湖南省长沙市望城区珺琟学校2024-2025学年八年级上学期第一次数学月考试卷（解析版）-A4

这是一份湖南省长沙市望城区珺琟学校2024-2025学年八年级上学期第一次数学月考试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 如图，在中，，，，则的长为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵点与点B关于y轴对称，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
3. 如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为13cm，则的周长为（ ）
A. 16cmB. 19cmC. 21cmD. 25cm
【答案】C
【解析】
【分析】由是的垂直平分线，可得，即可求得的周长，进而求得周长．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
4. 等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
已知给出了其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
【详解】解：由题意知，应分两种情况：
当腰长为时，则另一腰也为，底边为，
∵，
∴边长分别为不能构成三角形；
当底边长为时，腰的长，
∵，
∴边长为，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是．
故选C．
5. 如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质．根据轴对称的性质可得与是全等三角形，再根据全等三角形的性质和轴对称的性质，即可得到答案．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴根据轴对称的性质可得与是全等三角形，
∴，故选项A正确，不符合题意；
根据轴对称的性质可知、，
∴选项B和选项C项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得到，所以B错误，符合题意．
故选：B．
6. 如图，在中，，，，则的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
7. 下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A. 有一个内角是60°的锐角三角形B. 有一个内角是60°的等腰三角形
C. 顶角和底角相等的等腰三角形D. 腰和底边相等的等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质．
8. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
【详解】解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
9. 如图，为的外角的平分线，若，，则（ ）
A. B. C. 60°D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，根据三角形的外角的性质求得，进而根据角平分线的定义，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为的外角的平分线，
∴，
故选：B．
10. 如图，将Rt过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，折痕为，现有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤垂直平分；其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③C. ①②③④D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据翻折的性质即可知，再根据全等三角形的性质即可判断①②③⑤正确，由于不一定等于，故不一定是等边三角形，故④错误，由此即可选择．
【详解】解：将过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，
，
，，，，
，平分，故①②③正确，
，，
垂直平分，故⑤正确，
不一定等于，
不一定是等边三角形，故④错误，
综上可知，①②③⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质，角平分线的判定，垂直平分线的判定以及等边三角形的判定．理解折叠后的两个三角形全等是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11. 等腰三角形的一个外角是，则其底角是_____．
【答案】##40度
【解析】
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，可得等腰三角形的顶角为，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于，
∴等腰三角形的一个内角为，
∵三角形的内角和等于，
∴等腰三角形的顶角为，
∴两个底角都为，
故答案：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
12. 直角三角形的两个锐角的度数比为1：4，则较小的锐角是________．
【答案】18°##18度
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求得．
【详解】解：设直角三角形的两个锐角度数分别为x°，4x°，
由题意得：x＋4x＝90，
解得：x＝18，
∴较小的锐角是18°．
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了直角三角形中，两锐角的关系，根据题意列出是一元一次方程是解决本题的关键．
13. 若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足+（b﹣7）2＝0，那么c的取值范围是_____．
【答案】4＜c＜10
【解析】
【分析】利用二次根式以及偶次方的非负性可求出a，b的值，再利用三角形三边关系即可到c的范围．
【详解】解：∵+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
解得：a＝3，b＝7，
∵a，b，c为三角形的三边，
∴4＜c＜10．
故答案为4＜c＜10．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及偶次方、二次根式的非负性，属于基础题型．
14. 如图，，若，则______．
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据证明得，，，再求出，然后利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知，．依据尺规作图的痕迹可求出的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法，等边三角形的判定和性质，先根据作图得出，平分，证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出．
【详解】解：根据作图可知：，平分，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵平分，
．
故答案为：3．
16. 已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．

【答案】（0，－）
【解析】
【详解】如图，根据题意画出图形,找出点N关于y轴的对称点N’,连接MN’,与y轴交点为所求的点P,
因为N(1, －1),所以N’(－1, －1),设直线MN’的解析式为,把M(3,2),N(1,1)代入得:
,解得,所以,令x=0,求得y=,则点P坐标为(0,).
故答案为: (0,).
三．解答题（共9小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则，根式性质，立方根的定义直接计算即可得到答案；
（2）根据根式的性质，立方根的定义直接计算即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【点睛】本题考查根式的性质，立方根的定义，幂的运算，解题的关键是熟练掌握 ，．
18. 解方程组或不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法；
（1）直接利用加减消元法解方程组即可；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定不等式的解集的公共部分即可．
【小问1详解】
解：
得，
解得：，
将代①入得，
；
则该方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：；
19. 如图，在直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于轴对称的图形；
（2）写出点，，的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）从三角形的三边向轴作垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接；
（2）从图形中找出点，，，并写出它们的坐标即可；
（3）利用割补法求的面积即可．
【小问1详解】
解：△A1B1C1如图所示．
【小问2详解】
由图形可知，；
【小问3详解】
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、作图-轴对称变换以及求三角形面积等知识，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
20. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图（所对应的是21人）．根据图中提供的信息．解答下列问题：

（1）这次抽样调查的学生人数是________人；并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图的值为________，其中“”组对应的圆心角度数为________；
（3）已知该校共有学生人，请根据调查结果估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数．
【答案】（1），详见解析；
（2）；；
（3）估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约为人．
【解析】
【分析】（）组人数组所占百分比被调查总人数，将总人数组所占百分比求出组人数，即可补全频数分布直方图；
（）组人数调查总人数即可得的值；组对应的圆心角度数组占调查人数比例；
（）将样本中课外阅读时间不少于小时的百分比乘以可得；
本题考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．
小问1详解】
这次被调查的学生共有：（人），
组人数为：（人），
补全图形如下：

故答案为：；
【小问2详解】
，则，
组对应的圆心角为：；
故答案为：；；
【小问3详解】
（人）．
答：估计该校每周课外阅读时间不少于小时的学生人数约为人．
21. 如图，于点，于点，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）7
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的性质与判定，熟记三角形全等的判定与性质是解题的关键。
（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可。
【小问1详解】
证明：在和中，
,
∴.
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证：
（1）；
（2） ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据，，，证明即可；
（2）由（1）可知，，则，由，可得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴．
23. 已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明即可得到答案；
（3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
．
24. 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的珺琟点．
（1）如图1，在中，，为的珺琟点，求的角度；
（2）如图2，为的珺琟点，延长交于点，已知，，求的值；
（3）如图3，为的珺琟点，连接、，为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可求解；
（2）过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，利用面积关系即可求解；
（3）过点P作，分别交于点E，F，连接；由平行线的性质及角平分线定义得; 证明，再证明，则可得；由，再进行等量代换、线段和差即可完成．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
∵为珺琟点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，如图；
∵为的珺琟点，
∴平分，
∴；
∵，，
∴；
【小问3详解】
证明：如图，过点P作，分别交于点E，F，连接；
∴；
∵为的珺琟点，
∴，，
∴，
∴；
同理：，
∴;
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线定义及性质定理，平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，构造适当辅助线证明三角形全等是解决（3）小题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，点Aa,0，点，且，满足，是等边三角形，
（1）求点，点的坐标；
（2）如图，在的外角平分线上有一点：
①连接，当最小时，求的长度；
②在轴上有一动点使得不变，当时，求点的横坐标．
【答案】（1），
（2）①；②5或7
【解析】
【分析】（1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标；
（2）①当时，最小，利用含30度直角三角形性质即可求解；
②分两种情况：当点P在点B左侧时，过点P作，证明，则得，过Q作轴于E，利用含30度直角三角形性质即可求解；当点P在点B右侧时，同理可得．
【小问1详解】
解：∵，且，
∴，
即，
解得：，
∴，；
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，是的外角平分线，
∴，，，
由A、B的坐标知，；
①当时，最小，
则，
∴；
②当点P在点B左侧时，如图，过点P作交于H；
则，
而，
∴是等边三角形，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
过Q作轴于E，
∵平分，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点Q的横坐标为5；
当点P在点B右侧时，如图，过点P作交延长线于H；
则是等边三角形，且，
∴；
同理证明，
∴；
过Q作轴于E，则，
∴，
∴，
即点Q的横坐标为7．
综上，点Q的横坐标为5或7．