2024-2025学年浙江省温州二中九年级（上）期中数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年浙江省温州二中九年级（上）期中数学试卷（含详解），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知⊙O的半径为3，OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．圆外B．圆上C．圆内D．无法确定
2．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（1，﹣1）C．（1，﹣2）D．（0，﹣2）
3．（3分）“a是实数，a2≥0”这一事件是（ ）
A．不可能事件B．不确定事件
C．随机事件D．必然事件
4．（3分）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OA：OD＝2：1，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．4：1
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA，OC为边作矩形OABC．若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（2，4）D．（4，2）
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，＝70°，点C是的中点，则∠DOC＝（ ）
A．65°B．55°C．110°D．60°
7．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+2）（x﹣4）沿y轴方向平移后使抛物线经过原点，则这样的平移方向和距离是（ ）
A．向下平移4个单位B．向上平移2个单位
C．向下平移6个单位D．向上平移8个单位
8．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，该三角形的边长为6，则⊙O的半径为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝33°，将△ABC绕点A旋转α（0°＜α＜180°），旋转后的点B落在边BC上，点B的对应点为点D，连结AD，若AD是∠BAC的平分线，则α的度数为（ ）
A．36.75B．37C．38D．39
10．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a是常数，且a≠0）．当直线y＝1与抛物线有两个交点A、B，且AB≥2时，则a的取值范围为（ ）
A．0＜a≤2B．﹣2≤a＜0C．﹣2＜a＜0D．a≤﹣2
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知线段a＝4，b＝9，则线段a，b的比例中项是 ．
12．（3分）将抛物线y＝﹣x2先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ．
13．（3分）一枚质地均匀的骰子每个面上分别标着数字1，2，3，4，5，6．任意抛掷这枚骰子一次，朝上一面出现的数是偶数的概率是 ．
14．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦CD⊥AB，交AB于点E，若AE＝1，则弦CD＝ ．
15．（3分）如图，已知▱ABCD，点E为AB上一点，AE＝1，BE＝2，DE交对角线AC于点F，且∠BAC＝∠ADE，则EF＝ ．
16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，，CD的延长线交AB的延长线于点E．若∠E＝40°，则的度数为 °；若，则＝ ．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出1个球，这个球是白球的概率是．
（1）求袋子中白球的个数．
（2）随机摸出1个球后，放回，搅匀再随机摸出1个球，请利用列表或画树状图的方法求两次摸到相同颜色的小球的概率．
18．（8分）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，与y轴的交点为（0，3），与x轴的一个交点为（﹣3，0）．
（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）通过观察图象，当y≤0时，请直接写出自变量x的取值范围．
19．（8分）如图，在网格中按要求作图．
（1）在图1中以点A为旋转中心，作△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB'C'；
（2）在图2中用无刻度的直尺作出△ABC的外心O．（保留作图痕迹）
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上的点，连结AD，作∠ADE＝∠C，使边DE交AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝16，DB＝4，CD＝9，求BE的长．
21．（8分）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8．
（1）求证：；
（2）若E为AC的中点，求BE的长．
22．（10分）某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套．
（1）设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示）
（2）设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？
（3）临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（m＞0），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值．
23．（10分）如图，直线y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B两点．
（1）请直接写出这条抛物线的函数表达式 ．
（2）设抛物线在第四象限上有一个点P，连结OP交AB于点G，若OG：PG＝3：1，求点P横坐标．
（3）将此抛物线向右平移m个单位，当3≤x≤5时，函数的最小值为﹣1，求m的值．
24．（12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，，AD＝AE＝2．
（1）如图1所示，点O为△ADE的外接圆圆心，
①当△ADE的外接圆半径等于2时，∠DAE的度数是 °．
②如图2所示，若△ADE外接圆圆心O又恰好落在∠ABC的平分线上，求△ADE外接圆的半径长．
（2）如图3所示，如果点M在边BC上，连结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝5，且CD2＝DM•DN，直接写出边CD的长．
2024-2025学年浙江省温州二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵⊙O的半径是3，OP的长为2，3＞2，
∴点P在圆内．
故选：C．
2．【解答】解：由题意，将x＝0代入函数解析式得，y＝﹣2．
∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．
故选：D．
3．【解答】解：a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．
故选：D．
4．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积与△DEF面积之比＝（）2＝（）2＝．
故选：D．
5．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2），
∴OA＝4，OC＝2，
∵四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝4，
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OC′＝OC＝2，B′C′＝BC＝4，
∴点B′的坐标为（2，4）．
故选：C．
6．【解答】解：∵＝70°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°，
∵点C是的中点，
∴＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝∠DOB＝55°，
故选：B．
7．【解答】解：y＝（x+2）（x﹣4）＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
由一般式可知，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），由顶点式可知抛物线对称轴为直线x＝1，开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴将抛物线y＝（x+2）（x﹣4）沿y轴方向平移后使抛物线经过原点，则这样的平移方向和距离是：向上平移8个单位．
故选：D．
8．【解答】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB，
∴D为AB的中点，又AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°，又OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
设OD＝x，则OA＝2x，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD2+OD2＝OA2，即9+x2＝（2x）2，
整理得：x2＝3，
解得：x＝（负值舍去），
则圆的半径为2，
故选：A．
9．【解答】解：∵∠BAD＝α，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝α，∠BAC＝2α，
由旋转性质可知，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠C＝33°，
∴∠ADB＝33°+α．
在△ABC中，∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，
∴33°+33°+α+2α＝180°，
解得：＝38°．
故选：C．
10．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a是常数，且a≠0），
∴对称轴为直线x＝1，顶点为（1，3），
∵直线y＝1与抛物线有两个交点A、B，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，且AB≥2，
∴抛物线与y轴的坐标不在（0，1）的下方，
令x＝0，则y＝a（x﹣1）2+3＝a+3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，a+3），
∴a+3≥1，
解得a≥﹣2，
∴a的取值范围为﹣2≤a＜0．
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：设线段a、b的比例中项为x，
则x2＝ab，
即x2＝4×9，
解得x＝6或x＝﹣6＜0（舍去）．
故答案为：6．
12．【解答】解：由“左加右减”规律得到知，所求的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1，
13．【解答】解：在1，2，3，4，5，6中，偶数有3个，
故任意抛掷这枚骰子一次，朝上一面出现的数是偶数的概率是＝，
故答案为：．
14．【解答】解：连接OC，
∵直径AB＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵AE＝1，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
∵弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝＝，
∴CD＝2CE＝2，
故答案为：2．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∵AE＝1，BE＝2，
∴AB＝CD＝3，
∴＝＝，
设EF＝x，则DF＝3x，DE＝4x，
∵∠EAF＝∠ADE，∠AEF＝∠AED，
∴△AEF∽△DEA，
∴＝，
∴AE2＝EF•ED，
∴1＝x•4x，
∴x＝（负根已经舍去），
∴EF＝，
故答案为：．
16．【解答】解：连接OC，OD，过点O作OF⊥CE于F，过点E作EH∥OD交FO的延长线于H，如图所示：

∵AB是半圆O的直径，，
∴∠COD＝2∠DOB，
∵OC＝OD，
∴∠COD＝2∠FOD，
∴∠FOD＝∠DOB，
∴∠FOB＝2∠DOB＝∠COD，
在Rt△OEF中，∠E＝40°，
∴∠FOB＝50°，
∴∠COD＝50°，
∴弧CD的度数为50°；
∵，
设CD＝6a，DE＝5a，则FE＝FD+DE＝8a，a＞0，
∵OC＝OD，OF⊥CE，
∴CF＝DF＝CD＝3a，
∴＝，
∵EH∥OD，
∴∠FOD＝∠H，∠DOB＝∠OEH，
∵∠FOD＝∠DOB，
∴∠H＝∠OEH，
∴OH＝OE，
∵EH∥OD，
∴＝＝，
∴设OF＝3x，OH＝OE＝5x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2﹣OF2＝FE2，
∴（5x）2﹣（3x）2＝（8a）2，
解得：x＝2a，或x＝﹣2a（不合题意，舍去），
∴OF＝3x＝6a，OE＝5x＝10a，
在Rt△OFD中，由勾股定理得：OD＝＝＝，
∴OD＝OB＝，AB＝2OD＝，
∴BE＝OE﹣OB＝，
∴＝＝．
故答案为：50；．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．【解答】解：（1）设白球有x个，
＝，
解得x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解，
即白球有1个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两次摸到的小球颜色相同的小球的结果数为5，
所以两次摸到的小球颜色不同的概率为．
18．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣3，0）．
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把（0，3）代入得3＝a×3×（﹣1），
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
（2）当y≤0时，自变量x的取值范围为x≤﹣3或x≥1．
19．【解答】解：（1）如图1，△AB'C'即为所求．
（2）如图2，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，
则点O即为所求．
20．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠C+∠CAD，∠ADE＝∠C，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）∵△BDE∽△CAD，
∵＝，
∵AC＝AB＝16，DB＝4，CD＝9，
∴＝，
∴BE＝．
21．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，
∴＝；
（2）解：∵BD＝8，
∴AC＝8，
∵E为AC的中点，
∴OB⊥AC，AE＝AC＝4，
∴OE＝＝＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．
22．【解答】解：（1）由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套，
∴日销售量为y＝250﹣10（x﹣25）＝500﹣10x，即y＝500﹣10x．
故答案为：500﹣10x．
（2）由题意，∵日销售量为y＝500﹣10x，
∴销售该文具的日利润为w＝（x﹣20）（500﹣10x）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，w取最大值，最大值为2250．
答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元．
（3）由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套，
∴．
∴30≤x≤34．
又此时日销量利润w＝（500﹣10x）（x﹣20﹣m）
＝﹣10x2+（10m+700）x﹣10000﹣500m，
∴对称轴为直线x＝m+35＞35．
∵﹣10＜0，
∴当x≤35时，w随x的增大而增大，
∴当x＝34时，w有最大值，
∴（500﹣10×34）（34﹣20﹣m）＝2112，
∴m＝0.8．
23．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于B，A两点，则点B，A的坐标分别为：（3，0）、（0，﹣3），
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，
将点B的坐标代入上式得：9+3b﹣3＝0，则b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
故答案为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），
则PH＝﹣x2+3x，
∵PH∥y轴，则△PGH∽△OGA，
则OG：PG＝OA：PH＝3：PH＝3：1，
则PH＝1＝﹣x2+3x，
解得：x＝（不合题意的值已舍去），
即点P横坐标为：；
（3）平移后的抛物线表达式为：y＝（x﹣1﹣m）2﹣4，
当x＝3时，y＝（x﹣1﹣m）2﹣4＝（2﹣m）2﹣4，当x＝5时，同理可得：y＝（4﹣m）2﹣4，
当m+1≥5时（m≥4），
则x＝5时，函数取得最小值，即＝（4﹣m）2﹣4＝﹣1，
解得：m＝4+（不合题意的值已舍去），
当m≤2时，
同理可得：当x＝3时，y＝（2﹣m）2﹣4＝﹣1，
解得：m＝2﹣（不合题意的值已舍去），
综上，m＝4+或2﹣．
24．【解答】解：（1）①连接OD、OE，
则DO＝OE＝DA＝AE＝2，
则△OAD、△AEO均为等边三角形，
则∠DAO＝∠EAO＝60°，
则∠ADE＝∠DAO+∠EAO＝120°，
故答案为：120；
②记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE．
∵点O为△ADE外接圆的圆心，
∴OA＝OE＝OD，
∴AF＝EF＝AE＝1，
∵AE＝AB，
∴AB＝3，
∵AE＝AD，OE＝OD，OA＝OA，
∴△AOE≌△AOD（SSS），
∴∠EAO＝∠DAO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OF⊥AE，
∴∠AFO＝∠AOB＝90°，
∵∠FAO＝∠OAB，
∴△FAO∽△OAB，
∴OA：OB＝AF：AO，
即AO2＝AF•AB＝3，
∴AO＝，
∴△ADE外接圆半径为；
（2）延长BA，CD交于点P，
∵AD＝AE＝2，，
∴AB＝3，
∵AD∥BC，BC＝5，
∴AP：BP＝AD：BC＝2：5，
∴AP＝2＝AD＝AE，
∵BE＝AB﹣AE＝1，PE＝AE+AP＝4，
∴BE＝PB，
∵CD2＝DM•DN，
∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠DMC＝∠CEM，
∴EM∥CD，
∴BM＝CB＝1，
∴CM＝4，MB＝1，
∵BP＝BC＝5，
∴∠P＝∠DCM，
∵∠ECP＝∠DMC，
∴△ECP∽△DMC，
∴EP：CD＝CP：CM，
设DP＝2a，则CD＝3a，CP＝5a，
∴＝，
解得a＝，
∴CD＝．