黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年上学期八年级数学9月月考试题（解析版）-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年上学期八年级数学9月月考试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】前三个均是轴对称图形，第四个不是轴对称图形，
故选C.
【点睛】本题考查的是轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成．
2. 下列计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
3. 在下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 正方形D. 圆
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：A.等腰三角形有1条对称轴.
B.等边三角形有3条对称轴.
C.正方形有4条对称轴.
D.圆有无数条对称轴.
故选D.
4. 点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（-5，3）关于x轴的对称点的坐标是（-5，-3），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题，比较简单．
5. 等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是
A. 19cmB. 23cmC. 19cm或23cmD. 18cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.）
【详解】根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论.
6. 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三边的垂直平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上．根据线段的垂直平分线的判定即可解答．
【详解】解：∵到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上，
∴到三个顶点的距离相等的点应该在各边的垂直平分线上，
∴凉亭应选的位置是三条边的垂直平分线的交点．
故选：C
7. 已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （ ）
A. 7B. 10C. 20D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可．
【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10．
故选：B
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键．
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（ ）

A. 36°B. 45°C. 54°D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角大小．
【详解】解：设∠A＝x°，
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x°，
在△ABC中x＋2x＋2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴∠DBC＝36°，
故选：A．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，得到各角之间的关系式解答本题的关键．
9. 如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）

A. 30°B. 15°C. 20°D. 35°
【答案】A
【解析】
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当三点在同一直线上时，的值最小．
【详解】由题意知，当B. P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴
【点睛】考查轴对称-最短路线问题，找出点C关于直线MN的对称点是B，根据两点之间，线段最短求解即可.
二、填空题：（每题3分，共27分）
10. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 小强从穿衣镜中看到挂在墙上电子表的读数是 ，则电子表的实际读数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数．
【详解】解：依题意，电子表的实际读数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键．
12 已知，则______．
【答案】
【解析】
【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可．
【分析】解：
故答案为：6．
13. 如图，一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发，向正北航行8海里到达B处，此时灯塔C在船的北偏西84°方向，则船距离灯塔C _____海里．
【答案】8.
【解析】
【分析】先利用平行线的性质得到∠A=∠ACD=42°，再利用三角形外角性质可求出∠ABC=42°，则∠ABC=∠A，于是可判断△BAC为等腰三角形，所以BC=BA=8.
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=42°，
∵∠NBC=∠A+∠ABC，
∴∠ABC=84°-42°=42°，
∴∠ABC=∠A，
∴BC=BA=8，
即船距离灯塔C8海里．
故答案为8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质：在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．也考查了方向角．
14. 如图，中，平分，平分，过点O作交于点M交于点N，若周长15，周长为24，则_____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据平分，平分且，再结合等角对等边可证，得到的周长，根据△ABC的周长即可求得BC．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵周长为24，
∴，
∵周长为15，
∴，
∴．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识点，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解答本题的关键．
15. ，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，逆用幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：4．
16. 个底边长为，腰长为的等腰拼成如图所示，则图中的所有线段之和是_______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究，分别求出1个等腰三角形，2个等腰三角形，3个等腰三角形的线段之和，进而得到规律进行求解即可．
【详解】解：由图可知：当有1个等腰三角形时，线段和为：，
当有2个等腰三角形时，线段和为：，
当有3个等腰三角形时，线段和为：，
∴当有n个等腰三角形时，线段和为：，
故答案为：．
17. 已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，则点坐标为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定以及性质，正确作出图形是解题的关键．根据题意作出图形，点N和即为所求，过M作轴于A，过N作轴于B，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到，同理可得．
【详解】解∶根据题意画出图形，点N和即为所求，
过M作轴于A，过N作轴于B，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，
故答案为∶ 或
18. 如图，中，，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接交于，，过作交于，连接，若的面积为3，且，则线段的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作交于H，连接，可证明得到，进而得到；证明，得到，则垂直平分，可得，则 设，则，，可证明；可设，则，，，根据三角形面积得到，或（舍去），即．
【详解】解：如图所示，过点D作交于H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴可设，
∴，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（19、20、21题各6分、22、23题各7分，24、25、26题各8分，27题10分）
19. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则，是解题的关键：
（1）先进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并同类项即可；
（2）先进行幂的乘方的运算，再进行同底数幂的乘法运算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作直线，画出点关于直线的对称点，并写出点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称：
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据（1）所作图形，画出点关于直线的对称点，再根据图形写出对应点坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∵与关于x轴对称，点的坐标为，
∴点的坐标为．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
根据题意可得点C和点关于直线对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
21. 若，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，有理数的乘方运算，代数式求值；根据有理数的乘方得出，解一元二次方程，求得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
22. 如图，点、在的边上，，．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）根据等边对等角，利用三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 阅读理解：规定两数，之间的一种运算，若，记作．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：
①若，则_______；
②若，则______．
（2）若，，，请推理，，三个量的数量关系．
【答案】（1）①27，②
（2）
【解析】
【分析】本题考查定义新运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用：
（1）根据新运算，得到，进行求解即可；
（2）根据新运算，，根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用进行判断即可．
【小问1详解】
解：①；
故答案为：27
②∵，
∴
故答案为：；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 已知：和都是等腰直角三角形，，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.
(1)如图1，求证：AE=BD；
(2)如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE（SAS），△EMC≌△BCN（ASA），△AON≌△DOM（AAS），△AOB≌△DOE（HL）
【解析】
【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
∵
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
（2）∵AC=DC，
∴AC=CD=EC=CB，
∵∠ACB=∠DCE，
△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∴∠DOM=∠MCE=90°，
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，BC=EC，∠MCE=∠NCB，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM=CN，
∴DM=AN，
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD=∠CDB，
∴△AON≌△DOM（AAS），
∴AO=DO，
∵DE=AB，
∴△AOB≌△DOE（HL）
25. 2025年亚冬会将于2月7日~14日在哈尔滨市举行，为了抓住这个商机，某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要170元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要295元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，且用于购买这100件纪念品的资金不超过6670元，则该商场最多能购进甲种纪念品多少件？
【答案】（1）购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元
（2）该商场最多能购进甲种纪念品62件
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键：
（1）设购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元，根据购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要170元；购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要295元，列出方程组进行求解即可；
（2）设商场购进甲种纪念品件，根据购买这100件纪念品资金不超过6670元，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元，由题意，得：
，解得：，
答：购进甲、乙两种纪念品每件各需要元和元；
【小问2详解】
解：设商场购进甲种纪念品件，由题意，得：，
解得：；
答：该商场最多能购进甲种纪念品62件．
26. 数学课上，刘老师举了下面两个例题：
例1． 在等腰中，，求的度数．（只有一个：）；
例2． 在等腰中，，求的度数．（共有三个：、或）；
刘老师启发同学们进行变式探索，小明编了如下一题：
（1）变式：已知：在等腰中，，求的度数．请你解答此变式题：
（2）探索：在解（1）后，小明发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同．于是小明开始探索在等腰中，的度数取哪些值时，的度数是唯一的？已知：在等腰中，，当的度数唯一时，求的取值范围．请你帮助小明完成此题．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边对等角，分类讨论的思想，是解题的关键：
（1）分为顶角和底角，2种情况进行讨论即可；
（2）分，以及，两种情况作答即可．
【小问1详解】
解：当为顶角时，则：；
当为底角，为顶角时：，
当，为底角时，；
综上：；
【小问2详解】
①当时，此时只能是顶角，为底角，度数唯一；
②当时，此时为等边三角形，，度数唯一；
综上：或．
27. 我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半，那么这个锐角为”是真命题吗？
已知：如图1，中，，，为的中点，为上一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，点在的延长线上，连接、，若，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，若点在的延长线上，连接、，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接．已知，，若，求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质可得，等边对等角可得，证明，可得则；
（2）根据（1）得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证；
（3）连接，，过点分别作的垂线，证明平分，可得，进而证明，得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴都是直角三角形，
∵，为的中点，
∴，
在中，
∴
∴
∴
又∵
∴
【小问2详解】
证明：∵，，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
又∵，
∴
∴
【小问3详解】
解：如图所示，连接，，过点分别作的垂线，
∵
∴，
∵，， ，
∴，
∴
∴由（1）可得，
∴
∴平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在中，
∴
∴，
中，，
在中，
∴
∴
∴
∴
由（1）可得，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质与判定，平行线的性质，等边对等交，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．