浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学（实验班）试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则 （ ）
A.B.C.D.
2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知a，b都是实数，那么“eq \r(a)>eq \r(b)”是“ln a>ln b”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的图象大致为（ ）

A．B．C．D．
5.已知，则 （ ）
A.B.C.D.
6.已知，，，则的最小值为 （ ）
A. B. C.2 D. 4
7.集合，且，函数 （且），则（ ）
A.为增函数B.为减函数
C.为奇函数D.为偶函数
8.设函数。若为函数的零点，为函数
的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个最大值点，则的最大值为
（ ）
A.B.C.D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9.若，，则下列结论中总正确的是 （ ）
A.B.若，则
C.若，则D.若，则
10.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A+B2=0，则下列结论正确的是 （ ）
A.角C可以为锐角 B.a2+2b2﹣c2＝0C.tanB的最小值为33 D.3tanA+tanC＝0
11.已知函数的定义域为，，，当时，
，则 （ ）
A. B.的图象关于直线对称
C.当时， D.函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数，，若，则的最
大值为__________。
13.已知函数，若对，总使
成立，则实数的取值范围为 _______________。
14.已知平面向量满足， ，与的夹角为，，则的最大值是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）设函数的定义域为集合，函数
（）的定义域为集合。
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围。
16.（本题满分15分）在中，，，，为的三等分点（靠近点）。
（1）求的值；
（2）若点满足，求的最小值，
并求此时实数的值。
17.（本题满分15分）两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关。口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和。记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为。统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05。
（1）将表示成的函数；
（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园
对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由。
18.（本题满分17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且
。
（1）求的最小值；
（2）记的面积为，点是内一点，且，证明：
①；
②。
19.（本题满分17分）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质。已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”。
（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
（3）证明：对于的非空子集，集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”。