宁夏银川一中2025届高三上学期第四次月考数学试题

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命题教师：李雪娜
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 3C. D. 3i
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的定义及四则运算计算即可.
【详解】化简，得其虚部为3.
故选：B
2. 若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆锥的表面积公式计算即可.
【详解】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为，
所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为.
故选：A.
3. 已知向量，（），若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的运算规则以及向量垂直时的数量积表示即可.
【详解】因为，，所以，；
因为，，
即，解得或（舍去），
所以，；
故选：B.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以.
故.
故选：C.
5. 已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（ ）
A. B.
C. D. 无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】对于A：根据可得，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可得，即可分析判断；对于CD：根据分析数列的符号性，即可判断.
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，
则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项D：因为，且，可知，
当时，；当时，；
可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，
对于选项C：因为，
所以，故C错误；
故选：B.
6. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直B. 直线与平面平行
C. 三棱锥的体积为D. 直线BC与平面所成的角为
【答案】B
【解析】
【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可.
【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则，
对于B，设平面的法向量为，则，
令，则，
因为，所以，所以，
因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确，
对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误，
对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误，
故选：B.
7. 已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案.
【详解】因为，，
令，
则，
设，，则，
所以是奇函数，最大值为，最小值为，
则，由，解得.
故选：D.
8. 设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】，
圆心，半径，
过定点，
过定点，且⊥，
如图，设和BD中点分别F、G，则四边形为矩形，

设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故选：B.
二、多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，
而，，则，，因此，A正确；
对于B，由，，，得是平行直线或异面直线，B错误；
对于C，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，
由，得，又，则，因此，C正确；
对于D，，，，当都平行于的交线时，，D错误.
故选：AC
10. 已知直线：，圆：，以下正确的是（ ）
A. 与圆不一定存在公共点
B. 圆心到的最大距离为
C. 当与圆相交时，
D. 当时，圆上有三个点到的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断.
【详解】对于A，圆心到直线的距离为，
当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确；
对于B，因直线，即，所以直线过定点，
当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确；
对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误；
对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为，
所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确.
故选：ABD.
11. 设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A. 为偶函数B. 的图象关于原点对称
C. D. 的极小值为-3
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A正确；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，
所以图象关于原点对称，故B正确；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，
则，故C错误；
由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，
在上单调递减，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，故D正确，
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：函数对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12. 已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a=____.
【答案】0或2
【解析】
【分析】根据两直线垂直得到方程，求出或2.
【详解】两直线垂直，故，解得或2.
故答案为：或2
13. 如图所示，在棱长为6的正方体中，点分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
如图，延长相交于，连接，交于，延长相交于，
连接交于，可得截面五边形，是边长为的正方体，
且分别是棱的中点，，
截面的周长为.
故答案为：.
14. 已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点的最小距离可得，再利用平移规则和函数奇偶性可求得，根据函数在内恰有2个极值点可限定出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由，即，
可得或，
根据正弦函数图象性质可知，解得，
则；
将函数的图象向左平移个单位可得，
又为偶函数，
则，又，可得，因此；
当时，可知，
若函数在内恰有个极值点，可知，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦函数图象性质根据两零点的最小距离求得，再由平移后的函数为偶函数求得，得出函数的解析式后问题便迎刃而解.
四、解答题（共5小题，满分77分.）
15. 记是公差不为0的等差数列的前项和，，且成等比数列.
（1）求和；
（2）若，求数列的前20项和.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质可求出，再根据等差数列的通项公式和前项和公式即可求解；
（2）结合题意，由（1）的结论可得，利用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
设已知数列的公差为，则，
由，得，即，
所以或，显然不为0，所以，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，又，
，
，
所以.
16. 已知函数.
（1）求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；
（2）设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积；
（2）分析可知，参变分离可得，构建，利用导数求其最值即可.
【小问1详解】
由题意得，
则.
又因为，所以图象在点处的切线为，
与两个坐标轴的交点分别为和，
所求的封闭图形的面积为.
【小问2详解】
的定义域为0,+∞，因为在定义域内单调递减，所以，
即，
所以.
设，则.
当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，当时，ℎ′x