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    湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题(解析版)-A4

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    湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题(解析版)-A4

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    这是一份湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题(解析版)-A4,共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 甲骨文是我国的一种古代文字,下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文,其中不是轴对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题考查了轴对称图形,轴对称图形的判断方法:把某个图象沿某条直线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形.根据轴对称图形的概念求解.
    【详解】解:A.该图是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    B.该图不是轴对称图形,故此选项符合题意;
    C.该图是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    D.该图是轴对称图形,故此选项不符合题意;
    故选:B.
    2. 为了解我市八年级学生的视力状况,从中随机抽取500名学生的视力状况进行分析,此项调查的样本为( )
    A. 500B. 被抽取的500名学生
    C. 被抽取500名学生的视力状况D. 我市八年级学生的视力状况
    【答案】C
    【解析】
    【分析】从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本,依据样本的定义进行判断即可.
    【详解】为了解我市八年级学生的视力状况,从中随机抽取500名学生的视力状况进行分析,此项调查的样本为被抽取500名学生的视力状况,
    故选C.
    【点睛】本题主要考查了样本的定义,把组成总体的每一个考查对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
    3. 若,则下列式子正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题主要考查了不等式的基本性质,不等式的基本性质为:不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变;不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式,不等号方向不变;不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式,不等号方向改变,根据不等式的性质逐项判断即可得出答案,熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.
    【详解】解:A、∵,∴,故原选项错误,不符合题意;
    B、∵,∴,故原选项错误,不符合题意;
    C、若,则,故原选项错误,不符合题意;
    D、∵,∴,∵,∴,故原选项正确,符合题意;
    故选:D.
    4. 已知是方程的一个解,那么m的值是( )
    A. 3B. 1C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】本题考查了二元一次方程的解,解题的关键是掌握使二元一次方程两边相等的未知数的值,是二元一次方程的解.
    将代入方程,得出关于m的方程,即可求解.
    【详解】解:将代入方程中可得,,
    解得,
    故选:D.
    5. 如图,,欲证,则补充的条件中不正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】从已知看,已经有一边和一角相等,则添加一角或夹该角的另一边即可判定其全等,从选项只有第三项符合题意,所以其为正确答案,其他选项是不能判定两个三角形全等的.
    【详解】∵,
    ∴,
    ∴,∵,
    和中,
    ∴,故A正确;
    ∵,
    在和中,
    ∴,故B正确;
    ∵,
    在和中,
    ∴,故D正确;
    C中条件不能证明.
    【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法,熟练掌握是关键.
    6. 如图,在中,分别以点A和点C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;作直线分别交于点D、E.若,的周长为26,则的周长为( )
    A. 26B. 32C. 38D. 44
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点,熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.
    由题意可得:垂直平分线段,可得、;再根据题意可得,最后求出的周长即可.
    【详解】解:由题意可得:垂直平分线段,
    ∴,,
    ∵的周长为26,
    ∴,
    ∴的周长.
    故答案为:38.
    7. 如图用尺规作已知角的平分线,构造两个三角形全等,所用到的判别方法是( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】本题考查了作图作已知角平分线.利用作图痕迹得到,,加上为公共边,则根据“”可判断,从而得到.
    【详解】解:由作图痕迹得到,,
    ,,,


    即平分.
    故选:C.
    8. 如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应该修在( )
    A. 三边中线的交点B. 三个角的平分线的交点
    C. 三边高线的交点D. 三边垂直平分线的交点
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处.
    【详解】要使这个度假村到三条公路的距离相等,则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点,
    故选B.
    【点睛】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等.
    9. 在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)到两坐标轴的距离相等,则m的值为( )
    A. -1B. 3C. -1或3D. -1或5
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据到坐标轴的距离相等,分横坐标与纵坐标相等和互为相反数两种情况讨论解答.
    【详解】解:∵点P(m+3,-2m)到两坐标轴的距离相等
    ∴m+3+(-2m)=0或m+3=-2m
    解得m=3或m=-1
    故选:C
    【点睛】本题考查了点的坐标,难点在于要分两种情况讨论,熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键.
    10. 如图,是的角平分线,的垂直平分线分别交、、于、、,交的延长线于,连接、,则下列结论:①;②;③;④其中正确的结论有( )
    A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
    【答案】D
    【解析】
    【分析】证明得,由垂直平分得,可判断①正确;由垂直平分可证,结合三角形外角的性质可判断②正确;由得,,进而可判断③正确;证明得,结合可判断④正确.
    【详解】解:∵AD是的角平分线,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵垂直平分,
    ∴,
    ∴,故①正确;
    ∵垂直平分,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴,故②正确;
    ∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,故③正确;
    ∵垂直平分,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,即④正确.
    综上,正确有4个.
    故选:D.
    【点睛
    本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点,灵活运用相关性质定理成为解题的关键.
    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
    11. 的算术平方根是________.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】根据算术平方根的运算法则,直接计算即可.
    【详解】解:∵,4的算术平方根是2,
    ∴的算术平方根是2.
    故答案为:2.
    【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根,这里需注意:的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的;因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时,通常需先将式子化简,然后再去求,避免出错.
    12. 已知三角形的三边长分别是8、10、,则的取值范围是 _______.
    【答案】2<x<18
    【解析】
    【分析】根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边可得答案.
    【详解】解:根据三角形的三边关系可得:10−8<x<10+8,
    即2<x<18,
    故答案为:2<x<18.
    【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系,关键是掌握第三边的范围是:大于已知的两边的差,而小于两边的和.
    13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是______.
    【答案】8
    【解析】
    【分析】根据多边形的内角和定理,多边形的内角和等于(n﹣2)•180°,外角和等于360°,然后列方程求解即可.
    【详解】解:设边数为n,由题意得,
    180(n-2)=3603,
    解得n=8.
    所以这个多边形的边数是8.
    故答案为:8.
    【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理,根据题意列出方程是解题的关键.
    14. 如图,在中,,过点作如果点分别在上运动,并且始终保持,那么当__________时,与全等.
    【答案】6或8##8或6
    【解析】
    【分析】本题考查了全等三角形的判定,分情况讨论是解答本题的关键,应边相等分情况解答即可.根据已知斜边相等,再添加一条直角边相等即可.
    【详解】解:∵与全等,,
    ∴分两种情况:
    ①与是对应边时,;
    ②与是对应边时,;
    综上所述:当或8时,与全等;
    故答案为:6或8.
    15. 若关于x的不等式组只有3个整数解,则m的取值范围是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先分别求出每一个不等式的解集,再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组,解之即可.
    【详解】解:解不等式 得:x<2,
    解不等式 ,得:,
    ∵不等式组只有3个整数解,

    解得,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式的解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
    16 如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=________.
    【答案】55°
    【解析】
    【分析】由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP,可得∠AOP=∠BOP=∠AOB=25°,由外角可求解.
    【详解】解:∵PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,
    ∴∠PAO=∠PBO=90°,
    ∵PA=PB,OP=OP,
    ∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),
    ∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=25°,
    ∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°,
    故答案为:55°.
    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,证明Rt△OAP≌Rt△OBP是本题的关键.
    三、解答题(本大题共9小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每小题9分,第24、25题每小题10分,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. 计算:
    (1)
    (2)
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】本题考查了实数的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
    (1)先算开方和绝对值,再算加减;
    (2)先算乘方和开方,再算乘法,后算加减.
    【小问1详解】
    解:
    【小问2详解】
    解:
    18. (1)解方程组:
    (2)解不等式组:
    【答案】(1);(2)
    【解析】
    【分析】本题考查了二元一次方程组的解法,一元一次不等式组的解法,熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键.
    (1)用加减消元法求解即可;
    (2)先分别解两个不等式,求出它们的解集,再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集.
    【详解】解:(1),
    ,得

    ∴,
    把代入②,得

    ∴,
    ∴;
    (2)
    解①得,
    解②得,
    ∴.
    19. 如图,已知,
    (1)作出关于轴对称的图形;
    (2)求的面积;
    (3)已知,求中,边上的高h.
    【答案】(1)见解析 (2)5
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据轴对称变换性质找出对应点即可求解.
    (2)根据割补法求解即可.
    (3)设AB边上的高为h,根据三角形的面积公式求解即可.
    【小问1详解】
    如图所示:
    【小问2详解】
    【小问3详解】
    设边上的高为
    由(2)有
    即,解得
    【点睛】本题考查了轴对称变换的性质,熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键.
    20. 先化简后求值2(3a2b﹣ab2)﹣3(a2b+4ab2),其中a=﹣1,b=.
    【答案】3a2b﹣14ab2,5
    【解析】
    【分析】将原式去括号、合并同类项化为最简式,再把a、b的值代入计算可得.
    【详解】解:原式=6a2b﹣2ab2﹣3a2b﹣12ab2
    =3a2b﹣14ab2,
    当a=﹣1、b=时,
    原式=3×(﹣1)2×﹣14×(﹣1)×()2
    =3×1×+14×
    =+
    =5.
    【点睛】本题主要考查整式的加减−−化简求值,解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项法则.
    21. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生,对“学习习惯”进行问卷调查.设计的问题:对自己做错的题目进行整理、分析、改正;答案选项为:A:很少,B:有时,C:常常,D:总是;将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下:
    请根据图中信息,解答下列问题:
    (1)该调查的样本容量为 ,a= %,,“常常”对应扇形的圆心角为 ;
    (2)请你补全条形统计图;
    (3)若该校有3200名学生,请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名?
    【答案】(1)200;12;108;(2)画图见解析;(3)2112名
    【解析】
    【分析】(1)首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%,求出该调查的样本容量为多少;然后分别用很少“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量,求出a的值;最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%,求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可;
    (2)求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数,补全条形统计图即可;
    (3)用该校学生人数乘“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可.
    【详解】解:(1)∵44÷22%=200(名)
    ∴该调查的样本容量为200;
    a=24÷200×100%=12%,
    “常常”对应扇形的圆心角为:
    360°×30%=108°.
    故答案为:200、12、108.
    (2)200×30%=60(名)
    (3)∵3200×30%=960(名)
    ∴“常常”对错题进行整理、分析、改正的学生有960名.
    ∵3200×36%=1152(名)
    ∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名.
    960+1152=2112
    答:“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有2112名.
    【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
    22. 如图,四边形是正方形,,EF与BC交于点G.
    (1)求证:;
    (2)若,求的大小.
    【答案】(1)见解析 (2)
    【解析】
    【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形性质的等知识点,掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键.
    (1)由正方形的性质、垂直的定义可得、,即可得,再结合即可证明结论.
    (2)因为再根据(1)可得即可解答.
    【小问1详解】
    证明:∵四边形是正方形,,
    ∴,
    ∴,即:,
    又∵,
    ∴.
    【小问2详解】
    解:∵,
    ∴,
    又∵,
    ∴.
    23. 为迎接校园科技节的到来,学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装,已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等,若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元.
    (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元?
    (2)现计划用1220元资金,在不超过预算的情况下,购买这两种模型共50套,且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的,求两种模型共有多少种选购方案?乙种模型选购多少套时总费用最少?
    【答案】(1)甲种模型的单价为20元,乙种模型的单价为30元;
    (2)一共有3种选购方案,乙种模型选购20套时,总费用最少.
    【解析】
    【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,确定相等关系建立方程与不等式组是解本题的关键.
    (1)设甲种模型的单价为x元,乙种模型的单价为y元,结合3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等,购买1套甲模型和2套乙模型共需80元,再列方程组即可;
    (2)设乙种模型数量为m,则乙种模型数量为,结合计划用1220元资金,在不超过预算的情况下,购买这两种模型共50套,且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的,列不等式组,进而即可求解.
    【小问1详解】
    解:解:设甲种模型的单价为x元,乙种模型的单价为y元,则:

    解得:.
    答:甲种模型的单价为20元,乙种模型的单价为30元.
    【小问2详解】
    设乙种模型数量为m,则甲种模型数量为,由题意可得:

    解得:,
    ∴,
    ∵m为整数,
    ∴一共有3种选购方案,
    设总费用为W元,

    ∴当m越小,总费用越少,即当套时,总费用越少,
    答:乙种模型选购20套时,总费用最少.
    24. 对于平面直角坐标系中任一点,规定以下三种“雅境变换”:
    ①.如:;
    ②.如:;
    ③.如:;
    例如:.
    请回答下列问题:
    (1)利用“雅境变换”化简:______;_____;_____;
    (2)通过以上“雅境变换”得到的坐标叫做“”坐标,规定“”坐标可以进行如下运算:
    当时,且.
    ①“”坐标中横坐标为整数,满足:
    (常数t为正整数),求存在的点P的坐标.
    ②“”坐标在第四象限,满足:
    ,当为正整数时,求点Q的坐标.
    【答案】(1);;
    (2)①或;②
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,按顺序先算括号里面的即可得出答案;
    (2)①先将等式化简,得到关于x和y的等式,求出x和y的整数解即可;②先将等式化简,得到关于x和y的等式,在根据点P所在的象限,得到不等式组解出k的取值范围,在根据题意,选取符合条件的正整数k即可.
    【小问1详解】

    故答案为:;;;
    【小问2详解】

    是整数,为正整数

    解得或

    ②,



    时,且,

    坐标在第四象限,



    是正整数,

    【点睛】本题主要考查了新定义的点的坐标变化和一元一次不等式组,仔细读题,理解题目所描述的点的变化规则是解题的关键.
    25. 已知是等腰直角三角形,,点在轴的负半轴上,直角顶点在轴上,点在轴上方.
    (1)如图所示,点坐标为,点坐标为0,1,求点的坐标;
    (2)如图所示,过作轴于,求证:;
    (3)如图所示,若轴恰好平分,与轴交于点,过作轴于,求证:.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析; (3)证明见解析.
    【解析】
    【分析】()过点作轴于,证明得到,,进而即可求解;
    ()同理()证明得到,,进而由即可求证;
    ()如图,延长相交于点,证明可得,再证明得到,即得,据此即可求证.
    【小问1详解】
    解:过点作轴于,则,
    ∴,
    ∵是等腰直角三角形,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    在和中,

    ∴,
    ∴,,
    ∵点坐标为,点坐标为,
    ∴,,
    ∴,,
    ∴,
    ∴;
    【小问2详解】
    证明:∵轴于,
    ∴,
    ∴,
    ∵是等腰直角三角形,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    在和中,

    ∴,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴;
    【小问3详解】
    证明:如图,延长相交于点,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵轴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    在和中,

    ∴,
    ∴,
    ∵轴平分,
    ∴,
    ∵轴,
    ∴,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、角平分线的定义,余角性质,等腰直角三角形的性质,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

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