人教版数学七年级下册重难点培优训练6.2 立方根（含答案详解）

第五章 相交线与平行线 6.2立方根考点一、立方根立方根：若一个数的立方（三次方）等于a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次方根）若x 是 a 的立方根，则说明x 3 = a。a 的立方根记为： ,读作“三次根号a”。 根指数被开方数开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。（1） 8 的立方根： （2）- 64 的立方根：技巧归纳：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。题型一：立方根的概念1．（2021·浙江·杭州育才中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（　　）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．负数没有立方根C．任何数的立方根都只有一个D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根2．（2021·全国·七年级）若，则m与n的关系是（ ）．A． B． C． D．3．（2021·全国·七年级课时练习）下列等式不一定成立的是（ ）．A． B． C． D．题型二：求立方根问题4．（2021·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）．A．是125的立方根 B．64的立方根是C．是15.625的立方根 D．的立方根是5．（2021·全国·七年级课时练习）下列等式正确的是（ ）A． B． C． D．6．（2021·湖北江岸·七年级期中）已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则=（ ）A．2 B．±2 C．4 D．±4题型三：立方根的实际应用问题7．（2021·湖北武汉·七年级期中）已知，，，则（ ）A． B． C． D．8．（2021·全国·七年级专题练习）已知x为实数，且＝0，则x2+x﹣3的平方根为（　　）A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣29．（2019·安徽临泉·七年级期末）一个长方体音箱，长是宽的2倍，宽和高相等，它的体积是，则这个音箱的长是（ ）A． B． C． D．题型四：算术平方根和立方根的综合问题10．（2020·浙江浙江·七年级期末）下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③的立方根是；④的算术平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正确的说法是（ ）A．个 B．个 C．个 D．个11．（2020·甘肃·武威第九中学七年级期中）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（ ）A．4 B．4或0 C．6或2 D．612．（2020·湖南·长沙市中雅培粹学校七年级阶段练习）若都是实数，且，，则的大小关系是（ ）A． B． C． D．一、单选题13．（2022·全国·七年级课前预习）下列各式中，正确的是（ ）A．＝±2 B． ＝5 C．＝±2 D．14．（2022·全国·七年级课前预习）若一个数的立方根与它本身相同，则这个数是（ ）A．0 B．0或1 C．0或－1 D．0或±115．（2021·重庆·七年级期中）下列各组数互为相反数的是（ ）A．和 B．和 C．和 D．与16．（2021·全国·七年级课时练习）使有意义的字母x的取值范围（ ）．A． B． C． D．全体实数17．（2021·全国·七年级课时练习）若，则、、、这四个数中（ ）．A．最大，最小 B．x最大，最小 C．最大，最小 D．x最大，最小18．（2021·江西新余·七年级期末）若，，则（ ）A．632.9 B．293.8 C．2938 D．632919．（2021·河南三门峡·七年级期末）下列说法中正确的是（ ）①1的平方根是1；②5是25的算术平方根；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④（﹣4）3的立方根是﹣4；⑤0.01是0.1的一个平方根．A．①④ B．②④ C．②③ D．②⑤20．（2021·河南濮阳·七年级期中）下列说法：①是17的平方根；②的立方根是；③没有立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．错误的有（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④21．（2021·湖北蕲春·七年级期中）下列说法不正确的是（ ）．A．是0.09的平方根 B．存在立方根和平方根相等的数C．正数的两个平方根的积为负数 D．的平方根是22．（2021·广西靖西·七年级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为512时，输出的数y的值是（ ）A． B． C．－2 D．2一：选择题23．（2021·河南柘城·七年级期中）小友在作业本上做了4道题：①；②；③；④，他做对的题有（ ）A．1道 B．2道 C．3道 D．4道24．（2021·广西宜州·七年级期末）下列说法：① 立方根等于它本身的实数只有0或1；② a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④ 的平方根是±4；其中错误的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个25．（2021·山东龙口·七年级期末）用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（ ）A．B．C．D．26．（2021·辽宁鞍山·七年级阶段练习）下列说法不正确的是（ ）A．一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1 B．是3的立方根C．2的算术平方根是 D．0.1是0.01的一个平方根27．（2021·山东·临沂实验中学七年级阶段练习）在实数范围内，下列判断正确的是（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则28．（2020·浙江杭州·七年级期末）下列说法中，错误的有（ ）①任何数都有算术平方根；②正数的平方根一定是正数；③的算术平方根是；④立方根不可能是正数；⑤任何实数都有立方根A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤二、填空题29．（2021·重庆市两江中学校七年级期中）己知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___．30．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期末）若x＝，y＝，则＝_____．31．（2021·上海浦东新·七年级期中）已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝________．32．（2021·广西三江·七年级期中）若，则 的值为____________．33．（2021·全国·七年级课时练习）已知，若，则______；________；_________；若，则_______．34．（2021·上海市文来中学七年级期中）已知，不使用计算器，求的近似值________．三、解答题35．（2021·全国·七年级课时练习）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．36．（2021·吉林珲春·七年级期中）已知一个数的两个不同的平方根分别是2a5和1a，8b的立方根是4．（1）求这个正数；（2）求2a+b的算术平方根．37．（2021·广西·大新县养利学校七年级期中）已知(x-1)2+|y+3|+=0，求x+y2-z的立方根．38．（2021·云南·普洱市思茅区第四中学七年级期中）已知的平方根是，的立方根是2，．（1）求的值；（2）求的算术平方根．39．（2021·全国·七年级课时练习）求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．40．（2021·广东·东莞市东华初级中学七年级期中）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．（1）求这个魔方的棱长；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；1．C【解析】【分析】利用立方根的意义对每个选项的说法进行逐一判断即可，其中判断D还要结合平方根的含义．【详解】解：∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，∴A选项说法不正确；∵一个负数有一个负的立方根，∴B选项说法不正确；∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，∴C选项说法正确；∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，∴D选项说法不正确．综上，说法正确的是C选项，故选：C．【点睛】本题考查的是立方根的含义，考查一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，同时考查负数没有平方根，熟悉以上基础知识是解本题的关键.2．C【解析】【分析】根据立方根的性质即可的解．【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查立方根的性质．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，．3．B【解析】【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质逐一判断选项即可．【详解】解：A. ，一定成立，不符合题意，B. ，故原等式不一定成立，符合题意，C. ，一定成立，不符合题意，D. ，一定成立，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，立方根的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】利用立方根的定义和性质依次判断即可；【详解】解：A．是125的立方根，原选项计算错误；B. 64的立方根是，原选项计算错误；C. 是15.625的立方根，原选项计算错误；D. 的立方根是，原选项计算正确；故选：D．【点睛】本题考查立方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．5．A【解析】【分析】根据负数的立方根转化为正数的立方根计算可判断A，把带分数化为假分数，再根据分数的立方根可判断B，根据负数立方根转化为正数立方根计算可判断C，根据立方根定义可判断D．【详解】解：A. ，故选项A正确；B. ，故选项B不正确；C. ，故选项C不正确；D. ，故选项D不正确．故选择A．【点睛】本题考查立方根的计算，掌握立方根的求法与性质是解题关键．6．C【解析】【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得：，∴故选：C【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．7．A【解析】【分析】将变形为，结合已知等式即可求解．【详解】已知，∴，故选：A．【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解．8．C【解析】【分析】根据立方根的性质得到x﹣3＝2x+1，求出x的值代入计算即可．【详解】解：∵x为实数，且＝0，∴x﹣3＝2x+1，解得：x＝﹣4，∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，∴＝±3， 故选：C．【点睛】此题考查了求一个数的平方根，以及立方根的性质：互为相反数的立方根也互为相反数．9．B【解析】【分析】设这个音箱的宽是xcm,根据题意可以表示出长和高，根据长方体的体积公式列方程求解．【详解】解：设这个音箱的宽是xcm,则高是cm,长是2xcm, 根据长方体的体积公式得2x∙x∙ x=540002 =54000=27000x=30,2x=60（cm）．故选B．【点睛】本题考查立方根的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．10．B【解析】【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义即可依次判断．【详解】是的平方根，正确;的平方根是，故错误﹔的立方根是，故错误;的算术平方根是，正确﹔的立方根是，故错误;的平方根是，故错误;其中正确的说法是:，共个，故选:．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根、算术平方根及立方根的定义．11．C【解析】【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值．【详解】∵a是的平方根，∴a=±2，∵b是的立方根，∴b=4，∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．故选C．【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键．12．A【解析】【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而≤0，≥0.【详解】∵6-x≥0,∴x-6≤0,∴≤0，≥0，∴.故选A.【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键.13．B【解析】略14．D【解析】略15．D【解析】【分析】利用二次根式的和立方根的定义计算出=2，=2，-=-2，=-2，然后对各选项进行判断．【详解】解：A、，，则，所以该选项不符合题意；B、，，则，所以该选项不符合题意；C、，，则，所以该选项不符合题意；D、，，则与互为相反数，所以该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．也考查了立方根和相反数．16．D【解析】【分析】根据立方根有意义的条件直接判断即可．【详解】解：使有意义的字母x的取值范围是全体实数，故选：D．【点睛】本题考查了立方根有意义的条件，解题关键是明确所有实数都能开立方．17．A【解析】【分析】可取进行求解即可．【详解】解：∵，∴可取， ∴，，，∵，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．B【解析】【分析】把，再利用立方根的性质化简即可得到答案.【详解】解： ， 故选：【点睛】本题考查的是立方根的含义，立方根的性质，熟练立方根的含义与性质是解题的关键.19．B【解析】【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的概念进行分析，从而作出判断．【详解】解：1的平方根是±1，故说法①错误；5是25的算术平方根，故说法②正确；（-4）2的平方根是±4，故说法③错误；（-4）3的立方根是-4，故说法④正确；0.1是0.01的一个平方根，故说法⑤错误；综上，②④正确，故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，立方根的概念，理解相关定义，注意符号是解题关键．20．C【解析】【分析】依据平方根、立方根的定义进行解答即可．【详解】解：①是17的平方根，故①正确；②的立方根是，故②错误；③负数有立方根，故③错误；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．21．D【解析】【分析】根据平方根和立方根的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A：，∴0.09的平方根是，选项正确，不符合题意；B：的平方根和立方根都为，选项正确，不符合题意；C：正数的两个平方根互为相反数，所以它们积为负数，选项正确，不符合题意；D：，所以的平方根不是 ±，选项错误，符合题意；故答案为D．【点睛】此题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的有关性质是解题的关键．22．B【解析】【分析】把512按给出的程序逐步计算即可．【详解】解：由题中所给的程序可知：把512取立方根，结果为8，因为8是有理数，所以再取立方根为2，2是有理数，所以再取立方根为因为是无理数，所以输出，故选：B．【点睛】本题考查了立方根，此类题目比较简单，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．23．A【解析】【分析】分别根据立方根、平方根法则计算分析即可得出答案．【详解】解：①，故正确；②，故错误；③，故错误；④，故错误；故选A．【点睛】本题考查了立方根、平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．24．D【解析】【分析】算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根；平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）；立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根；逐一判断即可．【详解】解：立方根等于它本身的实数有0或1或-1，故①错误；a2的算术平方根是，故②错误；﹣8的立方根是-2，故③错误；的平方根是±2，故④错误；故错误的结论有：①②③④，故选：D．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，熟知立方根、算术平方根和平方根的定义是解题的关键．25．B【解析】【分析】一般使用科学型的计算器，注意是2÷7，切换三次根号时需要用到切换键2nd．【详解】解：按键顺序依次为2，÷，7，2nd键，，=．（由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用）故答案为：B【点睛】此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．26．A【解析】【分析】根据平方根和算术平方根的定义、立方根的定义逐项判断即可得．【详解】A、一个数的平方根等于它本身，这个数是0，而1的平方根等于，则此项说法不正确，符合题意；B、是3的立方根，此项说法正确，不符题意；C、2的算术平方根是，此项说法正确，不符题意；D、是的一个平方根，此项说法正确，不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟记定义是解题关键．27．C【解析】【分析】根据绝对值的定义判断A；根据有理数乘方的意义判断B；根据立方根的性质判断C；根据算术平方根的意义判断D．【详解】解：A、若|m|=|n|，则m=±n，故本选项判断错误，不符合题意；B、若a2=b2，则a=±b，故本选项判断错误，不符合题意；C、若，则a=b，故本选项判断正确，符合题意；D、若，则|a|=b，故本选项判断错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘方、立方根与算术平方根，掌握定义与性质是解题的关键．28．A【解析】【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断．【详解】解：①负数没有算术平方根，故错误；②正数的平方根为一正一负两个数，故错误；③的算术平方根是，故错误；④立方根可能是正数，故错误；⑤任何实数都有立方根，故正确；故选A．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，解题的关键是掌握各自的定义，属于基础题．29．4【解析】【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【详解】由题意可得：，，解得：，，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．30．##0.1【解析】【分析】直接根据立方根的概念可得x、y的值，再代入代数式计算即可．【详解】∵x＝，y＝，∴x＝6，y＝60，∴＝＝．故答案为：．【点睛】此题考查的是立方根，掌握立方根的概念是解决此题关键．31．﹣3780【解析】【分析】由题意依据当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为15.58是1.558的小数点向右移动了1位，由此求出y．【详解】解：∵≈1.558，≈﹣15.58，∴y＝﹣3780．故答案为：﹣3780．【点睛】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．32．【解析】【分析】根据算术平方根的定义可得，进而代入根据立方根的定义即可求解【详解】解：∵∴即故答案为：【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”(a称为被开方数)．33． 214000 214【解析】【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可．【详解】解：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，∵且，∴，故答案为：214000，±0.1463，-0.1289，214．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键．34．0.02515【解析】【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同方向移动1位．【详解】解：∵,∴，故答案为：0.02515．【点睛】本题考查了立方根的计算，根据立方根的性质进行求解是解题的关键．35．（1）；（2）；（3）0.4；（4）0.3【解析】【分析】根据平方根和立方根的定义，即可求解．【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握一般地，如果一个数 的平方等于 ，则称是的一个平方根，记作： ；如果一个数 的立方等于 ，则称是的一个立方根，记作：是解题的关键．36．（1）9；（2）0【解析】【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数计算即可；（2）根据立方根的性质求出b，结合（1）中的a计算即可；【详解】（1）∵一个数的两个不同的平方根分别是2a5和1a，∴，∴，∴一个数的两个不同的平方根分别是，∴这个正数是9．（2）∵8b的立方根是4，∴，∴，∴，∴2a+b的算术平方根0．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质，准确计算是解题的关键．37．2．【解析】【分析】先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性可求出的值，再代入计算的值，然后根据立方根的定义即可得．【详解】解：，，，，解得，将代入得：，解得，则，所以的立方根是2．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、绝对值、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性和算术平方根的非负性是解题关键．38．（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）或3．【解析】【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c；（2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可．【详解】解：（1）∵的平方根是，的立方根是2∴a=5，2b+4=8，即b=2∵∴c=1或c=0∴a=5、b=2、c=1或c=0；（2）当c=1时，=当c=0时，=3；∴的算术平方根为或3．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键．39．（1）10；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】直接利用立方根的性质计算得出答案即可．【详解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，∴；（4）∵，∴．【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确把握立方根的性质是解题关键，注意：任何数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．40．（1）4cm；（2）【解析】【分析】（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）先求出魔方一个面的面积，然后根据阴影部分的面积是魔方一个面的面积的一半求解即可．【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为xcm，由题意得：x3＝64，解得x＝4，∴这个魔方的棱长为4cm．（2）解：设正方形ABCD的边长为acm，由题意得： 由（1）得AC=BD=4cm，∴魔方的一个面的面积=4×4=16cm2，又∵阴影部分的面积是魔方一个面的面积的一半，∴，∴∴正方形ABCD的边长为．