人教版数学七年级下册重难点培优训练6.3 实数（含答案详解）

6.3 实数考点一：无理数无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等考点二：实数：有理数和无理数统称实数。考点三：实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。技巧归纳：1、a是一个实数，它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。）题型一：实数的概念与分类1．（2021·上海市川沙中学南校七年级期末）下列说法正确的是（ ）A．无限小数都是无理数B．无理数都是无限小数C．有理数只是有限小数D．实数可以分为正实数和负实数2．（2021·上海浦东新·七年级期中）在﹣，，﹣，，﹣1，，|﹣1|中，有理数有（　　）个．A．3 B．4 C．5 D．63．（2021·全国·七年级课时练习）下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：实数和数轴问题4．（2022·浙江海曙·七年级期末）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ）A． B． C． D．5．（2021·山西运城·七年级期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A． B． C． D．6．（2021·贵州石阡·七年级期中）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　）A．|a|＞|b| B．|ac|＝ac C．b﹣c＜0 D．c+d＞0题型三：实数的大小比较7．（2021·广西三江·七年级期中）三个实数，2，之间的大小关系（　　）A．＞＞2 B．＞2＞ C．2＞＞ D．＜2＜8．（2021·广西港口·七年级期中）﹣π，﹣3，，的大小顺序是（　　）A． B．C． D．9．（2021·上海静安·七年级期末）如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（　　）A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x题型四：无理数的估算10．（2022·浙江义乌·七年级期末）若的结果在两个相邻整数之间，则这两个整数分别是（ ）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和511．（2022·浙江奉化·七年级期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值为（ ）A．43 B．44 C．45 D．4612．（2021·江苏惠山·七年级期中）a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（　　）A．1，3 B．3，2 C．2，3 D．3，4题型五：实数的运算13．（2022·浙江柯桥·七年级期末）计算：(1)(2)14．（2022·浙江上城·七年级期末）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．15．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）已知是M的立方根，而是的相反数，且M＝3a﹣7．(1)求a与b的值； (2)设，，求x与y平方和的立方根．一：选择题16．（2022·重庆实验外国语学校七年级开学考试）实数，0，，，，0.1，（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个17．（2022·重庆实验外国语学校七年级开学考试）若，其中，为两个连续的整数，则的值为（ ）A．7 B．12 C．64 D．8118．（2022·浙江新昌·七年级期末）如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在（ ）．A．线段AB上 B．线段BC上C．线段CD上 D．线段DE上19．（2022·全国·七年级）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为2810的末位数字是（　　）A．2 B．4 C．8 D．620．（2021·山东·东平县实验中学七年级阶段练习）在实数，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个21．（2018·内蒙古莫力达瓦·七年级期末）估计+1的值在（　　）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间22．（2021·北京市第一五九中学七年级期中）已知有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　）A．a•b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞023．（2020·广东惠东·七年级期末）已知m=，则以下对m的估算正确的（　　）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜624．（2021·贵州黔南·七年级阶段练习）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为　　A．180 B．182 C．184 D．18625．（2021·四川西区·七年级期中）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A． B． C． D．一、单选题26．（2021·内蒙古海勃湾·七年级期末）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数的点P应落在　　A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上27．（2019·内蒙古呼和浩特·七年级期中）比较2，，的大小，正确的是（ ）A． B．C． D．28．（2019·全国·七年级单元测试）若的整数部分为a，小数部分为b，则a﹣b的值为（ ）A．﹣ B．6 C．8﹣ D．﹣6二、填空题29．（2021·天津南开·七年级期中）已知的整数部分为a,小数部分为b,则a-b=____.30．（2019·山东·莒县第三中学七年级阶段练习）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，，，，…，那么第13个数据是______．31．（2019·江苏·锦州市锦州中学七年级课时练习）归纳并猜想:(1)的整数部分为____; (2)的整数部分为____; (3)的整数部分为____; (4)猜想:当n为正整数时,的整数部分为____,并把小数部分表示出来为____. 32．（2019·内蒙古呼和浩特·七年级期中）已知的小数部分是，的小数部分是，则________．33．（2021·浙江·台州市书生中学七年级阶段练习）将1、、、按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（7，3）所表示的数是__；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是__．三、解答题34．（2021·重庆·七年级期中）（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．35．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）计算(1)(2)36．（2021·山东日照·七年级期末）阅读下列材料：∵，∴，∴的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．37．（2021·全国·七年级专题练习）例如：比较与2的大小；，，则，，．请根据上述方法解答以下问题：（1）比较大小：_______3；（2）比较与的大小，并说明理由．38．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．，，，，……（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．（2）①计算：．②若a为最小的正整数，，求：1．B【解析】【分析】根据定义进行判断即可．【详解】解：A中无限小数都不一定是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误．B中根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确．C中有理数不只是有限小数，例如无限循环小数，故本选项错误；D中实数可以分为正实数和负实数和0，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的定义．解题的关键在于正确区分各名词的含义．2．B【解析】【分析】由题意直接根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可．【详解】解：∵﹣是分数，﹣＝﹣是分数，是循环小数，|﹣1|＝1是整数，∴﹣，﹣，，|﹣1|是有理数，∴有理数有4个．故选：B．【点睛】本题考查实数，主要利用了有理数和无理数定义，熟记相关概念是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；故选：D．【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE，∴AB＝AE＝，∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧，∴点E表示的数为：．故选：B．【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．5．C【解析】【分析】根据的位置，|即可作出判断．【详解】根据数轴上的位置，可得，，，故选C【点睛】本题考查了实数与数轴，弄清题中数轴上a与b表示点的位置是解本题的关键．6．B【解析】【分析】根据绝对值的定义判断A；根据绝对值的性质判断B；根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大判断C；根据c，d都是正数判断D．【详解】解：A选项，∵a表示的点比b到原点的距离远，∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；B选项，∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴|ac|＝﹣ac，故该选项符合题意；C选项，∵b＜c，∴b﹣c＜0，故该选项不符合题意；D选项，∵c＞0，d＞0，∴c+d＞0，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，绝对值的意义，根据数轴比较实数的的大小，实数的性质，数形结合是解题的关键．7．A【解析】【分析】，根据被开方数的大小即判断这三个数的大小关系【详解】2＜＜故选A【点睛】本题考查了实数大小比较，掌握无理数的估算是解题的关键．8．B【解析】【分析】根据实数的大小比较法则即可得．【详解】解：，，，则，故选：B．【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．9．A【解析】【分析】根据，即可得到，，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，负整数指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法．10．D【解析】【分析】先判断出的取值范围，进而判断的取值范围，即可求解【详解】解：∵∴ ∴在4和5之间，故选：D【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．11．B【解析】【分析】由已知条件的提示可得，即得出．再根据，且n为整数，即可得出答案．【详解】∵，∴，即．∵，n为整数．∴．故选B．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键.12．C【解析】【分析】根据无理数的估算，以及a，b是两个连续整数，即可确定的值．【详解】解：，，a，b是两个连续整数，，．故选C．【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．13．(1)4(2)－16【解析】【分析】（1）直接利用有理数的加减法计算即可；（2）利用求一个数的立方根、算术平方根、有理数的乘方按顺序进行计算即可．(1)解：原式＝，＝4；(2)解：原式，．【点睛】本题考查了有理数的加减、算术平方根、立方根，有理数的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．14．(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）先把减法转化为加法，再计算即可；（2）先分别求解立方根与平方根，再合并即可；（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减，从而可得答案；（4）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可.(1)解：(2)解：(3)解： (4)解： 【点睛】本题考查的含乘方的有理数的混合运算，平方根，立方根的含义，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序，平方根，立方根的含义”是解本题的关键.15．(1)a＝5，b＝﹣2(2)2【解析】【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；（2）求出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出答案即可．(1)解：∵是M的立方根，而是的相反数，∴a+b＝3，M＝6﹣b，∵M＝3a﹣7，∴6﹣b＝3a﹣7，解得：a＝5，b＝﹣2；(2)解：∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝8，∴＝＝2，y＝＝﹣2，∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，∴x与y平方和的立方根是＝2．【点睛】本题考查了立方根和实数的性质，能熟记立方根的定义是解此题的关键．16．B【解析】【分析】先根据立方根及算术平方根的求法将数进行化简，然后依据无理数是无限不循环小数进行判断即可得．【详解】解：，，∴无理数有：，，（每两个1之间依次增加一个3），∴无理数有3个，故选：B．【点睛】题目主要考查算数平方根及立方根的求法，无理数与有理数的区分，理解无理数所包含的数的类型是解题关键．17．D【解析】【分析】直接用的取值范围得出a，b的值，进行计算即可得．【详解】解：∵，，，∴，即，∵，a，b为两个连续的整数，∴a=3，b=4，∴，故选D．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确得出a，b的值．18．C【解析】【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案．【详解】解：∵32=9，42=16，∴3＜＜4，∵数轴上的点C，D分别对应的数是3，4，∴表示的点应在线段CD上，故选：C．【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键．19．B【解析】【分析】经过观察如果2的次数除以4，余数为1，那末尾数就是2；如果余数是2，那末尾数是4；如果余数为3，那末尾数是8；如果余数是0，那末尾数是6．用810÷4＝202…2，余数是2故可知，末尾数是4．【详解】2n的个位数字是2，4，8，6循环，所以810÷4＝202…2，则2810的末位数字是4．故选：B．【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题，找到2n的末位数的循环规律是解题的关键．20．B【解析】【分析】先计算算术平方根，再根据无理数的定义（无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比）即可得．【详解】解：是有理数，是有限小数，是有理数，是无限循环小数，是有理数，，，（相邻两个2中间一次多1个0）都是无理数，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键．21．B【解析】【详解】分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．详解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．22．D【解析】【详解】试题解析：由数轴可知： A. 故错误.B.故错误.C.故错误.D.正确.故选D.23．B【解析】【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案．【详解】∵m==2+，1＜＜2，∴3＜m＜4，故选B．【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．24．C【解析】【详解】由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最后一个三个数分别为：11，13，15，∵3×5﹣1=14，；5×7﹣3=32；7×9﹣5=58；∴m=13×15﹣11=184．故选C．25．B【解析】【详解】分析：观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.详解：∵，∴，故A选项错误；数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确；∵，，∴，故Ｃ选项错误；∵，，，∴，故D选项错误．故选B.点睛：主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.26．B【解析】【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质，可得答案．【详解】由被开方数越大算术平方根越大，得2