苏科版（2024）七年级上册（2024）4.2 一元一次方程及其解法精品当堂检测题

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题型一 |ax+b|=c
1．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是
A．B．C．D．
【详解】解：关于的方程有两个解，；
只有一个解，；
无解，；
则、、的关系是．
故本题选：．
2．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：．
解：方程可化为：或，
当时，则有，∴；
当时，则有，∴；
综上，方程的解为或．
（1）解方程：；
（2）已知，求的值．
【详解】解：（1）解方程：，
∴或，
解得：或；
∴方程的解为或；
（2）已知，
∴或，
解得：或，
∴或20．
3．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为：，解得：；
当时，原方程可化为：，解得：；
综上，原方程的解是或．
（1）解方程：；
（2）解关于的方程：．
【详解】解：（1）①当时，原方程可化为：，解得：；
②当时，原方程可化为：，解得：；
综上，原方程的解是或；
（2）①当时，原方程无解；
②当时，
原方程可化为：，解得：；
③当时，
当时，原方程可化为：，解得：，
当时，原方程可化为：，解得：．
题型二 |ax+b|=|cx+d|
1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程，我们知道，由，可得或．
例解方程：．
我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得或．
解这两个一元一次方程，得或．
根据以上材料解决下列问题：
（1）解方程：；
（2）拓展延伸：解方程．
【详解】解：（1）根据绝对值的意义可得：或．
解得：或；
（2）由绝对值的意义可得：或．
解得：或．
2．阅读下列材料：
我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，都是含有绝对值的方程．
怎样才能求出含有绝对值的方程的解？
以方程和为例来探求解法．
探究思路：
根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解．
探究结论：
1．解方程．
解：根据绝对值的意义可得：或．
2．解方程．
分析：把看作一个整体．
解：根据绝对值的意义可得：或，
解得：或．
应用材料中的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【详解】解：（1）根据绝对值的意义可得：或，
解得：或；
（2）根据绝对值的意义可得：或，
解得：或．
题型三 |ax+b|=cx+d
1．关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是 ．
【详解】解：①当，即，则，
，
此时，则；
②当，即，则，
，
此时，则；
综上，．
故本题答案为：．
2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意；
当时，方程可化为：，解得：，符合题意；
∴原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下问题：
解方程：；
【详解】解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意；
当时，方程可化为：，解：得，符合题意；
∴原方程的解为：或．
3．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：
根据以上材料解决下列问题：
（1）若，则的取值范围是 ；
（2）解方程：．
【详解】解：（1）由题意可得：，
，
故本题答案为：；
（2），
①当时，即，得，解得：；
②当时，即，，解得：；
∴原方程的解为或．
题型四 |ax+b|±|cx+d|=ex+f
1．解绝对值方程：．
【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）；
当时，原方程化为，解得：（舍去）；
当时，原方程化为，解得：（舍去）；
∴原方程无解．
2．解关于的方程：．
【详解】解：①当时，，解得：；
②当时，，此时；
③当时，，解得：；
综上，当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或．
3．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，
解法一：我们可以运用整体思想来解，
移项得：，，，，或．
解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：
①当时，原方程可化为，解得：，符合；
②当时，原方程可化为，解得：，符合；
原方程的解为或．
解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．
问题：结合上面阅读材料，解下列方程：
（1）解方程：；
（2）解方程：．
【详解】解：（1）移项得：，
合并得：，
两边同时除以得：，
∴，
∴或；
（2）当时，原方程可化为，解得：，符合；
当时，原方程可化为，解得：，符合；
当时，原方程可化为，解得：，不符合；
∴原方程的解为或．
4．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程．
例：解绝对值方程：．
解：分别令，，解得：，，
用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解，
①当时，原方程可化为，解得：，检验符合；
②当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解；
③当时，原方程可化为，解得：，检验符合；
综上，原方程的解为或．
阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程：
．
【详解】解：分别令，，解得：，，
用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解，
①当时，可化为，解得：，
经检验，它不在范围内，故不是原方程的解；
②当时，可化为，解得：，符合题意；
③当时，可化为，解得：，
经检验，它不在范围内，故不是原方程的解；
综上，原方程的解为．
题型五 绝对值嵌套问题
1．绝对值方程的不同实数解个数为
A．2B．4C．1D．0
【详解】解：由题意可知：
（1），
①当，，即时，
，解得：，不合题意，舍去；
②当，，即时，
，即，显然不成立；
③当，，即时，
，解得：；
（2），
④当，，即时，
，解得：，不合题意，舍去；
⑤当，，即时，
，即，显然不成立；
⑥当，，即时，
，解得：；
综上，原方程的解是：，3.5，共有2个．
故本题选：．
2．绝对值方程有 个实数解，该方程的所有解的和是 ．
【详解】解：，
，
即或1，
或，
或0.5或3.5或1.5，
或或或，
解得：或或4或3或7或0或5或2，共8个解，和为28．
故本题答案为：8，28．
3．解方程：．
【详解】解：原方程式化为或，
（1）当时，即，
由得：，（不合题意），
由得：，（符合题意）；
（2）当时，即，
由得：，（不合题意），
由得：，（符合题意）；
综上，原方程的解是或．
1．已知方程有一个负根而没有正根，则的取值范围是
A．B．C．D．且
【详解】解：方程有一个负根而没有正根，
，原方程可化为：，，，
，
，
若，原方程可化为：，，
，
，
没有正根，
不成立，
．
故本题选：．
2．方程的有理数解的个数为
A．1B．2C．3D．多于3个
【详解】解：①当时，原方程化为：，
解得：；
②当时，原方程化为：，
整理得：，
它在范围内均成立；
③当时，原方程化为：；
解得：；
④当时，原方程化为：，
解得：（舍去），
此时，方程无解；
综上，此方程有无数个解．
故本题选：．
3．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ．
【详解】解：，
，
，
，
，
或或或，
方程有三个解，
或，
或4，
，
．
故本题答案为：4．
4．若关于的方程有解，则的取值范围是 ．
【详解】解：方程有解，
方程，即，
（1）当时，即或，
①时，方程有一个解，
②，此时方程无解，
当时，方程只有一个解；
（2）当时，即，，
①时，方程有两个不相等解，
②时，方程无解，
当时，方程有两个不相等解；
（3）当时，即或，
①时，方程有一个解，
②，此时方程有两个不相等解，
当时，方程有三个解；
（4）当时，即，
①时，方程有两个不相等解，
②时，方程有两个不相等解，
当时，方程有四个不相等解．
故本题答案为：．
5．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”．
（1）已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？ ．（填“是”或“不是” ）
（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值．
（3）若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值．
【详解】解：（1）的解是，
方程的解是或，
当时，，故是“小美方程”，
故本题答案为：是；
（2）方程的解是，
一元一次方程的解是，
，
解得：；
（3）解方程得：，
，
，
，
，
整理得：，
分母不能为0，
，即，
．
解方程．
解：当时，原方程可化为：，解得：，符合题意；
当时，原方程可化为：，解得：，符合题意．
∴原方程的解为：或．