∠2，即要得到∠3+∠2=∠1+∠4，∠BAD=∠ADC，从而要AB∥CD，由此进行求解即可得到答案．【详解】解：添加条件AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠3=∠4，∠3+∠2=∠ADC，∠1+∠4=∠BAD，∴∠1=∠2，故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．29．C【解析】【分析】根据题意，结合图形，对选项一一分析，选择正确答案．【详解】解：A、因为∠1=∠4，所以DE∥AB，内错角相等，两直线平行，故选项正确；B、因为∠2=∠3，所以AD∥BE，内错角相等，两直线平行，故选项正确；C、因为∠5与∠A，不是同位角，所以不能判定AB∥DE，故选项错误；D、因为∠ADE+∠BED=180°，所以AD∥BE，同旁内角互补，两直线平行，故选项正确．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．30．B【解析】【分析】根据平行线的判定方法判断即可．【详解】解：如图，∵∠1＝∠2，∴ABl(内错角相等两直线平行），故选：B．【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知内错角相等，两直线平行．31．②④##④②【解析】【分析】利用平行线的判定定理依次判断．【详解】①，；②，；③，；④，．故答案为：②④．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．32． 平行 平行【解析】【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3，∴a1⊥a3，∵a3⊥a4，∴a1∥a4，∵a4∥a5，∴a1∥a5，…，依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环．∴2021＝505×4+1，∴a1∥a2021．故答案是：平行；平行．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．33．内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据画图的步骤，2个60°的角是内错角，根据平行线的判定即可求得答案【详解】解：画图的依据是内错角，相等两直线平行．故答案为：内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了画平行线，掌握平行线的判定定理是解题的关键．34．①④【解析】【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．35．内错角相等，两直线平行【解析】【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．【详解】解：如图，两块形状、大小相同的三角尺，将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，∴∠1=∠2，∴AB∥直线l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，依据作图过程发现∠1=∠2是解题的关键．36．②【解析】【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．【详解】解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；故答案为：②．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．37．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析．【解析】【分析】（1）根据平行线的定义作图即可；（2）根据平行线和垂直的定义作图即可；（3）根据平行线的定义作图即可，注意标出E点．【详解】（1）如图1所示，直线EF和直线MN即为所求；（2）如图2所示，直线CD和直线EF即为所求；（3）如图3，直线EF和E点即为所求．【点睛】本题主要考查作图，涉及平行线和垂直的定义，属于基础题，解题的关键是注意两平线性无交点，两直线垂直，夹角为90度．38．见解析【解析】【分析】根据角平分线的意义可得∠AGE＝2∠AGH，∠DMF＝2∠DMN，等量代换可得∠DMF＝∠FGB，根据平行线的判定定理即可求得ABCD【详解】∵GH平分∠AGE，∴∠AGE＝2∠AGH同理∠DMF＝2∠DMN∵∠AGH＝∠DMN∴∠AGE＝∠DMF又∵∠AGE＝∠FGB ∴∠DMF＝∠FGB ∴ABCD （同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，角平分线的意义，掌握平行线的判定定理是解题的关键．39．垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：因为（已知），所以（垂直的定义），同理．所以（等量代换），即．因为（已知），所以（等式的性质，所以（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．40．角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【解析】【分析】根据角平分线的性质,等式性质，等量代换，平行线判定逐个求解即可．【详解】解：平分（已知）∴（角平分线的定义）平分（已知）∴2∠β（角平分线的定义）∴（等式性质）（已知）∴180°（等量代换）∴（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角的平分线的定义；；角的平分线的定义；等式性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定、角平分线的定义，等式性质等，熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键．41．（1）见解析；（2），见解析．【解析】【分析】（1）过点C作，过点D作，得到，利用两直线平行内错角相等解得，再由内错角相等两直线平行判定，最后根据平行于同一条直线的两直线平行解题；（2）过点C作，过点D作，由两直线平行，内错角相等解得，，，最后计算与的值即可解题．【详解】解：（1）过点C作，过点D作，，；（2）过点C作，过点D作，若，则，．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，添加辅助线是解题关键．42．（1）①见解析；②垂；（2）见解析【解析】【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．【详解】（1）解：①如图2所示：②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．故答案为垂；（2）证明：平分，平分（已知），，（角平分线的定义），（已知），（两直线平行，内错角相等），（等量代换），（等式性质），（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．43．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．【解析】【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；（2）先证明，再证明，得到，问题得证；（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解．【详解】解：（1）过点C作，， ，，，，，， ，； （2）解：，，又，，，，，，；（3）如图三角形DEF即为所求作三角形． ∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，∵，∴∠ACB=，∴ ，∴∠A=180°-=．故答案为为：．