黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在△ABC中，∠ABC＝30°，，BC＝3，则＝（ ）
A．3B．C．﹣3D．
2．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a9＝14，a6a7＝63，则S7＝（ ）
A．21B．19C．12D．42
3．（5分）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（ ）
A．6B．C．24D．44
4．（5分）如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．点P必在平面ABD内
B．点P必在平面CBD内
C．点P必在直线BD上
D．直线FG与直线BD为异面直线
5．（5分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
根据这些数据，要得到函数y＝Asinωx的图象，需要将函数f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
6．（5分）已知函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
7．（5分）已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝2n+1，若数列的前n项的和为Tn，则的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题（每题6分，共18分）
（多选）9．（6分）已知向量，，满足，则（ ）
A．
B．当时，4m+n＝1
C．当时，m+2n＝2
D．在上的投影向量的坐标为
（多选）10．（6分）数列{an}满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则{bₙ}前n项和为
B．
C．数列的前n项和为（﹣1）n•n
D．数列最大项为第10项
（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
B．若（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），则ABC是等腰三角形
C．若D在线段AB上，且，则△ABC的面积为8
D．若，动点D在△ABC所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为
三、填空题（每题5分，共15分）
12．（5分）若，则|z|＝ ．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则an＝ ．
14．（5分）若函数f（x）的图象上存在两点P，Q关于y轴对称，则点对[P，Q]称为f（x）的“比肩点对”（点对[P，Q]与[Q，P]视为同一个“比肩点对”）．若函数f（x）＝恰有4个“比肩点对”，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分）
15．（13分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f（x）＝mx3+nx2﹣9x﹣13的图象的对称中心为（﹣1，﹣2）．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的零点个数．
16．（15分）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的对称中心和单调递减区间；
（3）若，求的值．
17．（15分）已知数列{an}对于任意n∈N+都有．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设数列前n项和为Sn求Sn．
（3）证明：．
18．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）求A取值的范围；
（2）若a＝2，求△ABC周长的最大值；
（3）若b＝2，A＝2B，求△ABC的面积．
19．（17分）已知函数，g（x）＝f（x）+ax．
（1）若g（x）在x＝0处取得极值，讨论g（x）的单调性；
（2）设曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（0＜m＜2）处的切线为l，证明：除点P外，曲线段y＝f（x）（0≤x≤2）总在l的下方；
（3）设，证明：．
2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（5分）在△ABC中，∠ABC＝30°，，BC＝3，则＝（ ）
A．3B．C．﹣3D．
【分析】结合平面向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：∠ABC＝30°，，BC＝3，
则＝﹣＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
2．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a9＝14，a6a7＝63，则S7＝（ ）
A．21B．19C．12D．42
【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解．
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a3+a9＝2a6＝14，即a6＝7，
，
故公差d＝a7﹣a6＝2，∴a1＝a6﹣5d＝﹣3，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
3．（5分）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（ ）
A．6B．C．24D．44
【分析】由棱台的侧面积公式计算可得所求值．
【解答】解：∵正四棱台的侧面为等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为，
∴侧面梯形的斜高为h'＝＝2，
∴棱台的侧面积为S＝（a+b）h'＝4×（2+4）×2＝24．
故选：C．
【点评】本题考查棱台的侧面积公式的运用，是基础题．
4．（5分）如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．点P必在平面ABD内
B．点P必在平面CBD内
C．点P必在直线BD上
D．直线FG与直线BD为异面直线
【分析】根据平面基本事实2和3，分析空间两条直线的位置关系即可．
【解答】解析：因为直线EH在平面ABD内，且P∈EH，所以点P必在平面ABD内，故A正确；
同理直线FG在平面CBD内，且P∈FG，所以点P必在平面CBD内，故B正确；
由A，B选项得点P在平面ABD内，也在平面CBD内，由基本事实3得点P在交线BD上，故C正确；
直线FG与直线BD为相交直线，故D不正确．
故选：D．
【点评】本题考查平面基本事实2和3，考查空间两条直线的位置关系，考查学生推理论证和空间想象能力，属于基础题．
5．（5分）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
根据这些数据，要得到函数y＝Asinωx的图象，需要将函数f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【分析】由最值求解A，由周期求ω，由最值点求φ，进而可求函数解析式，然后结合函数图象的平移可求．
【解答】解：由题意得，A＝5，＝，
所以T＝π，ω＝2，f（x）＝5sin（2x+φ），
又根据五点作图法可知，2×+φ＝，
所以φ＝﹣，f（x）＝5sin（2x﹣），
要得到函数y＝5sin2x的图象，只要把f（x）的图象向左平移各单位，
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用五点作图法求解函数解析式，还考查了函数图象的平移，属于基础题．
6．（5分）已知函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
【分析】根据题意，先判断函数的奇偶性单调性，由此可得a+2b＝1，再由基本不等式求最值即可．
【解答】解：根据题意，，其定义域为R，
又，
所以f（x）为奇函数，
函数y＝ex在R上为增函数，分析可得f（x）在R上单调递减，
又f（a）+f（2b﹣1）＝0，变形可得f（a）＝﹣f（2b﹣1）＝f（1﹣2b），
则有a＝1﹣2b，即a+2b＝1，
，当且仅当即时等号成立．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，涉及基本不等式的性质和应用，属于基础题．
7．（5分）已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值．
【解答】解：因为均为单位向量，所以，
因为，
所以，
所以
＝，
当时，取得最小值，为．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，模的求法，属于中档题．
8．（5分）数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝2n+1，若数列的前n项的和为Tn，则的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据已知条件得an＝n，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解．
【解答】解：数列{an}满足a1＝1，an+1+an＝2n+1①，
当n＝1时，a2+a1＝3，即a2＝2，
当n≥2时，an+2+an+1＝2n+3②，
由②﹣①得an+2﹣an＝2，
数列{an}的所有奇数项，a2n﹣1＝a1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
数列{an}的所有偶数项，a2n＝a2+2（n﹣1）＝2n，
综上，数列{an}的通项公式为an＝n．
记，
所以数列{bn}的前n项和为：
Tn＝b1+b2+b3+...+bn
＝
＝＝，
由得，即（n+1）×2n＞2024，
因为（n+1）×2n，n∈N*随着n的增大而增大，
故当n＝8时，刚好满足（n+1）×2n＞2024，
所以，n的最小值为8．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二、多选题（每题6分，共18分）
（多选）9．（6分）已知向量，，满足，则（ ）
A．
B．当时，4m+n＝1
C．当时，m+2n＝2
D．在上的投影向量的坐标为
【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据向量的投影向量的概念判断D．
【解答】解：，，
则，所以，故A错误；
对B，当时，﹣（n﹣1）＝2•2m，即4m+n＝1，故B正确；
对C，：，，
则，由，得，
即2m+4（n﹣1）＝0，即m+2n＝2，故C正确；
对D，在上的投影向量为，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，考查向量的坐标运算，属基础题．
（多选）10．（6分）数列{an}满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则{bₙ}前n项和为
B．
C．数列的前n项和为（﹣1）n•n
D．数列最大项为第10项
【分析】由数列的递推式推得﹣＝2，由等差数列的通项公式可得＝2n﹣1，由等差数列和等比数列的求和公式，可判断AB；对n讨论奇数和偶数，计算可判断C；由数列的单调性可判断D．
【解答】解：数列{an}满足，
可得+2﹣＝0，即得﹣＝2，
可得{}是首项为1，公差为2的等差数列，即有＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
可得bn＝32n﹣1，{bn}是首项为3，公比为9的等比数列，可得{bn}前n项和为＝，故A正确；
++...+＝（2n﹣1）（1+4n﹣3）＝4n2﹣4n+1，而＝（2n+1）（2n﹣1）＝4n2﹣1，故B错误；
由＝（﹣1）n•（2n﹣1），当n为偶数时，数列的前n项和为﹣1+3﹣5+7﹣...﹣（2n﹣3）+（2n﹣1）＝2×＝n；
当n为奇数时，数列的前n项和为n﹣1﹣（2n﹣1）＝﹣n，即有数列的前n项和为（﹣1）n•n，故C正确；
由数列，设cn＝（2n﹣1）•0.9n，＝＝，
可得1≤n≤9时，cn+1＞cn，当n≥10时，cn+1＜cn，即有c1＜c2＜c3＜...＜c10＞c11＞c12＞...，
则{cn}中的最大项为第10项，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B
B．若（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），则ABC是等腰三角形
C．若D在线段AB上，且，则△ABC的面积为8
D．若，动点D在△ABC所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为
【分析】根据正弦定理判断出A项的正误；根据三角恒等变换公式与正弦定理，化简（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），得出A＝B或，从而判断出B项的正误；设CD＝x，CB＝2x，在△BCD中利用余弦定理，求得，可得CB、CD的长度，然后计算出csB和AC，结合三角形的面积公式判定出C项的正误；根据题意得到点D在以BC为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质算出轨迹的长度，即可判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，设△ABC的外接圆半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，
即a＞b，可知A＞B成立，故A项正确；
对于B，若（a2+b2）sin（A﹣B）＝（a2﹣b2）sin（A+B），
则（a2+b2）（sinAcsB﹣csAsinB）＝（a2﹣b2）（sinAcsB+csAsinB），
整理得2a2sinBcsA＝2b2sinAcsB，结合正弦定理得sin2AsinBcsA＝sin2BsinAcsB，
因为sinAsinB≠0，所以化简得2sinAcsA＝2sinBcsB，即sin2A＝sin2B，
因为A、B∈（0，π），所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B项不正确；
对于C，由，可得（舍负），
点D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，CB＝2CD，
在△BCD中，设CD＝x，CB＝2x，可得，
整理得，解得或（舍去），所以，
在△BCD中，，
在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2×AB•BCcsB，
＝，解得．
所以△ABC的面积为，故C项正确；
对于D中，因为，，所以点D在以BC为弦的一个圆上，
由正弦定理，可得△BCD外接圆的直径为，即R＝2．
如图所示，当D在△ABC外部时，由可得，所以．
此时的长度为；
当点在△ABC内部时，同样的方法求得D点所在的弧长也是．
综上所述，动点D的轨迹的长度为，故D项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式及其应用、弧长公式与动点轨迹的求法等知识，属于中档题．
三、填空题（每题5分，共15分）
12．（5分）若，则|z|＝ ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：，
则z＝（z﹣1）（1+i）＝z+zi﹣1﹣i，即z＝，
故|z|＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的模，以及复数的四则运算，属于基础题．
13．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则an＝ ．
【分析】首先由等差数列的定义可得数列{}是首项为1，公比为3的等比数列，再由等差数列的通项公式和数列的通项与求和的关系，可得所求．
【解答】解：由，
可得数列{}是首项为1，公比为3的等比数列，
则＝3n﹣1，
即Sn＝9n﹣1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝9n﹣1﹣9n﹣2＝8×9n﹣2，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，以及等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14．（5分）若函数f（x）的图象上存在两点P，Q关于y轴对称，则点对[P，Q]称为f（x）的“比肩点对”（点对[P，Q]与[Q，P]视为同一个“比肩点对”）．若函数f（x）＝恰有4个“比肩点对”，则实数a的取值范围是 （1﹣3ln2，﹣1） ．
【分析】原题条件等价于方程f（x）＝f（﹣x）在x＞0时有4个不同的实数根，显然x＝1是该方程的根，进一步等价于当x＞0且x≠1时，方程有3个根，从而可以构造函数，利用导数研究函数的性态，画出图象即可得解．
【解答】解：原题条件等价于方程f（x）＝f（﹣x）在x＞0时有4个不同的实数根，
当x＞0时，f（x）＝f（﹣x），
即为，显然该方程有一个根为1，
当x＞0且x≠1时，方程f（x）＝f（﹣x）有3个根等价于方程有3个根，
令，
则，
当0＜x＜1或x＞2时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，1），（2，+∞）均单调递增，在（1，2）单调递减，
在同一平面直角坐标系中画出，（x＞0，x≠1）与y＝a的图象，如图所示：
由图可知要使得方程（x＞0，x≠1）有3个根，
则g（2）＝1﹣3ln2＜a＜g（1）＝﹣1，
综上所述，满足题意的a的取值范围是（1﹣3ln2，﹣1）．
故答案为：（1﹣3ln2，﹣1）．
【点评】本题考查构造函数，以及数形结合的应用，属于难题．
四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分）
15．（13分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是函数f'（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f（x）＝mx3+nx2﹣9x﹣13的图象的对称中心为（﹣1，﹣2）．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）求f（x）的零点个数．
【分析】（Ⅰ）利用拐点的概念，结合导数的运算即可求解；
（Ⅱ）利用导数求出函数的单调区间，结合极值情况即可判断零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝mx3+nx2﹣9x﹣13，
所以f'（x）＝3mx2+2nx﹣9，
所以f″（x）＝6mx+2n＝2（3mx+n），
又因为f（x）的图象的对称中心为（﹣1，﹣2），
所以，
即，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝x3+3x2﹣9x﹣13，
所以f'（x）＝3x2+6x﹣9＝3（x+3）（x﹣1），
令f'（x）＝0，得x＝﹣3或x＝1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）的极大值为f（﹣3）＝14，极小值为f（1）＝﹣18，
又f（﹣10）＝﹣623＜0，f（3）＝14＞0，
所以f（x）有3个零点．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）已知函数，且．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的对称中心和单调递减区间；
（3）若，求的值．
【分析】（1）由，可求得求a的值；
（2）利用正弦函数的性质可求得f（x）的对称中心和单调递减区间；
（3）依题意，可求得sin（θ﹣）＝，进而可求得cs（θ﹣）＝，结合诱导公式及二倍角公式可得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+cs2x﹣sin2x，
又f（）＝﹣＝，
∴a＝2；
（2）f（x）＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
令2x+＝kπ（k∈Z），得x＝﹣（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（﹣，0）（k∈Z）；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），
解得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（3）若f（﹣）＝sin[2（﹣）+]＝sin（θ﹣）＝，又θ∈[﹣，]，
∴∈[﹣，]，
∴cs（θ﹣）＝＝，
∴＝sin[﹣（2θ+）]＝﹣sin（2θ﹣）＝﹣2sin（θ﹣）cs（θ﹣）＝﹣2××＝﹣．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查诱导公式及二倍角公式，属于中档题．
17．（15分）已知数列{an}对于任意n∈N+都有．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）设数列前n项和为Sn求Sn．
（3）证明：．
【分析】（1）两式，作差，求解即可；
（2）利用错位相减法求解即可；
（3）利用放缩法转化为等比数列求和即可得证．
【解答】解：（1）因为①，
所以②，n≥2，
①﹣②得：，即，n≥2，
当n＝1时，，解得a1＝1，满足上式，
所以{an}的通项公式为；
（2）由题意，
从而，
所以＝，
所以；
（3）证明：n≥3，2n﹣1﹣3×2n﹣2＝2n﹣2﹣1＞0⇒2n﹣1＞3×2n﹣2，
当n＝1时，，
当n＝2时，，
当n≥3时，
，故得证．
【点评】本题考查数列的综合应用，属于中档题．
18．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）求A取值的范围；
（2）若a＝2，求△ABC周长的最大值；
（3）若b＝2，A＝2B，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可；
（2）由（1）可得b2+c2＝2a2＝8，结合基本不等式分析运算；
（3）根据题意结合正弦定理可求得A，B，C的大小，利用正弦定理以及面积公式分析运算．
【解答】解：（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
可得sinC（sinAcsB﹣csAsinB）＝sinB（sinCcsA﹣csCsinA），
整理可得：sinA（sinCcsB+sinBcsC）＝sinAsin（B+C）＝2sinBsinCcsA，
又A+B+C＝π，则sin2A＝2sinBsinCcsA，
根据正弦定理可得：a2＝2bccsA，则，
又由余弦定理可得：，可得：b2+c2﹣a2＝a2，
即b2+c2＝2a2≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，
所以，
又因为A∈（0，π），
可得；
（2）a＝2，由（1）可得b2+c2＝2a2＝8，又b2+c2≥2bc，
又b2+c2＝2a2≥2bc，可得a2≥bc，则b2+c2＝（b+c）2﹣2bc≥（b+c）2﹣2a2，
所以8≥（b+c）2﹣8，即（b+c）2≤16，解得b+c≤4，当且仅当b＝c＝2取等号，
所以△ABC周长的最大值为2+2+2＝6；
（3）由A＝2B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B，
又因为sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
所以sin（π﹣3B）sinB＝sinBsin（π﹣3B﹣2B），而sinB≠0，
sin3B＝sin5B，因为C＝π﹣3B∈（0，π），A＝2B∈（0，π），B∈（0，π）
可得B∈（0，），
可得3B+5B＝π+2kπ，k∈Z，
可得B＝，A＝，C＝，
由b＝2，而＝＝＝，
可得c＝＝＝＝，
所以S△ABC＝bcsinA＝×2××sin，
因为tan＝＝＝＝﹣1，
所以S△ABC＝bcsinA＝×2××sin＝＝2+．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，半角公式的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
19．（17分）已知函数，g（x）＝f（x）+ax．
（1）若g（x）在x＝0处取得极值，讨论g（x）的单调性；
（2）设曲线y＝f（x）在点P（m，f（m））（0＜m＜2）处的切线为l，证明：除点P外，曲线段y＝f（x）（0≤x≤2）总在l的下方；
（3）设，证明：．
【分析】（1）由g（x）在x＝0处取极值待定a，再求导函数g′（x），根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论g（x）的单调性；
（2）构造函数将命题转化为在区间[0，2]恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可；
（3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证．
【解答】解：（1）∵，x∈R，
∴，
由g（x）在x＝0处取得极值，得g′（0）＝a+1＝0，
解得a＝﹣1．
当a＝﹣1时，，
设φ（x）＝1﹣x﹣ex，则φ（x）在 R上单调递减，且φ（0）＝0，
则当x＜0时，φ（x）＞φ（0）＝0，即g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，0）单调递增，
当x＞0时，φ（x）＜φ（0）＝0，即g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）单调递减，
故g（x）在x＝0处取到极大值，满足题意，
所以g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减．
（2）证明：∵，x∈R，，
∴曲线 y＝f（x）在点P（m，f（m））处的切线l的斜率为，0＜m＜2．
故切线方程为，即，
构造函数，0≤x≤2，
即，其中F（m）＝0，
则，x∈R，
设，其中G（m）＝0，
则，
令G′（x）＝0，得x＝2，
当x＜2时，G′（x）＜0，故G（x）在（﹣∞，2）单调递减，
当x＞2时，G′（x）＞0，故G（x）在（2，+∞）单调递增，
所以G（x）在[0，2]单调递减，且G（m）＝0，0＜m＜2．
故当0≤x＜m时，G（x）＞0，即F′（x）＞0，则F（x）在[0，m）单调递增，
当m＜x≤2时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，则F（x）在（m，2]单调递减，
故F（x）在x＝m处取极大值，且极大值为F（m）＝0，
当且仅当x＝m时，F（x）＝0，
所以当x∈[0，2]时，F（x）≤0恒成立．即恒成立，
故除点P外，曲线段y＝f（x）（0≤x≤2）总在l的下方，命题得证．
（3）证明：由（2）结论，任意0＜m＜2，0≤x≤2，恒成立．
又由可知，{xn}单调递减，
则，故恒成立，
令，则恒成立．
又由
所以
＝．
故，
故
＝．
即成立，命题得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
x
（﹣∞，﹣3）
﹣3
（﹣3，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
14
单调递减
﹣18
单调递增