河南省新乡市第一中学等校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份河南省新乡市第一中学等校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分值：120分时间：100分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. 蝴蝶曲线B. 笛卡尔心形线
C. 科赫曲线D. 费马螺线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，逐项判断即可．
【详解】解：中，过点作，交或的延长线于，则是边上的高，正确的画法是D．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则判断A，根据合并同类项的运算法则判断B，根根据同底数幂的除法运算法则判断C，据积的乘方运算法则判断D．
【详解】解：A.，故此选项不符合题意；
B. ，不能合并，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项符合题意；
D.，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，掌握相关运算法则准确计算是解题关键．
4. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据所添加的条件进行逐一判断即可求解；
【详解】解：，
，
，
又，
添加，则无定理，无法证明，
故选项A符合题意；
添加，
则，
，
故选项B不符合题意；
添加，
则，
，
，故选项C不符合题意；
添加，
则，
，
故选项D不符合题意；
故选：A．
5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴．
故选：C
6. 在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A. 过作∥AB
B. 延长到，过作
C. 作于点
D. 过上一点作，
【答案】C
【解析】
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：由，则，．
由，得．故A不符合题意；
由，则，．
由，得．故B不符合题意；
由于，则，
无法证得三角形内角和是．故C符合题意，
由，得，．由，得，，那么．
由，得．故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
7. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边的边上的高，
∴，
∵，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
8. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）

A. B. 90°C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，则，，再根据三角形内角和，，则，再根据，即可．
【详解】∵、是线段AB、的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求．
【详解】解：平分，，
则，，
又∵，
∴，
，，
∴
又，
，
∴，
故选：C．
10. 如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据角平分线的性质即可得出结论；
④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：①和的平分线相交于点G，
，
，
，，
，，
，，
，
故正确；
②和的平分线相交于点G，
，
，
故正确；
③和的平分线相交于点G，
点G是内心，
点G到各边的距离相等，
故正确；
④连接，
点G是的内心，，，
，
故错误．
故选：C．
【点睛】本题考差了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
12. 点关于x轴对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求关于轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得解．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
13. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查格点三角形知识，三角形外角性质，等边对等角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据等边对等角求出，再利用三角形的外角性质解答．
【详解】解：∵，
∴
∴
故答案为
14. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，，则_____．
【答案】18
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的性质，
先根据尺规作图的步骤可知是的垂直平分线，可得，进而得出，再直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据含直角三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】根据题意可知是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴．
故答案为：18．
15. 如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当以、、为顶点的三角形与全等时，___________s．
【答案】3或7或10
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的性质，根据题意分两种情况：①当在线段AB上时，②当在上，再分别分成两种情况，求解即可，分情况讨论是解题关键．
【详解】解：①当在线段AB上，时，
，
，
，
点 的运动时间为 (秒)．
②当在上，时，如图所示：，
，
，
．
点 的运动时间为 (秒)．
③当在上，时，如图所示：
此时，
，
点的运动时间为 (秒)；
④当在线段AB上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意．
故答案为：3或7或10．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，幂的运算；
（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
（2）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算，然后合并同类项，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，，，点E、F在上且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，得到，再由已知的两对角相等，利用得出，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点的坐标分别是A3,2，，关于轴对称的图形为．
（1）画出；
（2）直接写出面积：_____；
（3）在轴上找出一点，使的周长最小．（不写画法，但需保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形，由轴对称性质解决最短距离问题；
（1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解；
（3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：如图所示，点即为所求．
19. 【知识呈现】如图①，在中，D是的中点，过点C作直线，使，交的延长线于点E，求证：；
【应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，射线与的延长线交于点F，连接，若，则______．
【答案】知识呈现：证明见解析，应用：6
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的等积转换；知识呈现：由可判定，由全等三角形的性质即可求证；
应用：同理可证：，，由三角形的面积得，，由即可求解；
掌握全等三角形的判定及性质，会进行等积转换是解题的关键．
【详解】知识呈现：
证明：D是的中点，
，
，
，
在和中
()，
；
应用：由【知识呈现】同理可证：
，
，，
∴，
．
故答案：．
20. 如图，在中，AB的垂直平分线交于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，
（1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知；
（2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值．
【小问1详解】
解：连接，如图，
∵垂直平分AB，
∴，
∵，
∴，
∵D是的中点
∴；
【小问2详解】
设，
∵，
∴，
∴由三角形的外角的性质，，
∵，
∴，
在三角形中，，
，
∴．
21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算；
（1）观察日历得出所求等式即可；
（2）设最小的一个数为，其他三个分别为，，，验证即可．
【小问1详解】
解：例如：；
；
【小问2详解】
设最小的一个数为，其他三个分别为，，，
则
=7．
22. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
① ；② ．
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线．
（3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数．
【答案】（1）与；与
（2）理由见解析 （3）60°；30°；；
【解析】
【分析】（1）由题意知，，可说明与是“等角三角形”，根据，可说明与是“等角三角形”，进而可得答案；
（2）根据三角形内角和定理计算，由角平分线的定义可知，，可说明是有两个角相等的三角形，由，，，可说明与原来三角形是“等角三角形”，进而结论得证；
（3）由题意可知，分4种情况求解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1，由（2）可知，；②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2，由题意知，则，，进而可知的值；③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3，，，根据求出的值即可；④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4，则，，根据求出的值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∵
∴
同理
∴与是“等角三角形”
∵
∴与是“等角三角形”
故答案为：与；与．
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵CD为角平分线
∴
∵
∴是有两个角相等的三角形
∵，，
∴与原来三角形“等角三角形”
∴CD是△ABC的等角分割线．
【小问3详解】
解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1，
由（2）可知，，满足CD为△ABC的等角分割线；
②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2，
由题意知，
∴，
∴，
∴时，满足CD为△ABC的等角分割线；
③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3，
，
∵
∴
∴时，满足CD为△ABC的等角分割线；
④当是有两个角相等三角形，且时，与是“等角三角形”如图4，
∴
∵
∴
∴ 时，满足CD为△ABC的等角分割线；
综上所述，的度数为 或或 或 ．
【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于理解题意熟练掌握角度的求解．
23. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边BC，CD上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边BC，CD上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或或
【解析】
【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题．
（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）如图2，同理可得：；
（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：．
【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接，
∵
∴
∴，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到G，使，连接
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）若如图1，则结论成立，
若如图3，则或
证明：在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵
∴
∴
∴．
∴
∵，
∴
∴．
∵
∴．
同理可得：
∵
∴．