人教版数学七年级下册重难点培优训练8.2 解二元一次方程组（含答案详解）

8.2解二元一次方程组考点一、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值；⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。考点二、加减消元法两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。题型一：代入消元法1．解下列方程组（1）；          （2）；2．用代入法解下列方程组：（1）；   （2）；（3）； （4）．3．解下列方程组：（1）；   （2）．题型二：加减消元法4．解方程组时，由(2)−(1)得（       ）A． B． C． D．5．解下列方程：(1) (2)6．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记做方程组1、方程组2、方程组3、…(1)解方程组，求方程组3的解；(2)若方程组的解是，直接写出a、b的值；(3)请依据方程组和它的解的变化的规律，直接写出方程组n和它的解．题型三：二元一次方程组的特别的解法7．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（       ）A． B． C． D．8．已知是方程组的解，则3﹣a﹣b的值是（　　）A．﹣1 B．1 C．2 D．39．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）； （2）．一、单选题10．方程组 消去x得到的方程是（       ）A．y=4 B．y=-14 C．7y=14 D．-7y=1411．若（x﹣y）2＋|5x﹣7y﹣2|＝0，则x＋y的值为（       ）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．112．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（       ）A．①×2＋② B．①×2﹣② C．①×3＋② D．①×（﹣3）﹣②13．若是关于m，n的二元一次方程的一个解，则的值是（       ）A． B． C． D．14．若二元一次方程组和解相同，则可通过解方程组（       ）求得这个解．A． B．C． D．15．把方程改写成用含的式子表示的形式为（       ）A． B．C． D．16．代入法解方程组时，代入正确的是（       ）A． B． C． D．17．若方程组的解是，那么的解为（       ）A． B． C． D．18．利用加减消元法解方程组，要消去y，甲说：可以将①×+②×；乙说：可以将①×（-6）-②×4．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（       ）A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲乙都不对 D．甲乙都对19．若是方程组的解，则a、b的值分别是（　　）A．1，﹣1 B．﹣1，1 C．﹣3，﹣2 D．﹣2，﹣3一：选择题20．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为（       ）A． B． C． D．21．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y的自然数解有3对；④若2x+y＝8，则a＝2．正确的结论有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．422．已知关于，的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；③，都为自然数的解有对．正确的有几个（       ）A． B． C． D．23．已知关于x，y的方程组的解为，则（       ）．A．3 B． C．5 D．1124．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则ab的值是（　　）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10二、填空题25．若关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是__________．26．（1）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得到的点的坐标为______________ ．（2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是__________．27．关于a、b、x、y的多项式2021am+6bn﹣3xmyn+a3mb2n﹣3﹣4xn﹣1y2m﹣4（其中m、n为正整数）中，恰有两项是同类项，则mn＝___．28．若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组_____求得这个解．29．已知关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解为_____________．三、解答题30．用适当的方法解下列方程组（1） （2）31．用适当的方法解下列方程组：（1） （2）32．（1）解方程组：（2）解方程组：．33．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a，b的值．34．（1）用代入法解方程组： （2）用加减法解方程组：35．已知关于x、y的方程组．(1)请写出方程x＋2y＝6的所有正整数解．(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值．(3)当m每取一个值时，2x﹣2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．1．（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法解方程即可；（2）利用代入消元法解方程即可．【详解】（1），将①代入②，得3x-2（x-3）=5，解得x=-1，将x=-1代入①，得y=-1-3=-4，∴方程组的解是；（2），由②得：y=2x-7③，将③代入①得，3x+2（2x-7）=21，解得x=5，将x=5代入③得，y=3，∴这个方程组的解是．【点睛】此题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】根据代入法解二元一次方程组即可．【详解】解：（1），把①代入②，得2b+3=3b+20．解得：b=-17，把b=-17代入①，得a=-31，∴原方程组的解为；（2），由①得，x=13+y③，把③代入②，得13+y=6y-7．解得：y=4，把y=4代入③，得x=17，∴原方程组的解为；（3），由①得，x=4+y③，把③代入②，得4(4+y)+2y=-1．解得：y=-，把y=-代入③，得x=，∴原方程组的解为；（4），由①得，y=5x-110③，把③代入②，得9(5x-110)-x=110．解得：x=25，把x=25代入③，得y=15，∴原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法解二元一次方程组是解题的关键．3．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先将原方程的第一个方程去括号、移项、合并同类项，第二个方程去分母，化简成，再利用代入消元法解题；（2）先将原方程的第一个方程去分母、去括号、移项、合并同类项，第二个方程去括号，化简，整理成，再利用代入消元法解题．【详解】解：（1）整理得，由①得，③把③代入②得， 把代入③得（2）整理得，由②得，③把③代入①得把代入③得，．【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．B【解析】【分析】应用加减消元法，解方程组时，由(2)−(1)得：4y＝8．【详解】解：解方程组时，由(2)−(1)得：4y＝8．故选：B．【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．5．(1)(2)【解析】【分析】(1)利用加减消元法即可解得；(2)设设，，采用换元法解此方程组，可得 ，，据此即可解得．(1)解：，①×2-②，得3x=6，解得x=2，把x=2代入①，得y=3，故原方程组的解为；(2)解：设，，则原方程组的解为，①+②，得2a，解得a，把a代入①，得 ，解得b，∴ ，，解得，y，故原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握和灵活运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键．6．(1)(2)a＝，b＝9；(3)，【解析】【分析】（1）用加减消元法消去x项，得出y的值，然后再用代入法求出x的值；（2）把x的值代入方程①可得y即b的值，再把x和y的值的代入②可得a的值；（3）根据方程组和解的变化规律可得答案．(1)解：，用①﹣②得：﹣4y＝﹣8，解得y＝2．把y＝2代入①，得x﹣2＝1，x＝3，所以方程组的解是；(2)解：，把x＝10代入①得：y＝9即b＝9．再把x＝10，y＝9代入②得：10+9a＝a，解得a＝．答：a＝，b＝9；(3)解：根据观察可知，方程组的第一个方程不变，第二个方程等号右边的数是未知数y的系数的平方，方程组几的未知数x的值为几，未知数y值比x小1，所以，方程组n是，方程组的解是．【点睛】本题考查用加减消元法解方程，以及根据方程组及其解的集合找规律并解方程，解题关键是熟练运用加减消元法解方程．7．A【解析】【分析】通过观察所给方程组的关系可得，求出、即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是，∴，又∵，∴，解得，方程组的解为，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．8．C【解析】【分析】将代入方程组得到方程组，直接将此方程组中的两个方程相加可得到a+b＝1，再代入求解即可．【详解】解：∵是方程组的解，∴，①+②得，5a+5b＝5，∴a+b＝1，∴3﹣a﹣b＝3﹣（a+b）＝2，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，整体代入是解题的关键．9．（1）；（2）【解析】【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．【详解】解：（1）令，，原方程组化为，解得：，，解得：．原方程组的解为．（2）令，，原方程组可化为：，解得：，，经检验，是原方程的解．原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．10．D【解析】【分析】直接利用两式相减进而得出消去x后得到的方程．【详解】解：①-②得：-7y=14．故答案为：-7y=14，故选：D．【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握加减运算法则是解题关键．11．A【解析】【分析】先根据完全平方数和绝对值具有非负性，得出二元一次方程组，再求出解，即可得出答案．【详解】解：∵∴，解得，∴x+y＝﹣1﹣1＝﹣2．故选：A．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据非负性列出二元一次方程组是解题的关键．12．B【解析】【分析】根据①×2＋②得出5x−4y＝23，即可判断A；根据①×2−②得出−x＝5，即可判断B；根据①×3＋②得出6x−5y＝30，即可判断C；根据①×（−3）−②得出−6x−y＝−3，即可判断D．【详解】解答：解：A．，①×2＋②，得5x−4y＝23，不能消元，故本选项不符合题意；B．，①×2−②，得−x＝5，能消元，故本选项符合题意；C．，①×3＋②，得6x−5y＝30，不能消元，故本选项不符合题意；D．，①×（﹣3）﹣②，得−6x+5y＝−30，不能消元，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，通过加减消元法能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．13．B【解析】【分析】把代入方程，可得，再代入代数式即可求出答案．【详解】解：∵是关于m，n的二元一次方程的一个解，∴，∴＝-2-6＝−8．故选B．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键．14．C【解析】【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可．【详解】解：∵二元一次方程组和解相同，方程组的解同时满足这四个方程；∴解方程组即可求出方程组的解，故选：C．【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组．15．A【解析】【分析】将含的项移到等号的右侧，再在等号两侧乘2即可得到答案．【详解】解：，移项得，，等号两侧乘2得，．故选：A．【点睛】本题考查解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的过程．16．B【解析】【分析】根据代入消元的方法，可直接将方程组中第一个方程代入第二个中，消去y即可．【详解】解：，将①代入②得：，故选：B．【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法的基本方法是解题关键．17．B【解析】【分析】将转换为，即可得出，，求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵的解是，∴，，∴，∴的解为，故选：B．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．18．D【解析】【分析】加减消元法适用于未知数的系数互为相反数或者系数相同，据此分析即可．【详解】甲：将①×+②×，可得，可以消去，乙：①×（-6）-②×4，可得，可以消去，故甲乙都对，故选D【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．19．B【解析】【分析】把x与y的值代入方程得到关于a、b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：，故选：B．【点睛】此题主要考查加减消元法的应用，解题的关键熟知二元一次方程组解的定义．20．D【解析】【分析】由方程组的定义可知x,y满足4个方程,则先解和组成的方程组求出x、y,然后再把x,y代入另外两个方程求出a,b即可．【详解】解:根据条件方程组与有相同的解,可得: ，解得：把代入和可得,得即.故选D ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．21．C【解析】【分析】先解出二元一次方程组得，①当a＝1时，方程组的解为，则x+y＝3＝2a+1；②x+y＝1+2a+2﹣2a＝3，无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③，是自然数，解得有4对解；④2x+y＝2（1+2a）+（2﹣2a）＝4+2a＝8，则a＝2．【详解】解：，①﹣②，得y＝2﹣2a，将y＝2﹣2a代入②，得x＝1+2a，∴方程组的解为，当a＝1时，方程组的解为，∴x+y＝3＝2a+1，∴①结论正确；∵x+y＝1+2a+2﹣2a＝3，∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，∴②结论正确；，是自然数共4对∴x，y的自然数解有4对，∴③结论不正确；∵2x+y＝2（1+2a）+（2﹣2a）＝4+2a＝8，∴a＝2，∴④结论正确；故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组 ，解题的关键是掌握二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．22．C【解析】【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y=2a+1即可求解；②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；③根据试值法求二元一次方程x+y=3的自然数解即可得结论．【详解】解：①将a=1代入原方程组，得 解得，将x=3，y=0，a=1代入方程x+y=2a+1的左右两边，左边x+y=3，右边2a+1=3，当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；故①正确；②解原方程组，得，若x，y是互为相反数，则x+y=0，即2a+1+2-2a=0，方程无解．无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；故②正确；③∵x+y=2a+1+2-2a=3，∴x、y为自然数的解有，，，．∴x、y为自然数的解有4对，故③正确；故选：C．【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．23．D【解析】【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，∴，①+②得：3m-4n=11，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，也考查了代数式求值．24．A【解析】【分析】把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入方程①求出a的值，即可求出所求．【详解】将代入②得：-12=b-2，解得：b=10，将代入①得：5a+20=15，解得：a=-1，则ab=(-1)10=1，故选：A．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想；解题的关键是选择合适的方法解二元一次方程组．25．0【解析】【分析】根据二元一次方程的定义含有两个未知数并且含未知数的项的次数为1的方程是二元一次方程，建立方程组计算即可．【详解】解：∵关于，的方程是二元一次方程，∴，解得，∴mn=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程组的解法，代数式的值，根据方程的定义构造方程组是解题的关键．26．          【解析】【分析】（1）根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可；（2）根据题意得到，然后解出方程组，即可求解．【详解】解：（1）将点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得到的点的坐标为；（2）∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴，由①+②得：，解得：，把代入①，得：，∴关于x、y的二元一次方程组的解是．故答案为：；【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，二元一次方程组的解，熟练掌握平移中点的变化规律，代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．27．或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当是同类项时，当是同类项时，再根据同类项的定义列方程组，解方程组可得答案.【详解】解：当是同类项时，可得： 经检验：符合题意； 当是同类项时，则 解得： 经检验，符合题意； 故答案为：或【点睛】本题考查的是同类项的概念，二元一次方程组的解法，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键.28．【解析】【分析】联立两方程组中不含a与b的方程重新组成新的方程组即可．【详解】解：∵二元一次方程组和同解，∴可通过解方程组求得这个解，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组同解的问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．29．【解析】【分析】将变形为，根据二元一次方程组的解的定义可得，进而加减消元法解二元一次方程组即可【详解】将变形为，依题意关于的二元一次方程组的解是，解得故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，加减消元法解二元一次方程组，将方程组变形利用整体的思想是解题的关键．30．（1）；（2）【解析】【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）②×2-①得：7y=21，解得：y=3，把y=3代入②中，解得：x=−14，∴方程组的解为：；（2）①×2-②×3得：13x=26，解得：x=2，把x=2代入①中，解得：y=1，∴方程组的解为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．31．（1）；（2）【解析】【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；     （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1），把②代入①得：，解得：，代入②中，解得：，则方程组的解为；（2）方程组整理得，①-②×5得：，解得：，代入②中，解得：，则方程组的解为．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．32．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用加减消元法即可求出解；（2）方程组整理后，利用加减消元法即可求出解；【详解】解：（1），①+②×4得：7x＝35，即x＝5，把x＝5代入②得：y＝1，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①×2+②得：15y＝11，即y，把y代入①得：x，则不等式组的解集为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法与加减消元法，根据题目选用适当的方法是解题的关键．33．.【解析】【详解】试题分析：将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，解答即可得到结论．试题解析：解：由题意可将x＋y＝5与2x－y＝1组成方程组，解得：．把代入4ax＋5by＝－22，得：8a＋15b＝－22．①把代入ax－by－8＝0，得：2a－3b－8＝0．②①与②组成方程组，得：，解得：．34．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由x-y=3得x=3+y，再代入求出x，再求出y；（2）先对原方程组变形，再运用加减消元法解答.【详解】解：（1）由①得x=3+y③将③代入②得：y=将y=代入③得：x=所以原方程组的解为： （2）原方程组可化为： ①×2得：6x+4y=24③②×3得：6x-9y=-15④③-④得：13y=39，解得：y=3将y=3代入①中得：x=2所以原方程组的解为：【点睛】本题考查了二元一次方程组得两种解法，其关键在于扎实的计算能力和严谨的思维.35．(1)，(2)m(3)(4)﹣2或﹣4或﹣10或4【解析】【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；（3）方程变形后，确定出公共解即可；（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．(1)解：方程x+2y＝6的正整数解有：，．(2)解： 由②，得x＝﹣y．将x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．解得y＝6．∴x＝﹣6．∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．解得，m．(3)解：2x﹣2y+mx＝8变形得：（2+m）x﹣2y＝8，令x＝0，得y＝﹣4，∴无论m取何值，都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，∴公共解为；(4)解：，①+②得，3x+mx＝14，∴x，∵方程组有整数解，且m是整数，∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．当m＝﹣1时，x＝7，y，不符合题意；当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，符合题意；当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，符合题意；当m＝﹣5时，x＝﹣7，y，不符合题意，当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，符合题意，当m＝﹣17时，x＝﹣1，y，不符合题意；当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意，当m＝11时，x＝1，y，不符合题意，综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．