河北省承德市承德县六沟高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份河北省承德市承德县六沟高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列函数与是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列函数在定义域内是增函数的是（ ）
A． B． C．D．
4．已知都是正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．是函数在上是减函数的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．如果函数那么（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2025
8．给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-6B．2C．4D．6
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．设集合，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12．已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
13．已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围 .
14．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题13分)当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点．
(1)求的解析式； (2)求．
16．(本小题15分)已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若，中一真一假，求实数的取值范围.
17．(本小题15分)某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元．
(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
18．(本小题17分)已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)当时，，求实数m的最小值.
19．(本小题17分)已知函数的定义域为，对任意的，，都有.当时，.
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求不等式的解集.
参考答案：
1．D
【分析】根据函数的定义域、对应关系相同即可判断为同一函数.
【详解】对于A，函数的定义域为，与的定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于B，函数，与的对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，函数与的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：D．
2．D
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3．A
【分析】利用各选项中函数式直接判断单调性即可.
【详解】对于A，一次函数在定义域R上单调递增，A是；
对于B，一次函数在定义域R上单调递减，B不是；
对于C，二次函数在定义域R上不单调，C不是；
对于D，二次函数在定义域R上不单调，D不是.
故选：A
4．C
【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值.
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以的最小值为.
故选：C.
5．B
【分析】先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果.
【详解】若，则，
则函数在上不是减函数，
若函数在上是减函数，
则，即，则成立，
所以是函数在上是减函数的必要不充分条件.
故选：B.
6．A
【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案
【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立，
则，即，解得，
所以的取值范围为.
故选：A
7．B
【分析】记，，根据的定义可求的周期，根据周期性求解即可.
【详解】记，，
根据可得，
，
而，
，，
，
，
，
所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022，
.
故选：B
8．C
【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值.
【详解】由，得，解得或，
由，得，解得，
又，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以的最大值为.
故选：C.
9．BCD
【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案.
【详解】A选项，，所以A选项错误.
B选项，若，则，则，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项正确.
D选项，若，则，所以，所以D选项正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】根据集合运算、集合与集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，，，
对于A选项，，则，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，则，D错.
故选：BC.
11．AD
【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.
【详解】令，得，因为，
所以，即，故A正确；
令，得，即，
所以，所以，故B错误；
，，
所以，故C错误；
，，
，，
所以，故D正确.
故选：AD
12．
【分析】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果.
【详解】因为，，，所以利用数轴分析法，可知.
.
故答案为：.
13．
【分析】由两段都是递减，且分界点左大右小(可相等)可得．
【详解】由题意，解得．
故答案为：．
14．
【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可．
【详解】令，则问题转化为，时恒成立，
即，恒成立，
而函数，
当时，，
，即为所求．
所以的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式；
（2）根据分段函数解析式计算可得.
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以.
（2）因为，
所以，，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可；
（2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集.
【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根，
则，即，
解得：，即.
（2）当为真命题，为假命题，则，∴，
当为假命题，为真命题，则，∴，
.
17．(1)
(2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元.
【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案；
（2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论.
【详解】（1）当时，
，
当时，
，
故；
（2）当时，
，故当百台时，取得最大值，最大值为万元，
当时，
（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元.
18．(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.
【详解】（1），，
，解得，.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，，且，
则，
，，且，
，，，
，即，
所以函数在上单调递减.
（3）由（2）知在上单调递减，
函数在上的最大值为，
由知，，
所以m的最小值为.
19．(1)，证明见解析
(2)单调递减，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）令代入可得f1的值，令，可得结合已知，即可判断其符号.
（2）运用单调性定义证明，令，可得，判断其符号即可.
（3）令，可得，进而转化为，结合单调性转化为，分别讨论、、解一元二次不等式即可.
【详解】（1）因为，，都有，
所以令，得，则f1=0，
证明：因为时，，
所以当时，，则，
令，，得，
所以.
（2）在0,+∞上单调递减，证明如下：
不妨设，则，，
令，，则，
所以，
即，所以在0,+∞上单调递减；
（3）因为，令，，则，
由，得，即，
由（2）知在0,+∞上单调递减，
所以，所以，
即，则该不等式对应方程的实数根为和.
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
A
C
B
A
B
C
BCD
BC
题号
11









答案
AD