浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学（实验班）试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合，，则 （ D ）
A. B. C. D.
解析：由得：，则；
由得：，即，解得：或，则或，，故选：D。
2.如图，在中，设，
则 （ C ）
A.B.
C.D.
解析：因为，
所以，，
又因为，所以，
所以，故选：C。
3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是。若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是（ C ）
A.100台B.120台C.150台D.180台
解析：由题意，知总售价为万元.要使生产者不亏本，则必须满足总售价大于或等于总成本，即，即，可化为，解得或(舍去).故最低产量是150台，故选C。
4.已知幂函数，其中，若函数在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 （ A ）
A.2B.3C.4D.5
解析：因为函数为幂函数，所以，所以，
因为函数在上是单调递增的，所以，
所以，又因为，所以，1，2。
当或时，函数为奇函数，不合题意，舍去；
当时，，为偶函数，符合题意，故，所以，故选A。
5.已知向量，，则在上的投影向量为 （ B ）
A. B. C. D.
解析：方法1：，则在上的投影向量为。
方法2：由图可得，在轴上的投影数量为，则在上的投影向量，故选B。

6.已知，且，则 （ B ）
A.B.C.D.
解析：由题设，
所以，且，
故，即，
所以，故选：B。
7.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，N是边BC上的点，且BN→=NC→，O为△ABC的外心，则
AN→⋅AO→= （ B ）
A.3B.134C.92D.94
解析：因为O为△ABC的外心，故AO→⋅AB→=12AB→2=2，AO→⋅AC→=12AC→2=92，
又BN→=NC→，故N为BC的中点，故AN→=12(AB→+AC→)，
所以AN→⋅AO→=12(AB→+AC→)⋅AO→=12(AO→⋅AB→+AO→⋅AC→)=12(2+92)=134。
故选：B。
8.我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。已知函数的对称中心为，且与函数
的图象有且仅有一个交点，则k的值为 （ D ）
A.B.C.16D.22
解析：由题意可得的对称中心为等价于是奇函数，
因为
所以，解得，
所以，
因为函数的图象与有且仅有一个交点，
所以，即有且仅有一个解，
，解得，故选：D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．
9.下列说法中正确的是 （ AC ）
A.
B.若且，则
C.若、非零向量且，则
D.若，则有且只有一个实数，使得
解析：由，互为相反向量，则，故正确；
由且，可得或，故错误；
由、非零向量且，两边平方可得，
即，所以，故正确；
若且，则有且只有一个实数，使得，故错误，故选AC。
10.设函数，其中表示，，中的居中者，下列说法正确的有 （ BCD ）
A.只有一个最小值点B.值域为
C.为偶函数D.在上单调递减
解析：由已知在同一坐标系中分别画出、与的图象（虚线），根据表示，，中的居中者知函数的图象（实线）如图：
对于A，由图知当时，取到最小值，所以有两个最小值点，错误；
对于B，由图知，函数的值域为，正确；
对于C，由图知，函数的图象关于轴对称，
又函数的定义域为R关于原点对称，所以函数为偶函数，正确；
对于D，由图知，函数在上单调递减，正确，故选：BCD。
11.已知函数，则下列结论正确的是 （ BCD ）
A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递增
C.为函数的一条对称轴D. 函数在上有且仅有3个零点
解析：因为时，，
即不是函数的周期，则函数的最小正周期不是，A错误；
函数，
当时，设，此时函数为增函数，
而在上单调递增，
而可看作由和复合而成，
故函数在上单调递增，B正确；
因为，
即，所以为函数的一条对称轴，C正确；
由于，令，即，
即，即，可得或，
当时，由 可得或，
由，可得，则函数在上有且仅有3个零点，D正确，
故选：BCD。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为_________________。
答案：。
解析：由题意有，解得，
故的取值范围为。
13.已知函数，关于不等式对任意的
恒成立，则实数m的取值范围为_________________。
答案：。
解析：由于，所以为奇函数，
且由， 单调递增，故 在定义域内单调递增，
故，
因此，由于，所以 ，
因此 ，故对任意的，恒成立，
由余弦的二倍角公式可得，
所以 恒成立即可，故。
14.若实数，，，满足，则 的最大值为________。
答案：。
解析：
，
当且仅当时，等号成立，∴的最大值为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）若a，b，x，y是正实数，求证： eq \f(a2,x) ＋ eq \f(b2,y) ≥ eq \f(（a＋b）2,x＋y) ，
当且仅当ay＝bx时等号成立。
（2）求 eq \f(2,x) ＋ eq \f(25,1－2x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(1,2))) 的最小值，并求此时x的值。
解：（1）证明：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,x)＋\f(b2,y))) (x＋y)＝a2＋ eq \f(ya2,x) ＋ eq \f(xb2,y) ＋b2≥a2＋2 eq \r(\f(ya2,x)·\f(xb2,y)) ＋b2＝(a＋b)2，
所以 eq \f(a2,x) ＋ eq \f(b2,y) ≥ eq \f(（a＋b）2,x＋y) ，当且仅当 eq \f(ya2,x) ＝ eq \f(xb2,y) ，即ay＝bx时等号成立。
（2）由（1）可得， eq \f(4,2x) ＋ eq \f(25,1－2x) ＝ eq \f(22,2x) ＋ eq \f(52,1－2x) ≥ eq \f(（2＋5）2,2x＋1－2x) ＝49，
当且仅当2(1－2x)＝5·2x，即x＝ eq \f(1,7) 时等号成立，所以 eq \f(2,x) ＋ eq \f(25,1－2x) 的最小值为49，此时x＝ eq \f(1,7) 。
16.已知；
（1）求的最值； （2）是否存在的值使？
解：（1）由已知得：
,，
令,，
的。
（2）假设存在的值满足题设，即
，
，。
17.已知函数，其最小正周期与相同。
（1）求单调减区间和对称中心；
（2）若方程在区间[0，]上恰有三个实数根，分别为，求的值。
解：（1）∵的最小正周期为π，∴，∴，∴，
由，得，
由得，
综上，函数的单调递减区间为，
对称中心为。
（2）由得，设，
则有三个实根，
由正弦函数的性质可得，，
∴，，
∴。
18.设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称在定义域D上存在不动点（是的一个“不动点”）。已知函数。
（1）若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；
（2）设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围。
解：（1）由题意知，即在[0，1]上有解，
令，，则，则在[1,2]上有解，
∴，
当时，在递减，在递增，
∴，则，即。
∴实数a的取值范围为。
（2），即，
则，
又在[－1,0]上是减函数，∴，
∴。
令，，则，，
则，∵在上递增，∴.
又，∴，。
故实数a的取值范围为。
19.设，是由有限个正整数构成的集合，满足以下三个条件：
= 1 \* GB3 ①，中至少有两个元素；
= 2 \* GB3 ②对于任意，当时，都有；
= 3 \* GB3 ③对于任意，若，则，
则称集合为集合的“耦合集”。
（1）若集合，写出集合的三个“耦合集”；
（2）集合，，，且，若集合存在“耦合集”。
（ = 1 \* rman i）求证：对于任意， 有；
（ = 2 \* rman ii）求集合的“耦合集”的元素的个数。