黑龙江省牡丹江市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省牡丹江市2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷（解析版）-A4，共30页。试卷主要包含了考试时间90分钟，全卷共分三道大题，总分120分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．考试时间90分钟．
2．全卷共分三道大题，总分120分．
3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合要求；
B、既不中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合要求；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合要求；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合要求；
故选：D．
2. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. 5B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选D．
3. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（ ）
A. B. 8C. 50D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．熟练掌握解一元二次方程，菱形的性质，是解此题的关键．
先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：设菱形为，交点为O，,
解方程，
得或4，
∵菱形两条对角线的长度是方程的两根，
∴，
∴，
由勾股定理得：．
故选：A．
4. 已知的直径，是的弦，，垂足为M，且，则的长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
如图1：，
∴，
∴，
∴；
如图2：同理可得，
∴，
∴；
故选：C
5. 如图，在的正方形网格中，任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率＝事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答关键．
任选一个白色的小正方形并涂黑，共有种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有个情况，利用概率公式求解．
【详解】解：根据题意得
因为根据轴对称图形的概念，轴对称血型两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有个情况，
所以使图中黑色部分的图形扔然构成一个轴对称图形的概率是．
故选：B．
6. 在一个不透明的盒子里有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是（ ）
A. 10B. C. D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，由题意得：摸到红球的概率为，推出，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：摸到红球的概率为，
∴，
解得：，
经检验：是方程的解，
故选：D
7. 如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（ ）
A. B. 10C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理，连接，可得，可知当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合，再根据垂径定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵为定值，
∴当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故选：．
8. 如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 6πB. πC. πD. 2π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=
故选A．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9. 如图，中，，为斜边中线，将绕点O逆时针旋转度得，要使成为等腰三角形，则符合要求的的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的斜边中线，垂直平分线的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得到，再结合旋转的性质，得出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：，为斜边中线，
，
由旋转的性质可知，，，，
，
①如图，当平分时，
，
垂直平分，
，是等腰三角形，有一种情况；
②如图，当平分时，
，
垂直平分，
，是等腰三角形，有两种情况；
③如图，当平分时，
，
垂直平分，
，是等腰三角形，有一种情况；
即符合要求的的个数为4，
故选：C．
10. 如图所示，抛物线的对称轴是直线，x轴交点为．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④若抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程有两个相等实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号；②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负；③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y值越大；④由抛物线顶点纵坐标为m可得与直线的唯一交点，从而进行判断有两个相等实数根．
【详解】解：①∵抛物线的图象开口向上，
∴，
又抛物线的对称轴在直线y轴左侧，
∴a，b同号，，
又抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴，故①正确；
②，
当时，，由图象可得，
由图象知，当时，，
由图象可得，，
∴，即，故②正确；
③，,
∵，
∴点x1,y1到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，故③错误；
④∵抛物线的顶点坐标为，
∴与直线的唯一交点，
∴有两个相等实数根，故④正确，
综上，①②④正确，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分24分）
11. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，与y轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．根据可得平移后的函数解析式为：，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴平移后的函数解析式为：，
令，，
∴平移后抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：
12. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
13. 已知方程有实数根，则k取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，若一元二次方程有实根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：根据题意可得：当时，方程，有实数根，
当时，方程为为一元二次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，若将点A绕点B旋转，得到点，则点的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，分两种情况：点A绕点B顺时针旋转；点A绕点B逆时针旋转；
【详解】解：分以下两种情况：
当点A绕点B顺时针旋转时，
过作轴于点C，将绕点B顺时针旋转，得到，
由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
当点A绕点B逆时针旋转时，
过作轴于点C，将绕点B顺时针旋转，得到，
由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴点坐标即；
故答案为：或．
15. 如图，在中，弦与直径相交于点E，连接，．若，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理．熟练掌握三角形外角的性质，圆周角定理是解题的关键．
由题意知，，由圆周角定理可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解．
【详解】解：如图1，当时，
即，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或，
故答案为：或．
17. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点A的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形，回到原来位置需要经过3次对称变换，据此可解答．
【详解】解：观察图形，回到原来位置需要经过3次对称变换，
∵，
∴第2024次变换后所得的A点与第2次变换后的点A的位置相同，
∵点A坐标是，
∴第一次变换后所得的点A的坐标是，
∴第二次变换后所得的点A的坐标是，
∴第2024次变换后所得的A点坐标．
故答案为：．
18. 如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接，下列结论中：①；②；③平分；④，⑤若，，则．正确的有______．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
根据旋转的性质得出，再由等腰直角三角形及各角之间的关系即可判断①；根据全等三角形的判定即可判断②；根据全等三角形的判定和性质即可判断伞；根据全等三角形的性质及勾股定理即可判断④；根据勾股定理求解即可判断⑤．
【详解】解：由旋转性质得，
∴；
∵，，
∴，
∴，即，则①正确；
只有，，不能得到，则②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，则③正确；
∵，所以，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，则④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或，故⑤错误；
故答案为①③④．
三、解答题（满分66分）
19. 解方程或计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中a是方程的解．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先将分式化简，然后根据a是方程的解，得出，即，再代入求值即可．
【小问1详解】
解：，
原方程变形为：，
变为一般形式为：，
，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：
，
∵a是方程，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在半径为的中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
作于，于，连接用勾股定理求出的长，判定四边形为正方形，即可求解．
【详解】解：作于，于，连接，
则，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
在中，，
同理可得，
∴四边形为正方形，
∴．
21. 已知正方形的边长为6，E为平面内任意一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转90°得到，当点A，C，G在一条直线上时，且，请画出符合题意的图形并直接写出的长．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理．本题有两种情况，一种是点在线段的延长线上，一种是点在线段上，解题过程一样，利用正方形和三角形的有关性质，求出、的值，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图所示．
过点作于，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理，得：
；
当点线段上时，如图所示．
过作交直线于．
∵是正方形的对角线，
∴，
，
，
在中，由勾股定理，得：
，
∴的长为：或．
22. 2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为____________人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是__________；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）40人 （2）108°
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，据此即可得出总人数；
（2）结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，得出比例乘以即可得；
（3）根据题意可得C类别人数为18人，据此补全条形统计图即可；
（4）画出树状图，利用树状图求解即可得．
【小问1详解】
解：结合两个图表可得：A类别人数为6人，所占比例为15%，
∴参加这次调查的学生总人数为（人），
故答案为：40；
【小问2详解】
解：结合条形统计图可得：B部分人数为12人，总人数为40人，
∴扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：108°；
【小问3详解】
解：C类别人数为（人），
补全图形如下：
【小问4详解】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【点睛】题目主要考查结合扇形统计图与条形统计图获取相关信息，包括利用部分得出总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据树状图或列表法计算概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，．
（1）求a的值；
（2）点D为第三象限内抛物线上的一点，当的面积为3时，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）
（2）点D的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点：把二次函数与坐标轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，三角形面积的计算．
（1）求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）由的面积，即可求解．
【小问1详解】
解：令，
解得x=1或，
故点的坐标分别为、1,0，
则，
在中，，
则，
故点C0,−3，
将点C0,−3代入抛物线解析式得：，
解得；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
故直线解析式为，
由（1）知抛物线解析式为，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
则，
解得x=-1或，
将x=-1代入，
得，
将代入，
得，
故点的坐标为或．
24. 如图1，在等边内有一点P，且，，，求的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决；参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．
（1）求出的度数；
（2）如图1，在等边内有一点P，若，，，则______．
（3）如图3，在正方形内有一点P，且，，，则______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将逆时针旋转60°得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出；
（2）将逆时针旋转60°得到，根据旋转的性质可知，求证为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出，即可求出；
（3）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知，求证，用勾股定理逆定理求出，最后求出即可．
【小问1详解】
解：将逆时针旋转60°得到；
∵由旋转60°所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
将逆时针旋转60°得到；
∵由旋转60°所得，
∴，
∴，，，，
在中，，，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，，即，
在中，，且，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问3详解】
将绕A点顺时针旋转90°得，连接，
∵由旋转所得，
∴，
∴，，，
在中，，且，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练的运用旋转的性质作出辅助线是解题的关键．
25. 如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式；
（3）在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在．，，
【解析】
【分析】把点，代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；
这是一个分段函数，分点在边上和点在AB边上两种情况求函数关系式；
分三种情况求解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在AB边上时，AD为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的直角边．
【小问1详解】
解：把点，代入函数解析式，
得：，
解得：，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：点，，
,，
四边形是矩形，
，
当时，点在CB上运动，
此时扫过的图形是，
，
当点运动到AB边上时，如下图所示，
此时扫过的图形是四边形，
，
，
；
【小问3详解】
解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时，
如下图所示，过点作轴于点，延长CB交的延长线于点，
则，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
设点的坐标为
则，，
，
，
整理得：，
解得:，，
当时，，
此时点的坐标为与点重合，
故应舍去，
当时，
此时点的坐标为；
当点在AB边上时，AD为等腰直角三角形的斜边时，
如下图所示，
点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，
此时点的坐标为，与点重合，
故应舍去，
当时，，
此时点的坐标为；
如下图所示，
当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时，
过点作轴于点，
则，
又，
则，
在和中，
，
，
，
，
点的纵坐标为-2，
解方程，
整理得：，
解得：，，
当时，此时点与不能构成直角三角形，
故应舍去，
当时，对应的纵坐标为，
综上所述点的坐标为，，；