(人教A版数学必修一讲义)第4章第01讲4.1指数(知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练)专题练习(学生版+解析)

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第01讲 4.1指数 知识点01：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知识点02：根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【即学即练1】（23-24高一上·云南昭通·期末） .知识点03：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.【即学即练2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ）A． B．C． D．知识点04：有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）【即学即练3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    )A． B． C． D．题型01根式的概念 【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ）A． B． C． D．【典例2】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ）A．16的4次方根是 B．C． D．【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）化简的结果为 .【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）的运算结果是（    ）A．3 B． C． D．以上都不对【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）等于（　　）A．4 B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 .题型02根式的化简(求值) 【典例1】（23-24高一·全国·单元测试）化简的结果是（    ）A．0 B． C．0或 D．【典例2】（2024高一·上海·专题练习），则实数a的取值范围 【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）下列运算正确的是（   ）A． B．C． D．【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3).【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式：(1)（，且）；(2)．题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ．【典例3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)(2)；【变式1】（2024高一上·全国·专题练习） .【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）化简： .【变式3】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求值： ．题型04条件求值 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值．【典例3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:．（2）若，求下列式子的值：①②【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足.(1)求的值；(2)求的值.【变式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化简求值：(1)；(2)若，求的值.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．C． D．三、填空题11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 .12．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ．四、解答题13．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题：(1)求的值；(2)若，求的值．14．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求值：(1)(2)B能力提升 1．（23-24高一下·云南·期中）已知（且），则 ．（结果用表示）2．（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：（1） =                    （2）（= （3 设，则的值为 3．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）计算：.（2）化简：且.课程标准学习目标①理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简.第01讲 4.1指数 知识点01：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：，其中，2、正整数指数幂的运算法则：①（）②（，，）③（）④（）⑤（）知识点02：根式1、次根式定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.特别的：①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().③负数没有偶次方根；④的任何次方根都是，记作2、根式：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．在根式符号中，注意：①，②当为奇数时，对任意都有意义③当为偶数时，只有当时才有意义.3、与的区别：①当为奇数时，（）②当为偶数时，（）③当为奇数时，且，④为偶数时，且，【即学即练1】（23-24高一上·云南昭通·期末） .【答案】1【分析】由根式的运算性质求解即可.【详解】.故答案为：1知识点03：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.【即学即练2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案.【详解】由于，A正确，B，C错误；，由于无意义，D错误，故选：A知识点04：有理数指数幂①（，）②（，）③（，）知识点05：无理数指数幂①（，）②（，）③（，）【即学即练3】（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数的运算性质即可求得.【详解】因为，所以.故选：D.题型01根式的概念 【典例1】（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解.【详解】因为，可得，又因为，解得.故选：A.【典例2】（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）下列说法中正确的是（    ）A．16的4次方根是 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用根式的定义即可求解.【详解】对于A，令，解得，即16的4次方根是，故A正确；对于B，负数的立方根是负数，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，是非负数，所以，故D正确.故选：ACD.【典例3】（23-24高一上·江苏连云港·开学考试）化简的结果为 .【答案】【分析】根据根式的性质化简即可.【详解】.故答案为：.【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）的运算结果是（    ）A．3 B． C． D．以上都不对【答案】A【分析】直接根据指数的运算即可得结果.【详解】，故选：A.【变式2】（2023高一·江苏·专题练习）等于（　　）A．4 B． C． D． 【答案】B【分析】根据根式与分数指数幂的转化求解.【详解】.故选：B【变式3】（23-24高一上·上海静安·期中）16的8次方根是 .【答案】【分析】根据根式运算的性质求解即可【详解】16的8次方根即：，故答案为：题型02根式的化简(求值) 【典例1】（23-24高一·全国·单元测试）化简的结果是（    ）A．0 B． C．0或 D．【答案】C【分析】根据指数幂的运算化简，然后根据的大小关系讨论即可.【详解】．当时，原式；当是，原式．故选:C．【典例2】（2024高一·上海·专题练习），则实数a的取值范围 【答案】【分析】由二次根式的化简求解【详解】由题设得，，所以所以，．故答案为：【典例3】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)10(3)(4)【分析】根据根式的性质，进行化简求值，即可求得各小题答案.【详解】（1）．（2）．（3）．（4）．【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南娄底·期末）下列运算正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接借助根式的运算法则计算即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，， 故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误；故选：AC.【变式2】（2024高三下·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3).【答案】(1)1(2)0(3)【分析】（1）（2）（3）运用指数幂的性质公式求解计算即可．【详解】（1）原式.（2）原式（3）（3）原式【变式3】（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式：(1)（，且）；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】利用根式的性质求解.【详解】（1）解：当为奇数时，；当为偶数时，．（2）．当时，；当时，．题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）计算（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数运算及根式运算计算即得.【详解】.故选：C【典例2】（23-24高一上·北京·期中）求值：－＋ ＝ ．【答案】【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果.【详解】－＋ ＝故答案为：【典例3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，即可求解.【详解】（1）.（2）.【变式1】（2024高一上·全国·专题练习） .【答案】【分析】利用指数函数的运算性质计算即可.【详解】.故答案为：.【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）化简： .【答案】【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.【详解】.故答案为：【变式3】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求值： ．【答案】【分析】利用分式指数幂的运算公式，即可化简求值.【详解】原式，.故答案为：题型04条件求值 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.【详解】由，可得.故选：B.【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，求的值．【答案】2【分析】先由平方求得，再利用立方和公式展开计算，代入所求式即得.【详解】因为，所以所以，所以故【典例3】（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:．（2）若，求下列式子的值：①②【答案】（1）-1；（2）①，②.【分析】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；（2）①：由求解；②：由，结合隐含的条件即可求解.【详解】（1）原式=；（2）①：，所以；②：，由题意知，所以.【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案.【详解】将两边平方，得，即，所以.故选：A.【变式2】（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数满足.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）将两边平方得.（2）根据平方关系可得，进而结合立方差公式运算求解.【详解】（1）将两边平方得，所以.（2）因为是正实数，令，则，所以，可得，所以.【变式3】（23-24高一上·河北唐山·期中）化简求值：(1)；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指数幂的运算性质逐步计算，即可解得答案；（2）利用完全平方公式逐步计算，即可得到本题答案.【详解】（1）.（2），.A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.【详解】A选项，且，故，A错误；B选项，且，故，B错误；C选项，，C错误；D选项，且，故，D正确.故选：D3．（23-24高一上·云南昭通·期中）下列各式中正确的一项是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据幂的运算性质，逐项判断即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.4．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知，则等于（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】给平方后再开方求解即可.【详解】，所以.故选：A.5．（23-24高一上·四川德阳·阶段练习）（    ）A．110 B．109 C．108 D．100【答案】A【分析】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可.【详解】由题意可得：原式.故选：A.6．（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用根数与指数幂的运算可判断各选项的正确.【详解】对于A选项，，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．7．（23-24高一上·湖北荆州·期中）（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指数幂的运算规则化简求值.【详解】.故选：C8．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.【详解】.故选：A.二、多选题9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：AC10．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知，，则下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项.【详解】A选项：由，得，A选项正确；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项正确；故选：ABD.三、填空题11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 .【答案】/【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.【详解】.故答案为：12．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ．【答案】6【分析】两边平方求出，再利用立方和公式求出，从而求出结果.【详解】因为，所以，即，所以，所以，所以．四、解答题13．（23-24高一上·四川乐山·期中）解答以下两个小题：(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据根式与指数幂的转化，及指数幂的运算化简即可；（2）运用完全平方公式计算即可.【详解】（1）．（2）由，得，即，则有，得，即，所以．14．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）求值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】利用指数幂运算法则，结合根式与分数指数幂的互化即可得解.（2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案；（3）将平方，即可求得答案.【详解】（1）.（2）；（3）因为，.故答案为：（1）0；（2）；（3）73．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）计算：.（2）化简：且.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据指数幂的运算可得答案；（2）通分化简计算可得答案.【详解】（1）；（2）.课程标准学习目标①理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化。②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简.