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人教版数学八年级下册精讲精练18.2.2 菱形（含答案详解）

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第十八章平行四边形18.2.2 菱形考点一：菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图,在□ABCD中,若AB=AD那么□ABCD就是菱形。考点二：菱形的性质(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角考点三：菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (用定义判定)几何语言: 如图1，∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴□ABCD是菱形。(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言:如图2, ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴□ABCD是菱形。(3) 四条边都相等的四边形是菱形几何语言:如图2，∵AB=BC=CD=AD, ∴四边形ABCD是菱形。题型一：菱形的性质求角度1．（2021·陕西临潼·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CFD等于（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2021·吉林南关·八年级期末）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小为（）A．20° B．35° C．55° D．70°3．（2021·山东沂水·八年级期末）如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O，∠ABC＝50°，E是线段AO上一点则∠BEC的度数可能是（　　）A．95° B．75° C．55° D．35°题型二：菱形的性质求线段4．（2021·重庆·八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B．3 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．（2021·广东·深圳中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4．点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是（　　）A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 6．（2021·山西·八年级期末）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E是对角线 SKIPIF 1 < 0 上一个动点（不与A，C重合），点F是边 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．4 D． SKIPIF 1 < 0 题型三：菱形的性质求面积7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为过点 SKIPIF 1 < 0 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．128．（2021·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　）A．4 SKIPIF 1 < 0 B．4 C．3 D．3 SKIPIF 1 < 0 9．（2021·吉林双阳·八年级期末）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC＝6，BD＝8，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长度为（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 题型四：菱形的判定10．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，下列条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中不能使平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形的是（）A．① B．② C．③ D．④11．（2021·河南偃师·八年级期末）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC12．（2021·全国·八年级课时练习）下列命题中，正确的是（）A．两邻边相等的四边形是菱形B．有三条边相等的平行四边形是菱形C．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形D．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形题型五：菱形的性质和判定的综合问题13．（2022·吉林·长春外国语学校八年级期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF SKIPIF 1 < 0 AB交BC于点E．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=5，AE=6， SKIPIF 1 < 0 的面积为36，求DF的长．14．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）在 SKIPIF 1 < 0 中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．15．（2022·全国·八年级）如图，ABCD的对角线AC 、 BD相交于点O ，BD12cm ，AC6cm ，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O 以2cm /s 的速度向点D运动．（1）若点E 、F同时运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，四边形AECF是平行四边形．（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，AECF是菱形；（3）求（2）中菱形AECF的面积．一、单选题16．（2021·北京丰台·八年级期末）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（　　）A．6 B．12 C．24 D．4817．（2022·全国·八年级）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，若OE=3.5，则菱形ABCD的周长等于（）A．14 B．28 C．7 D．3518．（2021·四川邛崃·八年级期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M是DC的中点．若菱形ABCD的周长为24，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（）A．12 B．8 C．6 D．319．（2021·黑龙江林口·八年级期末）如图，O是菱形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 的交点，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点给出下列结论：①三角形AED的面积等于三角形DOE的面积；②四边形 SKIPIF 1 < 0 也是菱形；③四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积大小等于 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 是轴对称图形．其中正确的结论是（）A．①②③⑤ B．②③⑤ C．①②③④⑤ D．②③④⑤20．（2021·安徽黄山·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE＝CD，连接AE，下列结论①AE＝2OD；②∠EAC＝90°；③四边形ADBE为菱形；④S四边形AEBO＝ SKIPIF 1 < 0 S菱形ABCD中，正确的结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个21．（2021·山东·曹县教学研究室八年级期末）如图，在菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点M，交BC于点N，下列结论：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．其中正确结论的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个22．（2021·福建·莆田擢英中学八年级期中）如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（）A． SKIPIF 1 < 0 B．4 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 23．（2021·河南·淮阳第一高级中学八年级期末）王老师把两张长为 SKIPIF 1 < 0 ，宽为 SKIPIF 1 < 0 的矩形纸条按如图所示的形状交叉叠放在一起，根据所学的知识，我们可以判定重合部分构成的四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．则随着纸条的转动，菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值与最小值的和为（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 24．（2021·广东·珠海市紫荆中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝ SKIPIF 1 < 0 DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4一：选择题25．（2021·河北·辛集市教学科研所八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（　　）①四边形AFCE为菱形；② SKIPIF 1 < 0 ABF≌ SKIPIF 1 < 0 CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个26．（2021·山东招远·八年级期中）如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误27．（2021·山东蓬莱·八年级期中）如下图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 28．（2021·湖南宁乡·八年级期末）将 SKIPIF 1 < 0 个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的周长总和等于（） A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 29．（2021·安徽长丰·八年级期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 30．（2021·湖北汉川·八年级期中）如图，在边长为 SKIPIF 1 < 0 的菱形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与对角线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．则以下结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 倍；⑤若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为3，其中结论正确的为（）A．①③⑤ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③⑤二、填空题31．（2021·全国·八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则菱形的周长为__________．32．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中点， SKIPIF 1 < 0 为对角线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．33．（2021·全国·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC=62°，则∠DAC为____°．34．（2021·辽宁大洼·八年级期中）如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（-3，1），C（1，4），则点A的坐标为________． 35．（2021·安徽巢湖·八年级期末）数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形：其中四边形ABCD为菱形，△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形．若AH＝ SKIPIF 1 < 0 ，DH＝1，CG＝2，则EF的长为____．36．（2021·云南昆明·八年级期末）如图，某小区要在一块矩形 SKIPIF 1 < 0 的空地上建造一个如图所示的四边形花园 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 m， SKIPIF 1 < 0 m，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为______m2．37．（2021·河北沧县·八年级期末）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______；③当 SKIPIF 1 < 0 ______时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是萎形．三、解答题38．（2021·北京丰台·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．(1)求证：四边形CBFD为菱形；(2)连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4 SKIPIF 1 < 0 ，求AC的长．39．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．40．（2021·北京市景山学校通州校区八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB SKIPIF 1 < 0 DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，BD＝2，求OE的长．41．（2022·全国·八年级）如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FA、CE．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积．42．（2021·浙江下城·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上（不与点B，点O重合），点F在线段OD上，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AC＝4，BD＝8，当BE＝3时，判断△ADE的形状，说明理由．43．（2021·全国·八年级专题练习）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．（1）当t=2时，∠NMP=________度；（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．44．（2021·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图1，四边形ABCD是菱形，AD=10，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=6．（1）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设 SKIPIF 1 < 0 PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，用t的代数式表示S；（2）在（1）的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在，则求出t值，若不存，在请说明理由．【解析】【分析】连接BF，根据菱形的性质得出△ADF≌△ABF，从而得到∠ABF=∠ADF，然后结合垂直平分线的性质推出∠ABF=∠BAC，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BF，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC= SKIPIF 1 < 0 ∠BAD=40°，在△ADF和△ABF中， SKIPIF 1 < 0 ∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠ABF=∠ADF，∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，∴AF=BF，∴∠ABF=∠BAC=40°，∴∠DAF=∠ADF=40°，∴∠CFD=∠ADF+∠DAF=80°．故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角定理等，理解图形的基本性质是解题关键．2．C【解析】【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，∠ABO＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC＝55°，再由直角三角形的性质求出∠BOE＝35°，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，∴∠ABO＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC＝55°，∵OE⊥AB，∴∠OEB＝90°，∴∠BOE＝90°−55°＝35°，∴∠AOE＝90°−35°＝55°，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出∠ABO＝55°是解题的关键．3．B【解析】【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO= SKIPIF 1 < 0 ，从而得：∠BAO=65°，进而可得：65°＜ SKIPIF 1 < 0 ＜90°，即可得到答案．【详解】解：∵在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即：∠AOB=90°，∴ SKIPIF 1 < 0 ＜90°，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠ABO= SKIPIF 1 < 0 ，∴∠BAO=65°，∵ SKIPIF 1 < 0 =∠BAO+∠ABE，∴ SKIPIF 1 < 0 ＞55°，即：55°＜ SKIPIF 1 < 0 ＜90°．故选B．【点睛】本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据菱形的面积以及 SKIPIF 1 < 0 的长，求得 SKIPIF 1 < 0 的长，勾股定理求得边长 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据菱形的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案．【详解】解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 OA＝4，S菱形ABCD＝24， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 连接 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 PE⊥AB，PF⊥AD， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 S菱形ABCD＝24， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选D【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．5．C【解析】【分析】首先连接EG交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EEFGH是菱形，易证得△CEO≌△AOG（AAS），即可得OA＝OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOG∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：连接GE交AC于C于O，∵四边形EFGH是菱形，∴GE⊥AC，OG＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB//CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CEO与△AOG中， SKIPIF 1 < 0 ∴△CEO≌△AOG（AAS），∴AO＝CO，∵AC＝ SKIPIF 1 < 0 ∴AO＝ SKIPIF 1 < 0 AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOG＝∠B＝90°，∴△AOG∽△ABC，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴AG＝ SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．B【解析】【分析】在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，点B关于AB对称点为点D，过点D作AB的垂线交于点F，交AC于点E，这时 SKIPIF 1 < 0 最小为DF，根据三角函数得， SKIPIF 1 < 0 即可算出答案．【详解】如图所示，连接DE，DF SKIPIF 1 < 0 ABCD是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，DF最小，这时 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到 SKIPIF 1 < 0 的最小值为菱形ABCD中AB边上的高．7．B【解析】【分析】根据菱形的性质可证出 SKIPIF 1 < 0 ，可将阴影部分面积转化为 SKIPIF 1 < 0 的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 故选： SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为 SKIPIF 1 < 0 的面积为解题关键．8．A【解析】【分析】证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．【详解】解：连接AC，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC、△ACD为等边三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，过A作AH⊥BC于H，则BH＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝2，∴AH＝ SKIPIF 1 < 0 ，S四边形AECF＝S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 BC•AH＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×2 SKIPIF 1 < 0 ＝4 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的综合应用，结合勾股定理计算是解题的关键．9．B【解析】【分析】根据菱形的性质得出CO、DO的长，在Rt△COD中求出CD，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于CD×AE，可得出AE的长度．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∴CD×AE=24，∴AE= SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．10．A【解析】【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】解：① SKIPIF 1 < 0 ，对角线相等的平行四边形是矩形，故①符合题意；② SKIPIF 1 < 0 ，对角线垂直的平行四边形是菱形，故②不符合题意；③ SKIPIF 1 < 0 ，邻边相等的平行四边形是菱形，故③不符合题意；④ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ,邻边相等的平行四边形是菱形，故④不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定与矩形的判定定理，难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解本题的关键．11．C【解析】【分析】根据菱形的定义及其判定对各选项逐一判断即可得．【详解】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AB=BC或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；当∠BAC=∠DAC时，由AD∥BC得：∠DAC=∠ACB，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形；故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．12．B【解析】【分析】根据菱形的判定及定义即可完成．【详解】A、两邻边相等的平行四边形的菱形，故此选项错误；B、有三条边相等，则有一组邻边相等，根据有一组两邻边相等的平行四边形是菱形这个定义知，此选项正确；C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；D、对角线相互平分且一组邻边相等的四边形是菱形，但对角线垂直且一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的定义与判定，掌握菱形的定义与判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）2.5．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE∴∠FBE=∠AFB，∵∠ABC的平分线交AD于点F，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，又∵AB//EF，AF//BE∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，∵AE=6，∴AO=3，∴BO= SKIPIF 1 < 0 ∴BF=8，∴S菱形ABEF= SKIPIF 1 < 0 AE·BF= SKIPIF 1 < 0 ×8×6=24，∴BE·AH=24，∴AH= SKIPIF 1 < 0 ;∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，∴BC= SKIPIF 1 < 0 ∵平行四边形ABCD∴AD=BC= SKIPIF 1 < 0 ∴FD=AD-AF= SKIPIF 1 < 0 -5=2.5．．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．14．(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，证明△AOF≌△BOE，推出AF=BE，证得四边形ABEF是平行四边形，由AE平分∠BAD，推出AB=BE，由此得到结论；（2）过点O作OG⊥BC于G，由C的中点，求出BE，根据菱形的性质得到OE=2，∠OEB=60°，求出GE=1，勾股定理求出OG得到GC，再利用勾股定理求出答案．(1)证明：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴∠FAO=∠BEO，∵O为AE的中点，∴AO=EO，∵∠AOF=∠BOE，∴△AOF≌△BOE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：过点O作OG⊥BC于G，∵点E为BC的中点，且BC＝8，∴BE=CE=4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OBE=30°，∠BOE=90°，∴OE=2，∠OEB=60°，∴GE=1， SKIPIF 1 < 0 ，∴GC=5，∴OC SKIPIF 1 < 0 ．．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，解题的关键是熟练掌握各知识点并熟练应用．15．（1）t＝2s；（2）AB= SKIPIF 1 < 0 ；（3）24【解析】【分析】（1）若是平行四边形，所以BD=12cm，则BO=DO=6cm，故有6-t=2t，即可求得t值；（2）若是菱形，则AC垂直于BD，即有 SKIPIF 1 < 0 ，故AB可求；（3）根据四边形AECF是菱形，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行四边形的性质得到BO=OD，求得BE=DF，列方程到底BE=DF=2，求得EF=8，于是得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，EO＝OF，∵BO＝OD＝6cm，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；∴当AB为 SKIPIF 1 < 0 时，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；（3）由（1）（2）可知当t＝2s，AB= SKIPIF 1 < 0 时，四边形AECF是菱形，∴EO＝6−t=4，∴EF=8，∴菱形AECF的面积＝ SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积的计算．16．C【解析】【分析】利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形ABCD的面积＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝24，故选：C．【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．17．B【解析】【分析】利用菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质求出AD=8，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，∵E为AD边中点，∴OE是Rt△AOD的斜边中线，∴AD=2OE=7，∴菱形ABCD的周长=4×7=28；故选B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟记直角三角形斜边上的中线性质是解题关键．18．D【解析】【分析】根据菱形的性质可得CO⊥DO，从而可判断OM是 SKIPIF 1 < 0 斜边的中线，继而可得出OM的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为24，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵点M是CD中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．19．A【解析】【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角形的面积公式可判断①；根据四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，可以判断②；根据菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，得到 SKIPIF 1 < 0 ，可知菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，可判断③；由已知可求得 SKIPIF 1 < 0 ，而无法求得 SKIPIF 1 < 0 ，可判断④；根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ，可判断⑤．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故①正确， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，故②正确， SKIPIF 1 < 0 菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确，由已知可求得 SKIPIF 1 < 0 ，而无法求得 SKIPIF 1 < 0 ，故④不正确， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是轴对称图形，故⑤正确， SKIPIF 1 < 0 正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．20．C【解析】【分析】先判定四边形ADBE是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC=CD ，AD∥BC，BD＝2DO，又∵BE=CD，∴AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形，但不一定是菱形，故③错误，∴AE＝BD，∴AE＝2DO，故①正确；∵四边形AEBD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，∴AE∥BD，AC⊥BD，∴AE⊥AC，即∠CAE＝90°，故②正确；∵四边形AEBD是平行四边形，∴S△ABE＝S△ABD＝ SKIPIF 1 < 0 S菱形ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∴S△ABO＝ SKIPIF 1 < 0 S菱形ABCD，∴S四边形AEBO＝S△ABE＋S△ABO＝ SKIPIF 1 < 0 S菱形ABCD，故④正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，解题时注意：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．21．D【解析】【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，AB＝BC＝AD，∠ACD SKIPIF 1 < 0 ∠BCD＝40°，由“ASA”可得△AOM≌△CON，可得OM＝ON，AM＝CN，可得AM+BN＝AB，即可求解．【详解】解：在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，∴∠BCD＝80°，AO＝CO，AD∥BC，AB＝BC＝AD，∠ACD SKIPIF 1 < 0 ∠BCD＝40°，故（1）正确；∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△AOM和△CON中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△AOM≌△CON（ASA），∴OM＝ON，AM＝CN，∴AM+BN＝BN+CN＝BC＝AB，故（2），（3）正确，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．22．A【解析】【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BDA= SKIPIF 1 < 0 ∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．【详解】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BDA= SKIPIF 1 < 0 ∠ADC= SKIPIF 1 < 0 ×120°=60°，∵AB=AD（菱形的邻边相等），∴△ABD是等边三角形，连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，∵菱形ABCD周长为16，∴AD=16÷4=4， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．故答案选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．23．B【解析】【分析】过点A分别作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，可证得四边形ABCD是菱形，可得到当AD⊥CD，即AD与AE重合时，菱形ABCD的面积最小，当旋转至C、D两点与矩形纸片的两个顶点重合时，菱形ABCD的面积最大，分别求出最大面积和最小面积，即可求解．【详解】解：如图，过点A分别作AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，则∠AED=∠AFB=90°，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADE=∠ABF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴AD=AB，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，S菱形ABCD=AE×CD=3CD，∴当AD⊥CD，即AD与AE重合时，菱形ABCD的面积最小，则CD=AD=3，∴菱形ABCD的最小面积为9，如图，当旋转至C、D两点与矩形纸片的两个顶点重合时，菱形ABCD的面积最大，设AD=AB=x，则AM=9-x，在 SKIPIF 1 < 0 中，DM=3，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴AD=5，∴菱形ABCD面积的最大值为：3AD=15，∴菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值与最小值的和为9+15=24．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，还考查了矩形的性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段AD的最值问题，是解决本题的关键．24．C【解析】【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在Rt△GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD．∵∠A=60°，∴∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形．∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD=∠DEB=90°，∴∠GDB=∠GBD=30°，∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，∴∠BGD=360°-90°-90°-60°=120°，故①正确；在△CDG和△CBG中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC=∠BGC=60°．∴∠GCD=30°，∴CG=2GD=GD+GD，∴CG=DG+BG．故②正确．∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等．故③错误；∵S菱形ABCD=2S△ADB= 2× SKIPIF 1 < 0 AB•DE=AB•（ SKIPIF 1 < 0 BE）=AB• SKIPIF 1 < 0 AB= SKIPIF 1 < 0 AB2，故④错误；∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴2DE= SKIPIF 1 < 0 CD，故⑤正确；∵BD＞BF，BD=BC，∴BC＞BF，故⑥错误．∴正确的有：①②⑤共三个．故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．25．D【解析】【分析】由平行四边形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质分别对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD SKIPIF 1 < 0 BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB SKIPIF 1 < 0 CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠FCA，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠B，∴∠BCA+∠B=90°，∴∠BAC＝90°，∵AB SKIPIF 1 < 0 CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．26．C【解析】【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．【详解】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD SKIPIF 1 < 0 BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，又∵AE SKIPIF 1 < 0 CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；乙的作法正确；∵AD SKIPIF 1 < 0 BC，∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，∴AB＝AF，AB＝BE，∴AF＝BE∵AF SKIPIF 1 < 0 BE，且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形ABEF是菱形；故选：C．【点睛】此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．27．B【解析】【分析】由在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用菱形的性质以及勾股定理，求得 SKIPIF 1 < 0 的长，继而可求得 SKIPIF 1 < 0 的长，然后由菱形的面积公式可求得线段 SKIPIF 1 < 0 的长．【详解】解：如图． SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理．解题的关键是注意菱形的对角线互相垂直平分．28．C【解析】【分析】先通过菱形的性质和三角形的中位线定理求得一个阴影菱形的边长，再计算2020个阴影菱形的周长总和便可．【详解】解：根据题意知，将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2020个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，如图，由题意知，OA=OC，AB=BC=CD=AD=2，∠BAD=∠EOF，由菱形的对角线平分一组对角可知∠EOC=∠DAO，∴OE∥AD，∴OE是△ACD的中位线∴OE= SKIPIF 1 < 0 AD=1，∴一个阴影菱形的周长为：1×4=4，∴2020个阴影菱形的周长和为：4×2020=8080，故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，菱形的周长计算，关键是求出阴影菱形的边长和个数．29．B【解析】【分析】连接OE，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠EFO，∠EGO，∠FOG都是直角，即可得到四边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积．【详解】解：如图所示，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，又∵E是BC的中点，∴OE＝BE＝CE，又∵F，G分别是BO，CO的中点，∴EF⊥OB，EG⊥OC，∴四边形OGEF是矩形，∵菱形ABCD的面积为S，∴ SKIPIF 1 < 0 AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝ SKIPIF 1 < 0 OC× SKIPIF 1 < 0 OB＝ SKIPIF 1 < 0 AC× SKIPIF 1 < 0 BD＝ SKIPIF 1 < 0 AC×BD＝ SKIPIF 1 < 0 ×2S＝ SKIPIF 1 < 0 S．故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质及中点问题，进而求面积，难度一般．30．D【解析】【分析】证明 SKIPIF 1 < 0 可以判断①，根据①的结论结合直角三角形两锐角互余可判断②，根据菱形的性质，勾股定理分别求得 SKIPIF 1 < 0 可判断③，根据三角形面积公式求得两个三角形的面积可以判断④，根据菱形的对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断⑤．【详解】① SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （SAS）， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故③正确； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由①③知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故④不正确； SKIPIF 1 < 0 菱形是轴对称图形， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正确，综上所述，①②③⑤正确．故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，轴对称求线段和最值，综合运用以上知识是解题的关键．31．16【解析】【分析】由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长，从而可求得菱形的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O∴点O是AC的中点∵E为DC的中点∴OE为△CAD的中位线∴AD=2OE=2×2=4∴菱形的周长为：4×4=16故答案为：16【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．32． SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点 SKIPIF 1 < 0 的位置，根据菱形的性质，知：点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称．则连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即为所求作的点， SKIPIF 1 < 0 的最小值即为 SKIPIF 1 < 0 的长．【详解】解：连接AC，∵菱形 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 =4，AC⊥BD且平分BD，∴点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称．则连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的值最小为CE的长，∵ SKIPIF 1 < 0 ，， ∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边的中点，∴BE=2，在Rt△BCE中， SKIPIF 1 < 0 故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的三线合一、勾股定理、菱形的四边相等性质，能够正确找到点 SKIPIF 1 < 0 的位置是解题的关键．33．28【解析】【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO=CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB//CD，AB=BC，BC//AD，∴∠MAO=∠NCO，∠BCA=∠CAD．在△AOM和△CON中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AO=CO，又∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BCO=90°﹣∠OBC=28°=∠DAC．故答案为：28．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．34．（-3，6）【解析】【分析】作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的坐标得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，由菱形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．【详解】解：作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 是解决问题的关键．35．1【解析】【分析】先证四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长，即可求解．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故答案为1．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理、矩形的判定，解题的关键是证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．36．100【解析】【分析】先证BFHA是平行四边形，推出 SKIPIF 1 < 0 ，AB=HF，同理得到BC=EG， SKIPIF 1 < 0 ，再证得四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积公式求出即可．【详解】解：连接HF、EG，∵四边形ABCD是矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，BC=AD，∵H、E、F分别为边AD、AB、BC的中点，∴AH=BF，AE=BE，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB=HF， SKIPIF 1 < 0 ，同理BC=EG， SKIPIF 1 < 0 ，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∵AH=BF， SKIPIF 1 < 0 ，AE=BE∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 同理， SKIPIF 1 < 0 ∵AH=HD， SKIPIF 1 < 0 ，AE=DG∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 同理， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴四边形EFGH是菱形∴四边形EFGH的面积是 SKIPIF 1 < 0 ×EG×HF= SKIPIF 1 < 0 ×10×20=100（m²）．故填：100．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形、菱形的性质和判定、菱形的面积等知识点的理解和掌握，能求出四边形EFGH是菱形是解此题的关键．37． 5 75° 30°【解析】【分析】①由矩形的性质，可证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即知答案；②由 SKIPIF 1 < 0 可得到 SKIPIF 1 < 0 ，进一步判定 SKIPIF 1 < 0 ，再通过三角形全等性质证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据直角三角形中，两锐角互余得到答案；③若四边形 SKIPIF 1 < 0 是萎形，则 SKIPIF 1 < 0 ，由矩形的性质推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据直角三角形两锐角互余即可得到答案．【详解】①解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为：5②解：∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 ③证明：若四边形 SKIPIF 1 < 0 是萎形，则 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 故答案为: SKIPIF 1 < 0 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、利用相关的定理解题是关键．38．(1)见解析(2)AC的长为 SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）先证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得 SKIPIF 1 < 0 ，然后证出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论；（2）由菱形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由等边三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后由含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ．(1)解：证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形；(2)解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，交于 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，由（1）得：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质，证出 SKIPIF 1 < 0 ．39．(1)见解析(2)120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用全等三角形的判定和性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据菱形的面积公式求解即可得．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)解：如图所示：连接AC，交BD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴平行四边形ABCD的面积为： SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．40．（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AB SKIPIF 1 < 0 CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB SKIPIF 1 < 0 CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝ SKIPIF 1 < 0 BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，OB＝1，∴OA＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2，∴OE＝OA＝2．【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是菱形的判定与性质、勾股定理的应用．41．（1）见解析；（2）12 SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）首先根据题意证明出△EAO≌△FCO，然后根据一组对边平行且相等证明四边形AECF为平行四边形，然后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明；（2）首先根据同高的两个三角形的面积比等于底边的比，得出CF：DE＝AF：BF＝3：1，然后设出未知数根据勾股定理列方程求出AF的长度，最后根据菱形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴EF⊥AC，AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO和△FCO中 SKIPIF 1 < 0 ，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形；（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵△CEF与△CED的面积比为3：1，∴CF：DE＝AF：BF＝3：1，设AF＝3x，BF＝x，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（3x）2，解得：x＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴CF＝3 SKIPIF 1 < 0 ，∴S菱形AECF＝CF×AB＝3 SKIPIF 1 < 0 ×4＝12 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】此题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质以及面积的求解，勾股定理的运用等知识，解题的关键是根据题意证明出△EAO≌△FCO．42．（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求出OE=OF，再根据菱形的判定得出即可；（2）根据菱形的性质求出AO=2，BO=DO=4，求出OE和DE，根据勾股定理求出AD2=20，AE2=5，求出AD2+AE2=DE2，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BC，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，BO＝DO，∴BO﹣BE＝DO﹣DF，即OE＝OF，∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形；（2）解：△ADE是直角三角形，理由是：∵AC＝4，BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝2，BO＝DO＝4，∵BE＝3，∴OE＝4﹣3＝1，DE＝DO+OE＝4+1＝5，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+DO2＝22+42＝20，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝22+12＝5，∵DE2＝52＝25，∴AD2+AE2＝DE2，∴∠DAE＝90°，即△ADE是直角三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．43．（1）30；（2）1；（3）t= SKIPIF 1 < 0 或t= SKIPIF 1 < 0 时，△PNC是直角三角形．【解析】【分析】（1）当t=2时，此时点M、N分别为AB、BC的中点，点P与点C重合，易求得∠NMP的度数；（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，连接AP，根据平行四边形的性质可得关于t的方程，解方程即可；若点P在线段DC延长线时，这样的平行四边形不存在；（3）满足条件的点P不可能在线段CD上，分两种情况考虑即可：当∠NPC=90゜时；当∠PNC=90゜时；然后可30度直角三角形的性质通过建立方程，即可求得t的值．【详解】解：（1）如图所示，当t=2时，此时点M、N分别为AB、BC的中点，点P与点C重合∵PM⊥AB∴MN=BN=NC∵∠B=60゜∴∠NCM=∠NMP=30゜故答案为：30（2）若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，连接AP，如图2所示在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4，∴∠DAE=30゜∴DE= SKIPIF 1 < 0 AD=2，∴CE=DE=2∵AB∥CD，AE∥MP，∴四边形AMPE是平行四边形，∴PE=AM=t，PC=CE−PE=2﹣t，要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC，∴t=2﹣t，∴t=1．若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．（3）若点P在线段CD上时，∠NCP=120゜，则不存在Rt△NPC， ∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，∴∠CNP=∠MNB=30°，∴BM= SKIPIF 1 < 0 BN，∵BM=AB−AM=4−t，∴4﹣t= SKIPIF 1 < 0 t，解得，t= SKIPIF 1 < 0 ．如图4中，当∠PNC=90°时，∵∠B=60゜，MP⊥AB，∴∠BGM=∠PGC=30゜，∴BG=2（4﹣t），GP=2PN，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，∵GN=BN−BG=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，∴PN= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∵∠NPC=30゜，NP⊥BC，∴PC=2NC，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵NC=BC−BN=4−t，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得t= SKIPIF 1 < 0 ，综上所述，t= SKIPIF 1 < 0 s或t= SKIPIF 1 < 0 s时，△PNC是直角三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识，运用了方程思想，涉及分类讨论思想．44．（1）当P在AB之间时，S=-3t+15；当P在BC之间时，S=5t-25；（2）存在，1【解析】【分析】（1）结合菱形性质，通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，得BM=DM，根据勾股定理的性质，计算得 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△BHM中，根据勾股定理的性质列方程并求解，得DM，再通过证明△BCM≌△DCM，得∠CDM=∠CBM=90°；分当P在AB之间和P在BC之间两种情况计算，即可得到答案；（2）根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得∠MPB=∠ADM；根据等腰三角形三线合一性质，得PH=BH，从而完成求解．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD= AB=10， SKIPIF 1 < 0 在△ABM和△ADM中， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴BM=DM，∵ SKIPIF 1 < 0 , AH=6∴ SKIPIF 1 < 0 ∴HM=DH-DM=8-DM，BH=AB-AH=4，在Rt△BHM中，BM2-MH2=BH2，即：DM2-（8-DM）2=16，∴DM=5，∴HM =3, BM=DM=5在△BCM和△DCM中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△BCM≌△DCM∴∠CDM=∠CBM=90°，当P在AB之间时， SKIPIF 1 < 0 ∴S= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 （10-2t）×3=-3t+15；当P在BC之间时， SKIPIF 1 < 0 S= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 （2t-10）×5=5t-25；（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ∴∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∴∠ADM+∠BCD=90°，∵∠MPB+∠BCD=90°，∴∠MPB=∠ADM，∵△ABM≌△ADM∴∠ABM=∠ADM，∴∠MPB=∠ABM，如下图：∵MH⊥AB，∴PH=BH=4，∴BP=2BH=8，∵AB=10，∴AP=2，∴t= SKIPIF 1 < 0 =1．