湖南省湘潭县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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时量：120分钟 分值：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.图中的是全集，是的两个子集，则表示的阴影部分是（ ）
A. B.
C. D.
2.若命题，则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
4､函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A. B. C. D.3
6.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（ ）
A.甲方案更优惠 B.乙方案更优惠
C.甲乙一样优惠 D.无法确定
8.已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列命题中正确的是（ ）
A.任意非零实数，都有
B.当时，的最小值是3
C.当时，的最大值是5
D.若正数满足，则的最小值为3
11.定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.2为的一个周期
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知奇函数，当，那么__________.
13.已知，则的取值范围是__________.
14.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
16.（15分）已知集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
17.（15分）某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费.
（1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式；
（2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？
18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求的值；
（2）求使成立的实数的取值范围.
19.（17分）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）用定义判断在区间上的单调性；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
高一期中考试数学答案
1.C
【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.
【详解】对于A，图中阴影部分表示，故A错误；
对于B，图中阴影部分表示，故B错误；
对于C，图中阴影部分表示，故C正确；
对于D，图中阴影部分表示，故D错误.
故选：C.
2.D
【详解】命题为存在量词命题，
则该命题的否定为，
故选：D.
3.A
【详解】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意；对于B，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；
对于C，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；
对于D，“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意.
故选：A.
4.D
【详解】函数的定义域为R，且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A､B；
又当时，故排除C.
故选：D
5.A
【详解】由幂函数定义以及单调性可得
解得，此时，满足题意.
故选：A
6.B
【解析】幂函数在上单调递增，值域为，
由，则，又，所以.故选：B
7.B
8.C
【详解】因为对任意，所以，即，
构造函数，则，
所以函数是上的减函数.
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，函数图象的对称轴为直线，
当时，函数是上的减函数，符合题意；
当时，要使得函数是上的减函数，只需，
解得.
综上所述，实数的取值范围足，
故选：C.
9.BD
10.BCD
【详解】对于A，取，而，A错误；
对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，正数满足，则；，当且仅当时取等号，D正确.
11.ABD
【详解】因为，
所以函数的图象关于直线对称，
又为奇函数，
所以，
即，则函数的图象关于点对称，
则，故B正确；
所以，
，
即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误；
，故A正确；
又，所以函数
的图象关于点对称，
因此函数与的交点也关于点对称，
则.
故D正确，
12.
【详解】由为奇函数，可知，则
又当，则
故
故答案为：
13.
已知，则
由不等式的性质可得
14.
【详解】已知，则，
因为，
当且仅当时等号成立，由，解得.
故的最小值为4.
因为恒成立，
所以，即，
解得，即.
15.（1）
（2）
【详解】（1）因为的解集为，
所以而且的两根为和1，
所以，所以.
（2）因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.即.
16.（1）
（2）
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，
所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17.（1）；
（2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元；
【详解】（1）当时，年利润；
当时，；
所以.
（2）由（1）知，当时，，
所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；
当时，，
当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而，
所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元.
18.（1）
（2）.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，解得，
验证：当时，.
由题意，的定义域关于原点对称.
且任意，都有，
所以是奇函数，满足题意.
故.
（2）由（1）知，.
设，且，
则，
，
，
在上是增函数.
，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
则，
因为在上是增函数，
所以，即，解得.
故实数的取值范围是.
19.（1）
（2）函数在上单调递增
（3）.
【详解】（1）设函数的图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
可得，解得，
所以的对称中心为；
（2）函数在上单调递增；
证明如下：任取且，
则，
因为且，可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由对任意，总存在，使得，
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
①当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，故，
因为，所以，解得，
②当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时，
欲使，只需且
解不等式，可得，又，此时；
③当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以，解得，
综上可得：实数的取值范围是.