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人教版数学八年级下册精讲精练17.2 勾股定理的逆定理（含答案详解）

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第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理【考点一】互逆命题和互逆定理①如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.②如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这个定理为逆定理.③一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理.考点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。考点三：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2 (2)两者都与直角三角形有关; (3)两者互为逆定理。区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。考点四：勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下： (1)先确定最长边，算出最长边的平方; (2)计算另两边的平方和; (3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。题型一：判断三边是否构成直角三角形1．（2022·江苏江阴·八年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的三边，根据下列条件能判定 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形的是（）A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 2．（2022·广东福田·八年级期末）下列条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，能判定 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2022·全国·八年级）下列条件：（1）∠A＝90°﹣∠B，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝2∠B＝3∠C，④AB：BC：AC＝3：4：5，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型二：在网格中判断直角三角形4．（2021·陕西·咸阳市秦都区双照中学八年级阶段练习）在正方形网格中画格点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，若网格中每个小正方形的边长均为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．（2021·云南五华·八年级期末）如图所示，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　）A．BC＝ SKIPIF 1 < 0 B．AB＝5 C．AC⊥BC于点C D．∠CBA＝60°6．（2021·江西·赣州市第三中学八年级阶段练习）如图4，在单位正方形组成的网格图中标有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 题型三：利用勾股定理的逆定理求解7．（2022·贵州毕节·八年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 的三边分别为a、b、c，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（）A．30 B．60 C．65 D．无法计算8．（2021·辽宁铁西·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm29．（2021·福建大田·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD= SKIPIF 1 < 0 ，CD=2，BC=3，AB=5，求四边形ABCD的面积为( )．A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 题型四：勾股定理的逆定理的实际应用10．（2021·安徽合肥·八年级期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 SKIPIF 1 < 0 里， SKIPIF 1 < 0 里， SKIPIF 1 < 0 里，则该沙田的面积为（）（“里”是我国市制长度单位， SKIPIF 1 < 0 里 SKIPIF 1 < 0 米）A． SKIPIF 1 < 0 平方千米 B． SKIPIF 1 < 0 平方千米 C． SKIPIF 1 < 0 平方千米 D． SKIPIF 1 < 0 平方千米11．（2018·重庆八中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B．4 C．1 SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0 12．（2018·全国·八年级单元测试）如图，已知正方形B的面积为100，如果正方形C的面积为169，那么正方形A的面积为（）A．269 B．69 C．169 D．25题型五：勾股定理的逆定理的拓展问题13．（2020·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校八年级阶段练习）在△ABC中，命题：①若∠B＝∠C－∠A,则△ABC是直角三角形．②若a2＝(b＋c)(b－c),则△ABC是直角三角形．③若∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形．④若a∶b∶c＝5∶4∶3．则△ABC是直角三角形．其中假命题个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2019·全国全国·八年级课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三角形的三边长，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么此三角形是（）A．以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的直角三角形 B．以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形15．（2019·全国全国·八年级课时练习）若三角形的三边长分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则此三角形中最大的角是（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定一、单选题16．（2021·浙江余杭·八年级期中）记 SKIPIF 1 < 0 的三边分别为a，b，c，则无法判断 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形的是（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 17．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个18．（2022·上海浦东新·八年级期末）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．3，3， SKIPIF 1 < 0 B．4，8， SKIPIF 1 < 0 C．6，8，10 D．5，5， SKIPIF 1 < 0 19．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上中点， SKIPIF 1 < 0 是射线 SKIPIF 1 < 0 上一点． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（）A． SKIPIF 1 < 0 B．8 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．920．（2021·浙江·宁波市第七中学八年级期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（　　）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝25°，∠B＝75°C．a＝ SKIPIF 1 < 0 ，b＝ SKIPIF 1 < 0 ，c＝ SKIPIF 1 < 0 D．a＝6，b＝10，c＝1221．（2021·河南·焦作市中站区基础教育教学研究室八年级期中）已知实数a，b，c，是 SKIPIF 1 < 0 三边的长，且满足等式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的形状最准确的描述是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形22．（2021·山东新泰·七年级期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，下列条件中，能判断 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的有（）个．① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．A．1 B．2 C．3 D．423．（2021·江苏溧阳·八年级期中）以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有：①3n，4n，5n，（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2-1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2-n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组一：选择题24．（2021·江苏盱眙·八年级期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：① SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 其中不能构成直角三角形的是（）A．① B．② C．③ D．④25．（2021·江苏常州·八年级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC不是直角三角形的是（　　）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝9，b＝23，c＝2526．（2021·山西实验中学八年级期中）已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个27．（2021·湖南·长沙市实验中学八年级期中）已知在等腰三角形ABC中，D为BC的中点AD=12，BD=5，AB=13，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则PE+PB的最小值是（）A．10 B．12 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 28．（2021·重庆一中八年级阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点且 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 到线段 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个29．（2021·陕西·咸阳市秦都区双照中学八年级阶段练习）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 30．（2021·河南西华·八年级期末）有下列命题：①如果一个直角三角形的两边长是3，4，那么第三边边长一定是5；②如果一个三角形的三边长是5，12，15，那么此三角形必是直角三角形；③如果a，b，c是勾股数，那么 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍是勾股数；④如果一个等腰直角三角形的三边长是a，b，c（ SKIPIF 1 < 0 ），那么 SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④二、填空题31．（2022·全国·八年级）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．32．（2022·河南南召·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的度数为_______．33．（2022·全国·八年级）禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入______元34．（2021·湖南·长沙市湘一芙蓉中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交边BC于点DE，E，F分别是AD，AC上的点，连接CE，EF．若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则CE＋EF的最小值是________．35．（2021·辽宁抚顺·八年级期末）如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口 SKIPIF 1 < 0 ，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行 SKIPIF 1 < 0 ，乙客轮小时航行 SKIPIF 1 < 0 ，它们离开港口一个半小时后分别位于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 处，且相距 SKIPIF 1 < 0 ．如果知道甲客轮沿着北偏西 SKIPIF 1 < 0 的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是______．三、解答题36．（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校八年级期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 网格中，每个小正方形的边长都为1．(1) SKIPIF 1 < 0 的面积为________；(2)判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．(3)求 SKIPIF 1 < 0 边上的高．37．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)求DF的长．38．（2021·全国·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=2，BC SKIPIF 1 < 0 ，CD SKIPIF 1 < 0 ．求∠ABC的度数．39．（2022·江苏·南师附中树人学校八年级期末）如图①， SKIPIF 1 < 0 是四边形ABCD的一个外角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点F在CD的延长线上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G．（1）求证：①DC平分 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．（2）如图②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．①求 SKIPIF 1 < 0 的度数；②直接写出四边形ABCF的面积．40．（2021·江苏仪征·八年级期中）已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明．41．（2021·浙江诸暨·八年级期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA＝PC＝1，PB＝ SKIPIF 1 < 0 ，求证：PC⊥CQ．42．（2021·四川·成都七中八年级期中）如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值．1．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C、∵62+82≠122，∴能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵62+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】解：① SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，△ABC是直角三角形，故①符合题意；②∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A−∠B，∴∠A+∠B+∠A−∠B=180°，即∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；③∵ SKIPIF 1 < 0 ，设a= SKIPIF 1 < 0 ，b= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABC不是直角三角形，故③不合题意；④∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠C= SKIPIF 1 < 0 ×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．综上，符合题意的有①②，共2个，故选：C．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．3．B【解析】【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【详解】解：①∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∴3x+4x+5x＝180，解得：x＝15°，∴∠C＝15°×5＝75°，∴△ABC不是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠A＝（ SKIPIF 1 < 0 ）°，∴△ABC为钝角三角形；④∵AB：BC：AC＝3：4：5，设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①④共2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．4．C【解析】【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项．【详解】解：由图知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ∴A、B、D选项正确故选：C【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键．5．D【解析】【分析】利用勾股定理求出三边长，再依据勾股定理逆定理判断出∠ACB＝90°即可得出答案．【详解】解：由勾股定理可得：AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∵AC2+BC2＝（2 SKIPIF 1 < 0 ）2+（ SKIPIF 1 < 0 ）2＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故A、B、C都正确，不符合题意，∵AB SKIPIF 1 < 0 ，BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴∠ABC≠60°，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，运用勾股定理求出三边长是解题的关键．6．B【解析】【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【详解】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．7．A【解析】【分析】根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 的三边分别为a、b、c，且 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴△ABC是直角三角形，且边c的对角∠C=90°，∴ SKIPIF 1 < 0 故选：A．【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键．8．D【解析】【分析】首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．【详解】解：如图，连接BD，∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，∴BD= SKIPIF 1 < 0 =5（cm），∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，∴BD2+CD2=CB2，∴∠BDC=90°，∴S△DBC= SKIPIF 1 < 0 ×DB×CD= SKIPIF 1 < 0 ×5×12=30（cm2），S△ABD= SKIPIF 1 < 0 ×3×4=6（cm2），∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD的长，证明△BDC是直角三角形．9．C【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：∵连接AC，如图所示： ∵∠D=90°，AD= SKIPIF 1 < 0 ，CD=2，∴AC= SKIPIF 1 < 0 =4．∵BC=3，AB=5，32+42=52，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ×2+ SKIPIF 1 < 0 ×4×3= SKIPIF 1 < 0 +6．故答案选C【点睛】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算．10．A【解析】【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为： SKIPIF 1 < 0 ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．11．D【解析】【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．【详解】在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∵CD＝1，AD＝3，AC＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积：S＝S△ABC+S△ACD＝ SKIPIF 1 < 0 AB•BC+ SKIPIF 1 < 0 AC•CD＝ SKIPIF 1 < 0 ×2×2+ SKIPIF 1 < 0 ×1×2 SKIPIF 1 < 0 ＝2+ SKIPIF 1 < 0 ，故选D．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出△ACD是直角三角形是解此题的关键．12．B【解析】【详解】根据题意知正方形的B面积为100，正方形C的面积为169，则字母A所代表的正方形的面积=169−100=69.故选B．13．A【解析】【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形．【详解】解：①由∠B＝∠C－∠A，∴∠B+∠A＝∠C，又因为三角形内角和为180°，∴∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故此为真命题．②若a2=（b+c）（b-c），则可知a2 =b2- c2所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故此为真命题．C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，根据三角形内角和可得3x°+4x°+5x°=180°，解得x=15°，所以最大的∠C为75°，不是直角三角形，故此为假命题．D、若a：b：c=5：4：3，设a=5k，b=4k， c=3k，∵ SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC是直角三角形，故此为真命题．∴假命题共1个，故选：A．【点睛】本题考查命题，直角三角形的概念，三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，难度不大，掌握定理内容正确进行判断是本题的解题关键．14．B【解析】【分析】根据绝对值、偶次方的非负性质，分别求出a，b，c的值；利用勾股定理的逆定理，判断△ABC的形状，即可得到答案.【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，根据绝对值、偶次方的非负性质，∴c =13，b=12，a=5，∵52+122=132，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的性质，掌握勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的非负性质是解题的关键.15．B【解析】【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简 SKIPIF 1 < 0 ，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形．【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴a2+b2=c2，∴该三角形为直角三角形.故选B.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.16．A【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C= SKIPIF 1 < 0 ×180°= SKIPIF 1 < 0 °，故不能判定△ABC是直角三角形；B、∵32+42=25=52，∴∠C=90°，故能判定△ABC是直角三角形；C、∵∠C=∠A-∠B，∴∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形；D、∵b2=a2-c2，∴b2+c2=a2，故能判定△ABC是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．17．D【解析】【分析】结合网格及勾股定理分别确定图中每个三角形中三条边的平方，然后结合直角三角形的判别条件判断即可.【详解】解：在①中，三边长分别为：2，3， SKIPIF 1 < 0 ，∵2²+3²= SKIPIF 1 < 0 ，∴①是直角三角形；在②中，三边长分别为：2 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴②是直角三角形；在③中，三边长分别为：2 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴③是直角三角形；在④中，三边长分别为： SKIPIF 1 < 0 ，2 SKIPIF 1 < 0 ，5，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴④是直角三角形；综上所述，直角三角形的个数为4．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．18．D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断．【详解】解：A、32＋32＝（ SKIPIF 1 < 0 ）2，能构成直角三角形，故此选项不合题意；B、42＋（ SKIPIF 1 < 0 ）2＝82，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、62＋82＝102，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、52＋52≠（ SKIPIF 1 < 0 ）2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．19．D【解析】【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ；设 SKIPIF 1 < 0 ，证明△ABG≌△ACK，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则 SKIPIF 1 < 0 ，由此即可得到答案．【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，∵在三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则 SKIPIF 1 < 0 ，∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，∴AH⊥BC，∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．20．C【解析】【分析】根据三角形内角和定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 求出最大角 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直角三角形的判定即可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；根据三角形的内角和定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断选项 SKIPIF 1 < 0 ；根据勾股定理的逆定理即可判断选项 SKIPIF 1 < 0 、选项 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最大角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是直角三角形，故本选项不符合题意； SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是直角三角形，故本选项不符合题意； SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，故本选项符合题意； SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°．21．D【解析】【分析】根据题意将等式 SKIPIF 1 < 0 两边分别平方，然后将 SKIPIF 1 < 0 代入即可证明 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，然后通过计算 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，进一步证明出 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．故选：D．【点睛】此题考查了完全平方公式和勾股定理的运用，等腰直角三角形的概念等知识，解题的关键是正确对题目中的等式进行变形求解．22．D【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据 SKIPIF 1 < 0 即可推出 SKIPIF 1 < 0 即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，即可判断③．【详解】解：∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴此时△ABC是直角三角形，故①正确；∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，∴此时△ABC是直角三角形，故②正确；∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴此时△ABC是直角三角形，故③正确；∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴此时△ABC是直角三角形，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．23．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴①可以使△ABC为直角三角形；∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴②不可以使△ABC为直角三角形；∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴③可以使△ABC为直角三角形；∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴④可以使△ABC为直角三角形，综上所述，共有3组可以使△ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．24．D【解析】【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：①62+82=102，能构成直角三角形，该选项不符合题意；②52+122=132，能构成直角三角形，该选项不符合题意；③82+152=172，能构成直角三角形，该选项不符合题意；④42+52≠62，不能构成直角三角形，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．25．D【解析】【分析】利用三角形的内角和定理求解 SKIPIF 1 < 0 可判断A，利用平方差公式把a2＝（b+c）（b﹣c）变形，再利用勾股定理的逆定理可判断B，再分别计算C，D选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，结合勾股定理的逆定理，可判断C，D，从而可得答案.【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ∠B＝∠C+∠A， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故A不符合题意； SKIPIF 1 < 0 a2＝（b+c）（b﹣c）， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 故B不符合题意； SKIPIF 1 < 0 a＝1.5，b＝2，c＝2.5， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 故C不符合题意； SKIPIF 1 < 0 a＝9，b＝23，c＝25， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不是直角三角形，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，平方差公式的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形”是解题的关键.26．C【解析】【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理可得答案．【详解】解：①a2-b2=c2，则a2=b2+c2，故△ABC是直角三角形；②∵a2：b2：c2=1：3：2，∴设a2=x，则b2=3x，c2=2x，∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，故△ABC是直角三角形；③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故△ABC不是直角三角形；④∵∠A=2∠B=2∠C，∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴∠A=2x=90°，故△ABC是直角三角形；综上，是直角三角形的个数有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．27．D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵AD=12，BD=5，AB=13，∴AB2=AD2+BD2，∴∠ADB=90°，∵D为BC的中点，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，∵S△ABC= SKIPIF 1 < 0 AB•CE= SKIPIF 1 < 0 BC•AD，∴13•CE=10×12，∴CE= SKIPIF 1 < 0 ，∴PE+PB的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．28．C【解析】【分析】先证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到对应边相等，对应角相等，依次得出①正确和③错误，由等腰直角三角形的性质和勾股定理，得出②正确，由三角形的三边关系，可以得出④正确，利用勾股定理逆定理和三角形面积公式即可判定⑤正确．【详解】解:∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故①正确；∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正确； SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确；∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③错误；如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正确；故选：C．．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形等内容，解决本题的关键是能正确分析图形中的相等关系，能在相等的边和角中进行转化，能构造直角三角形进行求解等．29．B【解析】【分析】根据勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，因为 SKIPIF 1 < 0 ，利用两直线平行同旁内角互补可得出∠GCF的度数，结合∠BCG= ∠ACB －∠GCF可求出∠BCG的度数，再利用两直线平行，内错角相等即可求出∠CBD的度数．【详解】解：在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 △ABC为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ∠ACB=90°， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∠GCF=180°-∠EFC=44°， SKIPIF 1 < 0 ∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∠CBD= ∠BCG= 46°，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出∠ACB＝90°是解题的关键．30．D【解析】【分析】①根据勾股定理的定义即可判定；②依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形；③根据勾股数的定义判断勾股数即可；④根据等腰直角三角形的性质判断三边的平方的比即可．【详解】解：①错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”②错误，∵52+122≠152，∴不是直角三角形；③正确，∵a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2， ④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1．故选D．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．31． SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【详解】解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．【点睛】本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．32．150°##150度【解析】【分析】连接BD，根据AB=AD=6，∠A=60°，得出△ABD是等边三角形，求得BD=8，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠ADC=150°【详解】解：连接BD，∵AB=AD=6，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=6，∠ADB=60°，∵BC=10，CD=8，则BD2+CD2=82+62=100，BC2=102=100，∴BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=150°故答案为：150°【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．33．10800【解析】【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，CD为斜边；由此可知，四边形ABCD由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 构成，即可求解．【详解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴AC=5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．所以需费用： SKIPIF 1 < 0 （元）．故答案为10800．【点睛】本题考查了勾股定理，逆定理的相关知识，以及割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．34．4.8##245【解析】【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．【详解】解：如图所示：在AB上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H．∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当C、E、 SKIPIF 1 < 0 共线，且点 SKIPIF 1 < 0 与H重合时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理逆定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．35．北偏东 SKIPIF 1 < 0 （东北方向）【解析】【分析】根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 的长度，根据勾股定理逆定理求得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．【详解】解：由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，即乙客轮的航行方向为北偏东 SKIPIF 1 < 0 （东北方向）故答案为：北偏东 SKIPIF 1 < 0 （东北方向）【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题意求得三角形的边长并通过勾股定理逆定理判定为直角三角形．36．(1)5；(2)△ABC是直角三角形，理由见解析；(3)2.【解析】【分析】（1）根据割补法即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可判断 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形；（3）过点C作CF⊥AB于点F，根据等积法即可求得CF值.(1)解：如图：∵AE=1，BD=4，ED=4，EC=DC=2，∴S△ABC=S梯形ABDE-S△BCD-S△ACE== SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =10-4-1=5，故答案为：5；(2)解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=12+22=5，∴BC2 +AC2=20+5=25，即AB2= BC2 +AC2，故△ABC是直角三角形.(3)解：如图：过点C作CF⊥AB于点F，由（1）（2）知：S△ABC=5，AB=5，∴S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得CF=2,故 SKIPIF 1 < 0 边上的高为2.【点睛】此题考查三角形面积，勾股定理及其逆定理，掌握基本知识是解答此题的关键.37．(1)见解析(2)DF的长为5．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．(1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°；(2)解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF= SKIPIF 1 < 0 AB=5．∴DF的长为5．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．38． SKIPIF 1 < 0 的度数为135°【解析】【分析】如图连接BD，∠ABD=∠ADB=45°，勾股定理知BD的长，BC、BD、CD三边满足勾股定理，知∠DBC=90°，进而求出∠ABC的值即可．【详解】解：如图连接BD，∵∠A=90°，AD=AB=2∴∠ABD=∠ADB=45°，BD SKIPIF 1 < 0 2 SKIPIF 1 < 0 ∵BC SKIPIF 1 < 0 ，CD SKIPIF 1 < 0 ∴BC2+BD2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2+（2 SKIPIF 1 < 0 ）2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2=CD2∴△DBC是直角三角形∴∠DBC=90°∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+90°=135°∴∠ABC的度数是135°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．解题的关键在于用勾股定理说明三角形为直角三角形．39．（1）①见解析；②见解析；（2）①90°；② SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）①根据等边对等角性质和平行线的性质证得 SKIPIF 1 < 0 即可；②过点F作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，根据全等三角形的判定证明 SKIPIF 1 < 0 （AAS）和 SKIPIF 1 < 0 ，再根据全等三角形的性质即可证得结论；（2）①AD，BF的交点记为O．由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得∠ABD=90°，根据三角形的内角和定了可推导出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据平角定义和四边形的内角和为360°求得∠AFD=90°；②过B作BM⊥AD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由 SKIPIF 1 < 0 求解即可．【详解】（1）①证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴DC平分 SKIPIF 1 < 0 ；②证明：如图①，过点F作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为H，[Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/14/2894481277599744/2894997511561216/EXPLANATION/8f06f6be-3047-4378-812f-789a58e7edf2.png?resizew=0][Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/14/2894481277599744/2894997511561216/EXPLANATION/bb079aaf-b81a-4868-a032-fd1a1a2ccdcc.png?resizew=0]∵ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 （LH），∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ；（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．[Failed to download image : https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/14/2894481277599744/2894997511561216/EXPLANATION/ba4f55a3-54f8-40e8-9704-96eef5864d32.png?resizew=0]由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ；②过B作BM⊥AD于M，∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵AD∥BC，∴△BCD边BC上的高为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠AFD=90°，FG⊥AE，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵DG=1， SKIPIF 1 < 0 ，AD=4+1=5，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴FG=2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形ABCF的面积为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用．40．（1）证明见解析；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线性质可得BD＝DA，可证Rt△ADE≌Rt△BDF，可得AE＝BF；（2）根据Rt△CDE≌Rt△CDF得出CE＝CF，求出AC＝24，由勾股定理的逆定理即可得出结论；【详解】（1）证明：连接AD．记AB的垂直平分线交AB于M，如图所示：∵DM垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DEA＝∠DFC＝90°，在Rt△DEA和Rt△DFB中， SKIPIF 1 < 0 ，∴Rt△DEA≌Rt△DFB（HL），∴AE＝BF．（2）△ABC是直角三角形，理由如下：在Rt△CDE和Rt△CDF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF，由（1）得：Rt△DEA≌Rt△DFB，∴AE＝BF＝7，∴CF＝BC+BF＝10+7＝17，∴AC＝AE+CF＝7+17＝24，∴BC2+AC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，熟练的应用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解本题的关键.41．（1）AP=CQ，理由见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）AP＝CQ．根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°，AB＝CB，由∠ABP+∠PBC＝60°，∠PBC+∠CBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，结合AB＝CB，BP＝BQ可证出△ABP≌△CBQ（SAS），根据全等三角形的性质可得出AP＝CQ；（2）连接PQ，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°可得出△PBQ为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出PQ＝PB＝，∠BQP＝60°，进而可得出∠PQC＝90°．【详解】解：（1）∵等边三角形ABC，∴AB＝AC，∠ABC＝60°，∵∠PBQ＝60°，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP和△CBQ中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABP≌△CBQ （SAS），∴AP＝CQ；（2）连接PQ，∵PA＝PC＝1，AP＝CQ，∴PC＝CQ＝1，∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴PC2+CQ2＝PQ2，∴∠PCQ＝90°，∴PC⊥CQ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABP≌△CBQ；（2）得出∠PQC=90°．42．（1）△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；（2）存在点P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；（3） SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）先求出OA=5，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）分当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时和当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时两种情况讨论求解即可；（3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，可证△HOC≌△OBD得到OD=HC，则AC+OD=AC+HC，故要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，即当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，由（2）可知H的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），利用两点距离公式求解即可．【详解】解：（1）∵A的坐标为（5，0），∴OA=5，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；（2）如图所示，当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∴OB=OP=3，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠PFO=∠PDB=∠OEB=90°，∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°，∴∠OPF=∠BOE，在△OPF和△BOE中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△OPF≌△BOE（AAS），∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵P在第二象限，∴点P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D同理可以求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS），∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵P在第二象限，∴点P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；∴综上所述，存在点P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；（3）如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°，又∵OC=DB，∴△HOC≌△OBD（SAS），∴OD=HC，∴AC+OD=AC+HC，∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，由（2）可知H的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），∴ SKIPIF 1 < 0 ．