人教版数学七年级下册重难点培优训练8.1 二元一次方程组（含答案详解）

8.1二元一次方程组 考点一：二元一次方程的概念含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1的方程叫做二元一次方程。考点二：二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点的坐标。考点三：二元一次方程组把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。（两个方程中的未知数相同）技巧归纳：二元一次方程组的特点：1.有两个未知数.(二元)2.含未知数的指数都为1.(一次)3.两个一次方程组成.(方程组)考点四：二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。题型一：二元一次方程的概念理解1．（2022·全国·七年级课前预习）有下列方程：①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2＋y＝3； ⑤；⑥ax2＋2x＋3y＝0 （a＝0），其中，二元一次方程有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（       ）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2021·天津一中七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则（     ）A．， B．， C．， D．，题型二：二元一次方程的解1．（2022·全国·七年级课前预习）有下列方程：①xy＝1；②2x＝3y；③；④x2＋y＝3； ⑤；⑥ax2＋2x＋3y＝0 （a＝0），其中，二元一次方程有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（       ）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2021·天津一中七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则（     ）A．， B．， C．， D．，题型三：二元一次方程组的概念4．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级阶段练习）二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（       ）A． B． C． D．5．（2021·北京房山·七年级期末）已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．36．（2021·山东新泰·七年级期末）下列各组数值中，是二元一次方程的一个解的是（       ）A． B． C． D．题型四：判断是否是二元一次方程组的解7．（2021·河南淇县·七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（          ）A． B． C． D．8．（2021·全国·七年级课时练习）已知方程组是 关于x，y的二元一次方程组，则（       ）A． B． C． D．9．（2021·湖南岳阳·七年级期末）下列方程是二元一次方程组的是（       ）A． B． C． D．题型五：二元一次方程组的解求参数10．（2021·浙江·七年级期中）下列哪一组值不是二元一次方程的解为（       ）A． B． C． D．11．（2021·浙江·七年级专题练习）若一个方程组的一个解为，则这个方程组不可能是（       ）A． B．C． D．12．（2020·浙江杭州·模拟预测）与方程构成的方程组，其解为的是（       ）A． B． C． D．一、单选题13．（2021·云南华坪·七年级期末）已知是二元一次方程的解，则的值为（       ）A．3 B．-3 C． D．14．（2021·辽宁凌源·七年级期末）已知是方程5x−ay＝15的一个解，则a的值为（     ）A．5 B．−5 C．10 D．−1015．（2021·山西大同·七年级期末）已知关于的二元一次方程的解为，则的值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．416．（2022·全国·七年级课前预习）有下列方程组：①；②；③；④ ；⑤，其中二元一次方程组有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2022·江苏苏州·七年级期末）在下列各组数中，是方程组的解的是（       ）A． B． C． D．18．（2021·北京·101中学七年级期末）方程x+y＝6的正整数解有（　　）A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个19．（2021·湖北咸丰·七年级期末）若是方程的解，则等于（       ）A． B． C． D．20．（2021·全国·七年级课时练习）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则m，n的值为（       ）A． B． C． D．21．（2021·全国·七年级课时练习）已知二元一次方程组下列说法正确的是（       ）A．适合方程②的x，y的值是方程组的解B．适合方程①的x，y的值是方程组的解C．同时适合方程①和②的x，y的值是方程组的解D．同时适合方程①和②的x，y的值不一定是方程组的解一：选择题22．（2021·广东东莞·七年级期末）二元一次方程有无数个解，下列选项中，不是此方程的解的是（　　）A． B． C． D．23．（2021·湖北·武汉一初慧泉中学七年级阶段练习）已知方程组的解为，则（     ）A．， B．， C．， D．，24．（2021·福建·厦门双十中学思明分校七年级阶段练习）某人带了100元去市场头水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．则下列说法中，正确的是（　　）A．1 千克青提葡萄的价格可以是36元B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元C．若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价D．若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解25．（2021·四川·乐山外国语学校七年级期中）关于，的方程组有无数解，则、的值为（       ）A．， B．， C．， D．，26．（2021·山东岱岳·七年级期中）已知是二元一次方程组的解，则的值为（       ）A． B． C．3 D．4二、填空题27．（2022·全国·七年级课前预习），这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做____．二元一次方程组的条件：共含有____个未知数；每个方程都是____方程．28．（2022·全国·七年级）在（1），（2），（3）这三组数值中，_______是方程x-3y=9的解，______是方程2x+y=4的解，_________是方程组的解．29．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级阶段练习）若方程x|a|﹣2＋（a﹣3）y＝5是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____．30．（2021·广东惠东·七年级期末）若是关于、的二元一次方程的解，则________．31．（2021·福建福州·七年级期末）如表，每一行，，的值满足方程．如，当第二行中的3，2，5分别对应方程中，，的值时，可得．根据题意，的值是______．32．（2021·河北丰宁·七年级期末）如表，每一行x，y，t的值满足方程ax+by＝t．如，当第二行中的3，2，5分别对应方程中x，y，t的值时，可得3a+2b＝5．根据题意，b﹣a的值是 _____．三、解答题33．（2022·全国·七年级）已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程．(1)k为何值时，方程为一元一次方程？(2)k为何值时，方程为二元一次方程？34．（2022·全国·七年级）（1）若在方程2x-y=的解中，x，y互为相反数，求xy的值．（2）已知是方程组 的解，求m+n的值．35．（2021·全国·七年级课时练习）（1）若等式的x，y满足方程组．求的值．（2）求二元一次方程的正整数解．36．（2021·湖南长沙·七年级期末）甲、乙两位同学一起解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到的解为，乙看错了方程②中的b，得到的解为，试根据上述条件，求解下列问题：（1）求a、b的值；（2）计算．37．（2021·浙江北仑·七年级期中）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2x+3y＝12，得：y＝，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+3y＝12的正整数解为．问题：（1）请你直接写出方程3x﹣y＝6的一组正整数解．（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有　 　个．A．5     B．6       C．7       D．8（3）2020﹣2021学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，问有哪几种购买方案32523151．C2．C【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，∴且，解得：m=1，故选C．3．D解：是关于，的二元一次方程，，，解得：，．故选：D．4．B【详解】解：A、当x＝0，y＝﹣时，x﹣2y＝0﹣2×（﹣）＝1，是方程的解；B、当x＝1，y＝1时，x﹣2y＝1﹣2×1＝﹣1，不是方程的解；C、当x＝1，y＝0时，x﹣2y＝1﹣2×0＝1，是方程的解；D、当x＝﹣1，y＝﹣1时，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1，是方程的解；故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．A【解析】【分析】将代入方程x-ay=3计算可求解a值．【详解】解：将代入方程x-ay=3得2-a=3，解得a=-1，故选：A．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键．6．A【解析】【分析】分别将选项中的解代入方程x+2y=2，检验方程是否成立，即可求解．【详解】解：将代入x+2y=2等式成立，∴A符合题意；将代入x+2y=2，得到0=2，等式不成立，∴B不符题意；将代入x+2y=2，得到-1=2，等式不成立，∴C不符题意；将代入x+2y=2，得到6=2，等式不成立，∴D不符题意；故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入运算是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1的整式方程对个选项进行一一排查即可．【详解】解：A. 第二个方程中的是二次的,故本选项错误；B.方程组中含有3个未知数，故本选项错误；C. 符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；D. 第二个方程中的xy是二次的，故本选项错误．故选C．【点睛】:根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，判断各选项即可．8．C【解析】【分析】二元一次方程组：由两个整式方程组成，两个方程一共含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义列方程或不等式，从而可得答案.【详解】解： 方程组是 关于x，y的二元一次方程组， 解得： 故选：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.9．A【解析】【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组求解即可．【详解】解：A．此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；B．此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；C．此方程中xy的次数是2，此选项不符合题意；D．此选项第1个方程不是整式方程，此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．10．D【解析】【分析】把x与y的值代入方程检验即可．【详解】解：A、把代入方程得：左边＝10﹣8＝2，右边＝2，∵左边＝右边，∴是方程的解，B、把代入方程得：左边＝5﹣3＝2，右边＝2，∵左边＝右边，∴是方程的解，C、把代入方程得：左边＝﹣5﹣（﹣7）＝2，右边＝2，∵左边＝右边，∴是方程的解，D、把代入方程得：左边＝5﹣7＝－2，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．11．C【解析】【分析】把解代入各个方程组，根据二元一次方程解的定义判断即可【详解】解：A、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项不符合题意；B、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项不符合题意；C、x=2，y=1不是方程的解，故该选项符合题意．D、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了方程组的解．解决本题可根据方程组解的定义代入验证，也可以通过解方程组确定．12．D【解析】【分析】将解代入选项中验证即可求解．【详解】解：A．不是方程的解，该项不符合题意；B．不是方程的解，该项不符合题意；C．不是方程的解，该项不符合题意；D．是方程的解，该项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．13．A【解析】【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．【详解】解：把代入二元一次方程5x+my-1=0，得10-3m-1=0，解得m=3．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．14．A【解析】【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．【详解】解：把代入方程，得，解得．故选：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．15．B【解析】【分析】把代入原方程组，得出关于的方程组，整体求值即可．【详解】解：把代入原方程组得，，方程①-②得，，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是明确方程组的定义，正确运用整体运算的方法求值．16．B【解析】略17．D【解析】【分析】根据二元一次方程组的解可把选项逐一代入求解即可．【详解】解：∵∴把代入方程①得：，代入②得：，所以该解不是方程组的解，故A选项不符合题意；把代入方程①得：，代入②得：，所以该解不是方程组的解，故B选项不符合题意；把代入方程①得：，代入②得：，所以该解不是方程组的解，故C选项不符合题意；把代入方程①得：，代入②得：，所以该解是方程组的解，故D选项符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．18．A【解析】【分析】根据题意求二元一次方程的特殊解，根据解为正整数，分别令进而求得对应的值即可【详解】解：方程的正整数解有，，，，共5个，故选：A．【点睛】本题考查了求二元一次方程的特殊解，理解解为正整数是解题的关键．19．B【解析】【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义和解一元一次方程方程，熟知二元一次方程的解得定义是解题的关键．20．A【解析】【分析】根据二元一次方程的定义，得出关于m，n的方程组，求出答案．【详解】∵关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，∴，解得．故选：A．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．21．C【解析】【分析】根据方程组的解得定义，能同时满足方程组中每个方程的未知数的值，称为方程组的"解"即可得解．【详解】A. 适合方程②的x，y的值是方程②的解，故选项A不正确，不符合题意；B. 适合方程①的x，y的值是方程①的解，故选项B不正确，不符合题意；C. 同时适合方程①和②的x，y的值是方程组的解，故选项C正确，符合题意；D. 同时适合方程①和②的x，y的值一定是方程组的解，故选项D不正确，不符合题．故选择C．【点睛】本题考查二元一次方程组的解的概念，掌握二元一次方程组的解的概念是解题关键．22．C【解析】【分析】根据二元一次方程的解的定义，逐项分析即可．【详解】A.当时，，故该选项正确，不符合题意；B. 当时，，故该选项正确，不符合题意；C. 当时，，故该选项不正确，符合题意；D. 当时，，故该选项正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．一般地，使二元一次方程左、右两边的都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．23．C【解析】【分析】把方程组的解代入，即可得到a、b的值．【详解】解：∵方程组的解为，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了方程组的解，方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．24．D【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y=70，∴当y=36时，x=-2，此种情况不合实际，故选选项A不正确；当x=12时，12+2y=70，解得y=29，故选项B不正确；若是方程x+2y=70的解，则m，n不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如m=-2，n=36，故选项C不正确；若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y=70的解，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．25．D【解析】【分析】由关于，的方程组有无数组解，①②求出关于，的等式，再根据题意判断即可．【详解】解：由关于，的方程组，①②得：，方程组有无数组解，，，解得：，．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．26．D【解析】【分析】根据题意得，由①-②，得：，即可求解．【详解】解：根据题意得：，由①-②，得： ，即 ，解得：．故选：D．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义和解方程组中整体思想是解题的关键．27．     二元一次方程组     两     一次【解析】略28．     （1），（2）     （1），（3）     （1）【解析】【分析】根据二元一次方程解的定义：使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值，分别将三组数值代入两个方程中求出各自的解，即可得到方程组的解．【详解】解：当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，∴是方程的解；当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，∴是方程的解；当时，方程的左边为：，方程左右两边不相等，∴不是方程的解；当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，∴是方程的解；当时，方程的左边为：，方程左右两边不相等，∴不是方程的解；当时，方程的左边为：，方程左右两边相等，∴不是方程的解；∴方程组的解为；故答案为：①（1），（2）；②（1），（3）；③（1）．【点睛】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，数值二元一次方程解得定义是解题的关键．29．-3【解析】【分析】根据二元一次方程的定义得，再解即可．【详解】解：根据题意得：，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫二元一次方程．30．5【解析】【分析】把代入方程得到，整体代入求出即可．【详解】解：将代入，得，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是整我整体思想的运用．31．10【解析】【分析】把表格中的x,y,t代入ax+by=t的方程中得到一个二元一次方程组，解这个二元一次方程组求得a,b的结果，再求出b-a的结果．【详解】把两组数据分别代入ax+by=t得： 解得：∴b-a=7-(-3)=10故答案为10【点睛】本题考查含参数的二元一次方程组，由两组自变量和函数值建立新的方程组，求出两个参数，掌握未知数的转变是本题解题关键．32．10【解析】【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可．【详解】解：由题意得2，3，15分别对应x，y，t的值，∴2a+3b＝15，联立方程3a+2b＝5得由②﹣①得b﹣a＝10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解.33．(1)k=-2或k=6；(2)k≠-2且k≠6时【解析】【分析】（1）根据一元次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程可得或 ，解方程组得；（2）根据方程是二元一次方程方程的定义含有两个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程可得，解不等式组即可．【小题1】解：∵方程是一元一次方程，∴或 ∴解得k=-2或k=6．∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程．【小题2】解：∵方程是二元一次方程，∴∴解得k≠-2且k≠6．∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义，掌握一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义是解题关键．34．（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据互为相反数把解代入方程得2x+x=，解一元一次方程，解得x=，再求xy的值．（2）把解代入方程组求出二元一次方程组的解再求m+n即可．【详解】（1）∵x，y互为相反数，∴y=-x，将y=-x代入方程2x-y=中，得2x+x=，解得x=，∴y=．∴xy=．（2）∵是方程组的解，∴ 解得∴m+n=-1．【点睛】本题考查互为相反数，二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式的值，掌握互为相反数，二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式的值是解题关键．35．（1）； （2）；【解析】【分析】（1）先利用非负性的性质求出x、y的值，从而求出m、n的值，然后代值计算即可；（2）先根据题意得到，再由x、y都是正整数，即可得到，或，从而得到答案．【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，∵等式的x，y满足方程组，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵x、y都是正整数，∴y必须是3的整倍数，∴当时，，当时，，∴二元一次方程的正整数解为或．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二元一次方程组的解，解二元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．36．（1）a=-1，b=10；（2）0.6【解析】【分析】（1）根据甲、乙同学都只看错了一个字母，因此解出的方程的解满足另一个没有看错的字母所在的方程，因此只需要把方程的解代入求出没有看错的字母即可；（2）根据（1）中的结果，进行代入求解即可.【详解】解：由于甲看错了方程①中的a，得到的解为∴解得∵乙看错了方程②中的b，得到的解为∴解得（2）【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，和利用算术平方根，立方根的性质计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.37．（1）；（2）B；（3）有三种购买方案，方案1：购买笔记本11本，钢笔3支；方案2：购买笔记本6本，钢笔6支；方案3：购买笔记本1本，钢笔9支【解析】【分析】（1）由3x﹣y＝6可得出x＝2，结合x，y均为正整数可得出y为3的整数倍，再代入y＝3求出x值即可；（2）由为自然数可得出（x﹣3）可以为1，2，3，4，6，12，解之可得出x的值，进而即可得出结论；（3）设购买m本笔记本，n支钢笔，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】解：（1）∵3x﹣y＝6，∴x＝2．∵x，y均为正整数，∴y为3的整数倍，∴当y＝3时，x＝3，∴方程3x﹣y＝6的一组正整数解为．（2）∵为自然数，∴（x﹣3）可以为1，2，3，4，6，12，∴x可以为4，5，6，7，9，15，故选：B．（3）设购买m本笔记本，n支钢笔，依题意得：3m+5n＝48，∴m＝16n．∵m，n均为正整数，∴n为3的整数倍，∴当n＝3时，m＝11；当n＝6时，m＝6；当n＝9时，m＝1．∴有三种购买方案，方案1：购买笔记本11本，钢笔3支；方案2：购买笔记本6本，钢笔6支；方案3：购买笔记本1本，钢笔9支．