初中数学北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定学案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册3 正方形的性质与判定学案设计，共5页。学案主要包含了教学目标，教学重难点，导学过程，创设情景，引入新课，自主探究，课堂探究，当堂训练等内容，欢迎下载使用。
知识与技能
能进一步理解掌握正方形的判定定理．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
过程与方法
1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．
2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．
3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
情感、态度与价值观
1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性．
2．体会数学与生活的联系．
【教学重难点】
教学重点 特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用．
教学难点
特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用．
【导学过程】
【创设情景，引入新课】
回顾正方形有哪些性质
【自主探究】
： 自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用 ．
Ⅱ． 解决问题：
下面大家来猜一猜，想一想
依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．
依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°，
AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．
∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
【课堂探究】
已知:如图,点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF= BG= CH= DE。
求证：四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，
AB＝BC＝CD＝DA．
又∵AF= BG= CH= DE ，
∴AE＝DH＝CG＝BF ．
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE．
∴EF＝FG＝GH=HE ，∠AEF=∠BFG．
∵∠AFE+ ∠AEF ＝90°，
∴∠AFE+∠BFG = 90°．
∴∠EFG＝90°．
∴四边形EFGH是正方形．
接下来我们来做一做：在下图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决．
解：∵△XAD是等边三角形，
∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，
XA=AD=XD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD＝DC．
∴∠XAB=∠XDC＝150°，
XA=AB，XD＝CD．
∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．
∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．
随堂练习1 2．
【当堂训练】
随堂练习1 2．
如图1、图2、图3，已知直线EF⊥MN，且与正方形ABCD的对边或其延长线分别交于E、F、M、N．
求证：EF＝MN，
图3
证明：只给出图2情况下的证明，图1、图3情况下的证明同理．
过A作MN的平行线，交BC于点P，过B作EF的平行线，交CD于点Q．由平行四边形的性质，得AP＝MN，BQ＝EF．[
∵MN//AP，EF//BQ，MN⊥EF，
∴AP⊥BQ．
∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°．
∴∠QDC=∠BAP．
又∵AB=BC，
∴Rt△APB≌Rt△BFC．
∴AP＝BQ，即MN＝EF．
这是正方形的一个重要的性质定理．