浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024—2025学年上学期期中检测八年级数学试题（解析版）-A4

这是一份浙江省杭州市锦绣育才教育集团2024—2025学年上学期期中检测八年级数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学问卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知
A、，能组成三角形，不符合题意；
B、，能组成三角形，不符合题意；
C、，不能够组成三角形，符合题意；
D、，能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
3. 若，则下列式子一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行判断，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不改变；两边同乘或同除一个正数，则不等号方向不改变，两边同乘一个负数，不等号改变方向.
【详解】A选项，不等式两边同乘了不同的数，无法判断大小关系，例如a=1，b=-2，则3a＜-3b，故A错误；
B选项，不等式两边同乘，若m≠0，则成立，若m=0，则，故B错误；
C选项，不等式两边同乘得，成立，再两边同时减1得，也成立，故C正确；
D选项，不等式两边同时减2，不等号不改变方向，故D错误.
答案为C.
4. 若点P 的坐标是，点Q 与点P 关于y轴对称，则点Q在（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于y轴的对称点，判断点所在的象限，准确分析判断是解题的关键．根据对称的性质求点P关于y轴的对称点Q，进行判断即可；
【详解】解：∵点的坐标是，
∴点关于y轴的对称点坐标为，
∴点在第一象限；
故选：A．
5. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法比较大小
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的减小而减小；即可作答．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大；
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性的判断是解题的关键．
6. 下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则解答．
详解】解：当时，，而，
∴“若，则”是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7. 如图，点 C，D 在线段 AB 的同侧，如果∠CAB＝∠DBA，那么下列条件中不能判定△ABD≌△BAC 的是（ ）
A. ∠D＝∠CB. ∠CAD＝∠DBCC. AD＝BCD. BD＝AC
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形知道隐含条件BC＝BC，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、添加条件∠D＝∠C，还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
B、∵∠CAB＝∠DBA，∠CAD＝∠DBC，
∴∠DAB＝∠CBA，
还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
C、添加条件AD＝BC，还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项正确；
D、添加条件BD＝AC，还有已知条件∠CAB＝∠DBA，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，符合SSA和AAA不能推出两三角形全等．
8. 将直线向左平移3个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线向左平移3个单位后，所得直线的表达式为，即．
故选：D．
9. 如图，在中，，，点D是边的中点，，将点P绕着点C顺时针旋转得到点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】连接并延长，根据条件证明可得，当时，线段长度有最小值，用勾股定理即可求解．
【详解】解： 连接并延长，如图所示：
∵点P绕着点C顺时针旋转得到点，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴轨迹为过A点且垂直于直线的射线，即在射线上运动，
∴当时，线段长度有最小值，
∵点D是边的中点，
在中，，
∴
∴，
∴线段长度有最小值为；
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题，涉及旋转性质、 平行线性质、 等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题的求解方法步骤是解决问题的关键．
10. 高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为，，其中正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据取整函数的定义，对结论分别计算可得结果．
【详解】解：，故①错误；
若，故②错误；
若，则，解得，故③正确；
当时，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
值不可能为0，
综上的值为，，故④错误；
故正确的个数有个，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过的最大整数．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若点 P(2-m，3m+1)在 x 轴上，则 m=_____．
【答案】− .
【解析】
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式计算即可得解．
【详解】∵点P(2−m,3m+1)在x轴上，
∴3m+1=0，
解得m=−.
故答案为−.
【点睛】此题考查点的坐标，解题关键在于掌握其定义列出方程.
12. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的中线长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形中斜边上的中线．勾股定理求出斜边的长，利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得解．
【详解】解：由勾股定理，得：直角三角形的斜边，
∴斜边上的中线长为；
故答案为：．
13. 若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，由图象所在的象限得到关于的不等式组是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围．
【详解】解：∵一次函数不经过第三象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
14. 某种商品的进价为100元，出售标价为150元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打_____折．
【答案】八
【解析】
【分析】设可以打x折，根据利润不低于20%，即可列出一元一次不等式150x-100≥100×20%，解不等式即可得出结论．
【详解】解：设可以打x折，根据题意可得：
150x−100≥100×20%，
解得x≥0.8
所以最多可以打八折．
故答案为八
【点睛】一元一次不等式的应用
15. 如图，已知长方形纸板的边长，在纸板内部画，并分别以三边为边长向外作正方形，当边和点都恰好在长方形纸板的边上时，则的面积为_____________
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
由“”可证可得，同理可证，由线段的和差关系可得，可求的长，然后根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，延长交于R，延长交于Q，
∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为6．
16. 如图，在长方形纸片中，，，点M 为上一点，将沿翻至， 交于点G，交于点F，且，则的长度是_____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据条件列出方程是解题的关键．
先证明，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，
（1）以x 轴为对称轴，作出的轴对称图形，点 A、点 B对于点分别是点C、点D；
（2）求的面积．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和三角形面积，熟练掌握轴对称图形的作法是解题的关键；
（1）根据轴对称图形的性质确定A、B、O三点关于x轴的对称点位置，在顺次连接即可；
（2）通过割补法来计算三角形面积即可
【小问1详解】
解：即为所求
【小问2详解】
解：如图所示：
由题意得：，，，
，，，
，
．
19. 如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②．
（1）选择 条件（填序号）使得，并给出证明；
（2）若边与交于点G，，，求的长．
【答案】（1）②，证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等的判定定理是解题的关键．
（1）根据得，依据可判定，故选择②；
（2）根据得及，得，根据等腰三角形的性质得，根据线段和差关系计算即可．
【小问1详解】
选择②，理由：
∵，
，
∴，
在和中
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
20. 星期六小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，小明所走的路程（米）与所用时间（分）之间的关系如图所示．
（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？
（2）求小明休息后爬山中与之间的函数关系式，并计算经过80分钟小明爬山所走的路程．
【答案】（1）小明休息前爬山的平均速度是米/分，休息后爬山的平均速度是米/分
（2）经过80分钟小明爬山所走的路程是3300米
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，求一次函数解析式，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
（1）根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，分钟休息，分钟爬山米，爬山总路程为3800米，
（2）设小明休息后爬山中与之间的函数关系式为，把代入，求出k和b的值，得出y与x的函数解析式，将代入进行计算即可．
【小问1详解】
解：小明休息前爬山的平均速度是（米/分），
小明休息后爬山的平均速度是（米/分），
【小问2详解】
解：设小明休息后爬山中与之间的函数关系式为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
即经过80分钟小明爬山所走的路程是3300米．
21. 某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用，
【答案】（1）每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元；
（2）当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元．
【解析】
【分析】（1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，
依题意，得：，
解得：，
答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元；
【小问2详解】
解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶，
依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)，
解得17.5≤a≤20，
∵a为正整数，
∴a取18、19、20，
而W=45a+35(30-a)=10a+1050，
∵10＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230，
此时30－18＝12，
答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
22. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ（点P和点Q分别是点M和点N的对应点），连接MP、NQ，点K是线段MP的中点．
（1）求点K的坐标；
（2）若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点），当BC与x轴重合时停止运动，连接OA、OE，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示三角形OAE的面积S（不要求写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OB、OD，问是否存在某一时刻t，使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒
【解析】
【分析】（1）根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN∥y轴∥PQ，根据K是PM的中点可得K的坐标；
（2）根据三角形面积公式可得三角形OAE的面积S；
（3）存在两种情况：
①如图2，当点B在OD上方时
②如图3，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论．
【详解】（1）由题意得：PM＝4，
∵K是PM的中点，
∴MK＝2，
∵点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），
∴MN∥y轴，
∴K（4，8）；
（2）如图1所示，延长DA交y轴于F，
则OF⊥AE，F（0，8﹣t），
∴OF＝8﹣t，
∴S△OAE＝OF•AE＝（8﹣t）×2＝8﹣t；
（3）存在，有两种情况：，
①如图2，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，0），
∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，
S△OBD＝S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH，
＝OG•BG+（BG+DH）•GH﹣OH•DH，
＝×2（6-t）+×4（6﹣t+8﹣t）﹣×6（8﹣t），
＝10﹣2t，
∵S△OBD＝S△OAE，
∴10﹣2t＝8﹣t，
t＝2；
②如图3，当点B在OD上方时，
过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，
则B（2，6﹣t），D（6，8﹣t），
∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，
S△OBD＝S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG，
＝OH•DH﹣（BG+DH）•GH﹣OG•BG，
＝×2（8-t）﹣×4（6﹣t+8﹣t）﹣×2（6﹣t），
＝2t﹣10，
∵S△OBD＝S△OAE，
∴2t﹣10＝8﹣t，
t＝6；
综上，t的值是2秒或6秒．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23. 定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”．
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则________；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余．求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据“倍角互余三角形”的概念结合，，即可求解；
（2）根据，得出，又根据，得出，即可证明；
（3）①当平分时，则，证明出，得出，设，则，，利用勾股定理求解得，所以．②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点．设，则，根据点、点关于对称，进一步得出，即，利用等积法求得：，在利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形．
【小问3详解】
解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以．
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点．
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形．
【点睛】本题考查了新概念问题，勾股定理、三角形全等、垂直、角平分线、互余、对称问题，解题的关键是理解“倍角互余三角形”的概念．
24. 如图，在中，E 是中点，F 是上一动点，连接， 将沿直线折叠得．

（1）如图①，若点D 恰好落在线段上，求证：；
（2）如图②，若为等边三角形，且边长为，当点D 落在线段上时，求的长度：
（3）如图③，若为直角三角形，，．连接，若与面积相等，且，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4
（3）48
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）如图①中，首先证明，再证明，可得结论；
（2）如图②中，过点D作于点H．证明，设，构建方程求解；
（3）如图③中，设，利用勾股定理求出y，可得结论．
【小问1详解】
证明：如图①中，连接．

∵E是的中点，
∴，
由翻折的性质可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴；
【小问2详解】
解：如图②中，过点D作于点H．
∵是等边三角形，，
∴，，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图③中，设，
∵，
∴，
∵，
∴点在的中线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．