2024-2025学年浙江省杭州市余杭区树兰中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市余杭区树兰中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含详解），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形是常见的安全标记，其中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．1cm，3cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．3cm，6cm，7cmD．4cm，5cm，9cm
3．（3分）已知关于x的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x≤﹣1C．x≥﹣1D．x＞1
4．（3分）如图，作△ABC的BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，小明家相对于学校的位置下列描述最准确的是（ ）
A．距离学校1200米处
B．北偏东65°方向上的1200米处
C．南偏西65°方向上的1200米处
D．南偏西25°方向上的1200米处
6．（3分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120°B．105°C．60°D．45°
7．（3分）命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应边相等．其中逆命题为真命题的有几个（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（4，﹣1）B．（﹣1，﹣4）C．（2，3）D．（﹣2，2）
9．（3分）已知一个直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A．5B．2C．D．1
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，有下列结论：①△EFB是等边三角形；②；③；④AC＝8DG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）用不等式表示“x与2的差不足15”就是 ．
12．（3分）命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是： ．
13．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝ °．
14．（3分）如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB．若将点A表示为（3，30°），点B表示为（1，120°），则点C可表示为 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝5，CD＝4，则四边形ABCD的周长为 ．
16．（3分）三个非负实数a，b，c满足a+2b＝1，c＝5a+4b，则b的取值范围是 ，c的取值范围是 ．
三、解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分，共72分）
17．（6分）解下列一元一次不等式（组）．
（1）；
（2）．
18．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图．
（1）作出△ABC的角平分线AE；
（2）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB上的高的长度．
19．（8分）若方程组的解满足﹣1＜x+y＜1，求k的取值范围．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：∠BAE+∠F＝90°；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．
21．（10分）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上．
22．（10分）某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本A类书和2本B类书共需82元；购买2本A类书和1本B类书共需74元．
（1）求A，B两类书的单价；
（2）学校准备购买A，B两类书共34本，且A类书的数量不高于B类书的数量，购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝30°，则∠EDC＝ °；
②如图2，如果∠BAD＝40°，则∠EDC＝ °．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
24．（12分）如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作BC∥x轴，以BC为斜边作等腰直角△ABC，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知B（a，b），且a，b满足：（a﹣8）2+|b﹣4|＝0．
（1）求点B坐标；
（2）如图2，点D为AB的中点，连结CD，过C作CE⊥CD且CE＝CD，连接BE交AC于点N，求的值；
（3）如图3，若D点为等腰直角△ABC外部一点，∠CDB＝45°，连接DB交y轴于点E，EF平分∠CEB交CB于F．试判断∠CFE，∠CBD，∠CDB之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年浙江省杭州市余杭区树兰中学八年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：根据轴对称图形的定义，只有A选项能找到一条直线使图形沿直线翻折后，能够完全重合，是轴对称图形，其余B、C、D三选项均不能找到这样一条直线，不是轴对称图形．
故选：A．
2．【解答】解：A、∵3﹣1＜3＜3+1，
∴1cm，3cm，3cm能搭成三角形，故此选项正确，不符合题意；
B、∵4﹣3＜5＜4+3，
∴3cm，4cm，5cm能搭成三角形，故此选项正确，不符合题意；
C、∵6﹣3＜7＜6+3，
∴3cm，6cm，7cm能搭成三角形，故此选项正确，不符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴4cm，5cm，9cm不能搭成三角形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：由数轴可得不等式的解集为：x≤﹣1．
故选：B．
4．【解答】解：如图，选项A中，线段AD是BC边上的高．
故选：A．
5．【解答】解：由图形知，小明家在学校的南偏西65°方向上的1200米处，
故选：C．
6．【解答】解：如图，∠2＝90°﹣45°＝45°，
由三角形的外角性质得，∠1＝∠2+60°，
＝45°+60°，
＝105°．
故选：B．
7．【解答】解：①对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题，
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，为真命题，
③全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，为真命题，
故选：C．
8．【解答】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限，
（4，﹣1），（﹣1，﹣4），（2，3），（﹣2，2）中只有（﹣2，2）在第二象限．
故选：D．
9．【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据三角形的性质知：c＝4，
∴可得：ab＝4．
故s三角形＝ab＝2．
故选：B．
10．【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，∠A＝30°，
∴，
∴∠A＝∠DBA＝30°△BDC是等边三角形，
∴∠CDB＝∠DBC＝∠C＝60°，
又∵点F是CD的中点，
∵BF平分∠BDC，
∴∠AFB＝90°，∠DBF＝30°，BF⊥CD，
∴∠EBF＝∠DBF+∠DBA＝60°，，
∵点E是AB的中点，
∴，
∴BE＝BF，
∴△EBF是等边三角形，
故①正确；
②∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴△ADE～△ACB，
∴，
∴，
∴，
在△BCF和△ACB中，
∠C＝∠C，∠BFC＝∠ABC＝90°，
∴△BFC～△ABC且，，
，
∴，
∴，
故②正确；
③∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
又∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，
∴AE＝BF，
∴，
∵△BDC是等边三角形，点F是CD的中点，
∴∠AFB＝90°，∠DBF＝30°，BF⊥CD，
，
∴，
∴，
故③正确；
④∵点D、F分别是AC、DC的中点，
∴AC＝2DC＝4DF，
在Rt△ADE中∠A＝30°，
∴AD＝2DE，
∴DE＝DF，
又∵BE＝BF，
∴BD是EF的垂直平分线，
∴∠DGF＝90°，
又∵∠DFG＝180°﹣∠BFC﹣∠BFE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴DF＝2DG，
∴AC＝8DG，
故④正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．【解答】解：由题意可得：不等式为x﹣2＜15．
故答案为：x﹣2＜15．
12．【解答】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
13．【解答】解：设∠C＝α，则∠ABD＝∠C＝α．
∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α．
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝2α．
在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠C＝36°．
故答案为：36．
14．【解答】解：由OC平分∠AOB得：
∠AOC＝（120°﹣30°）＝45°．
由角的和差得：
OC的方向角为30°+45°＝75°，
又∵OC的长为2，
∴C点表示为（2，75°）．
故答案为：（2，75°）．
15．【解答】解：过点A做AE⊥BC交BC于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD＝5，
∵AE⊥BC，∠C＝90°，
∴AE∥CD，
∴四边形AECD为矩形，
∴AE＝CD＝4，EC＝AD＝5，
又∵AE⊥BC，即∠AEB＝90°
∴，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BE+EC+CD+AD＝22，
故答案为：22．
16．【解答】解：∵a+2b＝1，
∴a＝1﹣2b，
∵a、b是非负实数，
∴a≥0，b≥0，
∴1﹣2b≥0，
∴0≤b≤；
∵a+2b＝1，c＝5a+4b，
∴c﹣2＝（5a+4b）﹣2（a+2b）＝3a，
∴c＝3a+2，
∵c是非负实数，
∴a≥0，
∴0≤a≤1，
∴0≤3a≤3，2≤3a+2≤5，
即2≤c≤5，
故答案为：0≤b≤；2≤c≤5．
三、解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分，共72分）
17．【解答】解：（1）去分母得，3x﹣2≤4x，
移项得，3x﹣4x≤2，
合并同类项得，﹣x≤2，
化系数为1得，x≥﹣2．
（2），
由①得：x≤﹣4，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组无解．
18．【解答】解：（1）如图，线段AE即为所求．
（2）作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°
∴AB＝＝＝13，
∵•AC•BC＝•AB•CH
∴CH＝＝．
19．【解答】解：①+②得：
4x+4y＝k+4
∴x+y＝，
而﹣1＜x+y＜1
∴﹣1＜＜1，
∴﹣8＜k＜0．
20．【解答】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠FCB，
∵∠ABC＝∠F+∠FCB＝90°，
∴∠BAE+∠F＝90°．
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠CAE＝25°，
∴∠BAE＝45°﹣25°＝20°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝20°；
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝65°．
21．【解答】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，
解得m＝1，
∴2m+4＝2×1+4＝6，
m﹣1＝0，
所以，点P的坐标为（6，0）；
（2）∵点P（2m+4，m﹣1）的纵坐标比横坐标大3，
∴m﹣1﹣（2m+4）＝3，
解得m＝﹣8，
∴2m+4＝2×（﹣8）+4＝﹣12，
m﹣1＝﹣8﹣1＝﹣9，
∴点P的坐标为（﹣12，﹣9）；
（3）∵点P（2m+4，m﹣1）在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上，
∴2m+4＝2，
解得m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
22．【解答】解：（1）设A类书的单价为x元，B类书的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A类书的单价为22元，B类书的单价为30元．
（2）设购买A类书m本，则购买B类书（34﹣m）本，
依题意得：，
解得：15≤m≤17．
又∵m为正整数，
∴m可以为15，16，17，
∴该学校共有3种购买方案，
方案1：购买A类书15本，B类书19本；
方案2：购买A类书16本，B类书18本；
方案3：购买A类书17本，B类书17本．
23．【解答】解：（1）①∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°．
故答案为：15；
②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°．
故答案为：20；
（2）∠EDC＝∠BAD．
故答案为：∠EDC＝∠BAD；
（3）仍成立，理由如下
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC．
24．【解答】解：（1）∵（a﹣8）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣8＝0，b﹣4＝0，
∴a＝8，b＝4，
∴点B的坐标为（8，4）；
（2）如图，过点E作EH⊥AC于H，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECH+∠ACD＝90°，
又∵∠ECH+∠CEH＝90°，
∴∠CEH＝∠ACD，
在△ECH和△CDA中，
，
∴△ECH≌△CDA（AAS），
∴EH＝CA＝BA，CH＝AD＝AB＝AC，
∴H是AC的中点，
在△EHN和△BAN中，
，
∴△EHN≌△BAN（AAS），
∴HN＝AN＝AH＝AC，
∴CN＝AC﹣AN＝AC，
∴；
（3）2∠CFE＝2∠CDB+∠CBD．
理由如下：
设∠CFE＝α，∠CBD＝β，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣α，
又∵∠CEF＝∠FEB，
∴∠FEB＝90°﹣α，
∵∠CFE＝∠CBD+∠FEB，
∴α＝90°﹣α+β，
即2α＝90°+β，
∵∠CDB＝45°，
∴2∠CFE＝2∠CDB+∠CBD．