辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（一）

这是一份辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（一），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE＝（ ）度．
A．90B．108C．120D．135
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣6，2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣6，﹣2）B．（6，2）C．（2，﹣6）D．（6，﹣2）
4．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A．BF＝CEB．AC∥DFC．∠B＝∠ED．AB＝DE
5．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．7cmB．9cm
C．12cm或者9cmD．12cm
6．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
7．（3分）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两点确定一条直线
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝34°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
9．（3分）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点
D．三边上高的交点
10．（3分）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE的长为（ ）
A．2cmB． cmC． cmD．3cm
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若S△ABC＝12，则PE+PD＝ ．
12．（3分）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ．
14．（3分）如图，亮亮想测量某湖A，B两点之间的距离，他选取了可以直接到达点A，B的一点C，连接CA，CB，并作BD∥AC，截取BD＝AC，连接CD，他说，根据三角形全等的判定定理，可得△ABC≌△DCB，所以AB＝CD，他用到三角形全等的判定定理是 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝4，点D在线段BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则AE+EF的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DF．求证：∠B＝∠DEF．
17．学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．
请你根据以上方案求出A、B两点间的距离AB．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ．
19．图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长．
20．如图，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一点，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示线段BD、CD、AC的数量关系，并证明．
21．已知：如图，AC∥BD，请先作图再解决问题．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
①作BE平分∠ABD交AC于点E；
②在BA的延长线上截取AF＝BA，连接EF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
22．已知：在△ABC中，D是BC的中点．
【问题解决】
（1）如图1，若AB＝6，AC＝4，求AD的取值范围．
小明的做法是：延长AD至点M，使AD＝MD，连接BE，证明△ACD≌△MBD，小明判定全等的依据为： ．
【类比探究】
（2）如图2，在BC的延长线上存在点M，∠BAC＝∠BCA，CM＝AB，求证：AM＝2AD．
【变式迁移】
（3）如图3，∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，试探究线段AD与MN的关系，并证明．
23．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
【模型探究】
已知，在△ABC中，AB＝BC，点P是△ABC外部一点，过点P作射线AE．
（1）如图1，若△ABC是等边三角形，AE经过∠BAC内部，∠BPA＝60°，求证：∠APC＝60°．
小宁的做法是：在AE上截取BQ＝BP，构造“手拉手模型”，得出结论．
请你帮助小宁完成证明：
【模型应用】
（2）如图2，已知∠BAC＝∠BPA＝30°．当AE经过∠BAC内，求∠APC的度数．
【拓展提高】
（3）如图3，已知∠BAC＝∠BPA＝30°．当AE在AC下方，求∠APC的度数．
2024-2025学年辽宁省大连市名校联盟八年级（上）月考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．【分析】根据正五边形的性质得出正五边形内角的度数即可得到结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴其每个内角为108°，
∴∠BAE＝108°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，图形的折叠问题，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
3．【分析】根据关于x轴对称的两个点的坐标特点解答即可．
【解答】解：点P（﹣6，2）关于x轴的对称点的坐标是（﹣6，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于x轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键．
4．【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；
B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
5．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
∴其周长是12cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．【分析】证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，即可解决问题．
【解答】解：∵∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA，
∵∠BDO＝∠OEC＝90°，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠COE＝∠OBD，
在△OBD和△COE中，
，
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，
∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m），
即小丽距离地面的高度是1.4m，
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
8．【分析】根据垂直平分线的性质得出AD＝CD，根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C＝34°，根据三角形内角和求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，最后根据∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC求出结果即可．
【解答】解：根据作图可知，MN垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝34°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝84°﹣34°＝50°，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据作图得出MN垂直平分AC．
9．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可．
【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可得到DE．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，
解得：DE＝（cm）．
故选：C．
【点评】此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】连接AP，先分别求出S△ABP＝2PE，S△APC＝2PD，再根据S△ABC＝S△ABP+S△APC＝12可求出PE+PD的值．
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵AB＝AC＝4，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴S△ABP＝AB•PE＝×4×PE＝2PE，S△APC＝AC•PD＝×4×PD＝2PD，
又∵S△ABC＝12，
∴S△ABP+S△APC＝12，
∴2PE+2PD＝12，
∴PE+PD＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．
12．【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm．
【解答】解：过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM＝PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP＝∠NOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠NOP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC＝5﹣2＝3（cm），
∴OC的长度是3cm．
故答案为：3cm．
【点评】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，关键是角平分线性质定理的逆定理证明PO平分∠AOB．
13．【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
【解答】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
14．【分析】首先根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ACB＝∠DBC，再利用“SAS”证明△ACB≌△DBC，即可获得答案．
【解答】解：∵BD∥AC，
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠ACB＝∠DBC，
在△ACB与△DBC中，
，
∴△ACB≌△DBC（SAS），
∴AB＝CD，
故答案为：SAS．
【点评】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
15．【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，据此得出∠ABD＝∠ACE，作点A关于CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF＝FM，证明△ACM是等边三角形，得出FM＝FB＝4，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于CE的对称点M，连接FM交CE于E′，
此时AE+EF的值最小，此时AE+EF＝FM，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM＝FB＝4，
∴AE+EF的最小值是FM＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是轴对称的性质﹣最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．【分析】根据BE＝CF得到BE+EC＝EC+CF即BC＝FE，之后利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE即可得到答案．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
即BC＝FE．
∵∠A＝∠D＝90°，
则在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
∴∠B＝∠DEF．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
17．【分析】根据AAS证明△ACD≌△ECB得出AC＝CE，即可推出结果．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠CAD＝∠BEC，
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（AAS），
∴AC＝CE，
又∵CB＝CD，
∴AB＝DE＝30米．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．【分析】（1）关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B，与x轴交于点P，连接AP，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，
∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点P即为所求，
点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19．【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论；
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式作答即可．
【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS）．
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC．
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PG＝PQ＝6．
∵S△ABC＝S△ABP+S△APC＝AB•PQ+AC•PG，
∴AB×6+×9×6＝60．
∴AB＝11．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．【分析】延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，可得△ABE是等边三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解题．
【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延长BD至E，使BE＝AB，连接AE、CE，
∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB，∠AEB＝60°，
∵AB＝AC，
∴AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，
即∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝CD，
∴BE＝BD+DE＝BD+CD，
∴AC＝BE＝BD+CD．
【点评】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了等腰三角形的性质，本题中求证CD＝DE是解题的关键．
21．【分析】（1）①作BE平分∠ABD交AC于点E即可；
②在BA的延长线上截取AF＝BA，连接EF；
（2）根据角平分线的性质可得出∠ABE＝∠EBD，再由平行线的性质可知∠EBD＝∠AEB，故可得出AE＝AB，再由AB＝AF可知AE＝AF，进而可得出结论．
【解答】解：（1）①如图，点E即为所求；
②如图，AF，EF即为所求；
（2）∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠EBD．
∵AC∥BD，
∴∠EBD＝∠AEB，
∴AE＝AB．
∵AB＝AF＝AF，
∴AE＝AF，
∴△BEF是直角三角形．
【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知角平分线的作法与平行线的性质是解答此题的关键．
22．【分析】（1）利用SAS证明△ADC≌△MDB；
（2）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，根据SAS证△ADC≌△EDB，推出BE＝AC，∠BCA＝∠EBD，根据∠BAC＝∠BCA，推出∠ACM＝∠EBA，根据全等三角形的判定与性质求出即可．
（3）在AD的延长线上截取DH＝AD，连接CH，则AH＝2AD，先证明△CDH≌△BDA得到CH＝AB和∠AHC＝∠BAM，进一步证明CH＝AM、∠AHC＝90°和∠NAM＝∠ACH，再证明△NAM≌△ACH得到MN＝AH和∠AMN＝∠AHC＝90°，即可求解．
【解答】（1）解：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴小明判定全等的依据为SAS，
故答案为：SAS；
（2）证明：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，如图2，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，∠BCA＝∠EBD，
∵∠BAC＝∠BCA，∠ACM＝∠ABC+∠BAC，∠EBA＝∠EBD+∠ABD，
∴∠ACM＝∠EBA，
在△ACM和△EBA中，
，
∴△ACM≌△EBA（SAS），
∴AM＝AE＝2AD；
（3）解：MN＝2AD，MN⊥AD；
证明：如图3，在AD的延长线上截取DH＝AD，连接CH，
则AH＝2AD，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD，
∴△CDH≌△BDA（SAS），
∴CH＝AB，∠AHC＝∠BAE，
∵AB＝AM，∠BAH＝90°，
∴CH＝AM，∠AHC＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，
∵∠NAC＝90°，
∴∠NAM+∠CAH＝90°，
∴∠NAM＝∠ACH，
∴△NAM≌△ACH（SAS），
∴MN＝AH，∠AMN＝∠AHC＝90°，
∴MN＝2AD，MN⊥AD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形的三边关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
23．【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到△BPQ是等边三角形，进而得到∠ABQ＝∠CBP，根据SAS证明△ABQ≌△CBP，根据全等三角形的性质得到∠BPC＝∠BQA＝120°，得到答案；
（2）在AE上取一点M，BM＝BP，证明△BAM≌△BCP，得到∠BPC＝150°，可求出答案；
（3）在PA延长线上取一点M，使得BM＝BP，同理证明△BAM≌△BCP，求出∠BPC＝∠M＝30°，进而求出∠APC．
【解答】（1）证明：△ABC是等边三角形，AE经过∠BAC内部，∠BPA＝60°，如图1，在AE上取一点Q，使BQ＝BP，
∴△BPQ是等边三角形，∠ABC＝60°，
∴∠QBP＝∠BPQ＝∠BQP＝60°，
∴∠ABC＝∠QBP，
∴∠ABC﹣∠QBC＝∠PBQ﹣∠QBC，即∠ABQ＝∠CBP，
在△BAQ和△BCP中，
，
∴△BAQ≌△BCP（SAS），
∴∠BPC＝∠AQB＝180°﹣∠BQP＝180°﹣60°＝120°，
∴∠APC＝∠BPC﹣∠BPQ＝120°﹣60°＝60°；
（2）解：已知∠BAC＝∠BPA＝30°，AB＝BC，当AE经过∠BAC内，如图2，在AE上取一点M，BM＝BP，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠BMP＝∠BPM＝30°，
∴∠ABC＝∠MBP＝120°，
∴∠ABM＝∠CBP，
在△ABM和△CBP中，
，
∴△ABM≌△CBP（SAS），
∴∠BPC＝∠BMA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠APC＝150°﹣30°＝120°；
（3）解：如图3．在PA延长线上取一点M，使得BM＝BP，
∵∠BAC＝∠BPA＝30°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠BMP＝∠BPM＝30°，
∴∠ABC＝∠MBP＝120°，
∴∠ABM＝∠CBP，
在△ABM和△CBP中，
，
∴△ABM≌△CBP（SAS），
∴∠BPC＝∠M＝30°，
∴∠APC＝∠BPM+∠BPC＝30°+30°＝60°．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
课题
测量河两岸A、B两点间距离
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图

测量步骤
①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且CD＝BC；
②测得∠DCB＝100°，∠ADC＝65°；
③在CD的延长线上取点E，使得∠BEC＝15°；
④测得DE的长度为30米.