湖南省长沙市华益中学2024—2025学年上学期第1次月考八年级数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省长沙市华益中学2024—2025学年上学期第1次月考八年级数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 某自动控制器的芯片，可植入2020000000粒晶体管，这个数字2020000000用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.202×1010B. 2.02×109C. 20.2×108D. 2.02×108
【答案】B
【解析】
【分析】先将原数表示成形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为把原数变成a时，小数点向左移动的位数．
【详解】解：2020000000＝2.02×109，
故答案为B．
【点睛】本题考查了科学记数法，即将原数表示成形式为a×10n的形式时，确定a和n的值是解答本题的关键．
2. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．
【详解】解：，故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形B. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
C. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D. 三个角都相等的三角形是等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．
【详解】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；
C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；
D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一指的是顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合．
4. 若实数m、n满足 ，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 （ ）
A. 12B. 10C. 8或10D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.
【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，
又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，
①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，
②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，
故选B.
【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.
5. 在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）
A. （﹣3，﹣2）B. （2，2）C. （﹣2，2）D. （2，﹣2）
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【详解】点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选B．
【点睛】本题主要考查图形的平移和图形的轴对称，掌握点在直角坐标系中平移的特点以及点关于x轴对称点的特点是解答本题的关键.
6. 已知在中，，，的度数之比为，则这个三角形是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．设三角形的三个内角分别是，，．根据三角形的内角和是，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵在中，，，的度数之比为，
∴设三角形的三个内角分别是，，．
根据三角形的内角和定理，得，
解得．
三个内角分别是，，．
该三角形是直角三角形．
故选：A．
7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在点E处，交于点F且，则的长为（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据矩形的性质得到，得到，根据翻转变换的性质得到，，可得，即可求解．
【详解】解：在长方形中，，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
∴，
∵，
，
故选：C．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE=BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1
考点：线段垂直平分线的性质
10. 如图，已知等边中，点为线段上一点，将沿翻折得到，点与重合，连接，若则的度数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质可得，则，根据三角形内角和定理得，则，将用含m的式子表示出来，则可得的度数，再用减去即可得的度数．
【详解】由折叠性质可得，≌，
，，
为等边三角形，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查多项式除以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，当顶角为或底角为时，分别求解即可．
【详解】解：当顶角为时，底角为，此时顶角为：；
当底角为时，顶角为，此时顶角为；
综上，顶角的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等，学会利用分类讨论的思想求解问题．
13. 已知点在第一象限，则点在第_________象限．
【答案】二
【解析】
【分析】此题主要考查根据坐标判定点所在的象限，首先根据点所在的象限可判定同号，然后即可判定点所在的象限.
【详解】解：∵点在第一象限，
∴，
∴，
∵，
∴点在第二象限，
故答案：二．
14. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点A到河岸的中点的距离为300米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米．
【答案】600
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，作A关于的对称点，连接与相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是的长．证明，得出 ，M为的中点，根据A到河岸的中点的距离为300米，求出结果即可．
【详解】解：作A关于的对称点，连接与相交于M，连接，如图所示：
根据轴对称可知：，，，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴、、三点共线时，最小，即最小，
∴此时最小，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴M为的中点，
∵A到河岸的中点的距离为300米，
∴到M的距离为300米，
即米，
∴米，
∴（米）．
故答案为：600．
15. 如图所示，过等边的顶点A，B，C依次作的垂线三条垂线围成，已知，则的周长是______ ．
【答案】36
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形判定与性质，所对的直角边是斜边的一半等知识，本题中为等边三角形，通过证明，得．证明是等边三角形，易得，，即可作答．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
同理：，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
所以的周长，
故答案为：36
16. 任意一个正整数m都可以表示为：（a、b均为正整数），在m的所有表示结果中，当最小时，规定．如，因为，所以．根据上述材料，_________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查了有理数的运算，并在新定义中综合运用乘方、绝对值等知识，根据新定义及样例求出最小的，代入，即可得出答案．
【详解】解：∵（a、b均为正整数），
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、121题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．先化简绝对值、乘方、零指数幂，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
19. 阅读下列材料，完成相应任务．
【探究三角形中边与角之间的不等关系】
学习了等腰三角形，我们知道在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．
如图1，在△中，已知．求证．
证明：如图2，将△折叠，使边落在上，点落在上的点处，折痕交于点．则．
∵________（三角形外角的性质）
∴
∴（等量代换）
类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．
（1）任务一：将上述证明空白部分补充完整；
（2）任务二：上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是________；（填正确选项的代码：单选）
A．转化思想 B．方程思想 C．数形结合思想
（3）任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有________（将正确的代码填在横线处：多选）．
①在△中，，则；
②在△中，，，则△是锐角三角形；
③△中，，则最长边是；
④在△中，，，则．
【答案】（1）
（2）A （3）②③④
【解析】
【分析】（1）根据三角形的外角性质即可判断；
（2）根据条件即可判断；
（3）根据“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”依次判断即可
【小问1详解】
解：∵是的外角，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，
即可判断其主要体现的数学思想是转化法；
故选：A；
【小问3详解】
解：根据“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”
①在△中，，则，但是不能判断，故错误；
②在△中，，
,
，
三个内角均小于，
为锐角三角形，故正确；
③ 中，，
,，
对应的边最长，故正确；
④在△中，，，
，
，
，故正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，转化思想，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
20. 如图，中，，平分，交于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由平分得，证，得即可；
（2）在等腰三角形中，，利用等腰三角形性质及内角和定理求出，结合已知即可求出．
【小问1详解】
证明：平分
在与中
是等腰三角形
【小问2详解】
由（1）可知，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了三角形内角和定理；熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．
21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1 和2 所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占 %，所对应的圆心角度数为 ；
（3）若该校八年级一共有 1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？
【答案】（1）50，见解析
（2）20，
（3）100
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键．
（1）根据选择无人机课程的人数除以占比可求出参加问卷调查的人数为50名即可解决问题．
（2）根据（1）中求得的结果即可解决问题．
（3）求出样本中选择“航模”课程的百分比即可解决问题．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的学生人数为名，
参加人工智能的学生人数为名．
补全条形统计图，如图所示，
【小问2详解】
解：因为，
所以选择“创客”课程的学生占．
因为，
所以扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为．
故答案为：20，．
【小问3详解】
解：（名），
答：估计选择“航模”课程的学生有100名．
22. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答）
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？
【答案】（1）该班胜9场，负3场
（2）该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：胜场数负场数场，胜场的得分负场的得分分，列方程组，即可求解；
（2）不等关系式：3分线外投篮得分在3分线内（含3分线）投篮得分分，列出不等式，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
小问1详解】
解：设该班胜x场，负y场，根据题意得
解得：
答：该班胜9场，负3场
【小问2详解】
解：设该班在这场比赛中投中了m个得3分的球，则投中个得2分的球，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为4．
答：该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球．
23. 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于．
如
（1）求的度数；
（2）证明是等边三角形；
（3）若的长为2，求的边长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）8
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形性质和判定，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）先在中得到，再由，得到，代入求解即可；
（2）由垂直平分得，利用外角可得，再利用，可得，最后根据得到是等边三角形；
（3）利用在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半得到，进而得到，最后得到．
【小问1详解】
解：在中，
，，
，
又，
．
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，
，
，
．
∵，是边上的中线，
∴，
，
，
，
∴是等边三角形；
【小问3详解】
解：垂直平分，
．
，，
．
∵，
，
∵是等边三角形，
，
．
又，
．
24. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的n倍的点称为“n倍关联点”，如是“2倍关联点”，是“倍关联点”．
（1）我们已知，当时，则有．若点，是“3倍关联点”，是“2倍关联点”，请求出x和y的值；
（2）若t为正整数，点是“倍关联点”，求的值；
（3）若点的坐标满足方程（k，s是常数），请问点A能否成为“倍关联点”？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1），
（2）0 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查点的坐标，弄清定义，熟练掌握二元一次方程组的解法，幂的乘方运算，一元一次方程关于解的讨论是解题的关键．
（1）根据定义可得方程，，求出、的值即可；
（2）根据题意可求，再根据幂的乘方运算求值即可；
（3）根据定义可得方程，再分三种情况求解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，是“3倍关联点”，是“2倍关联点”，
∴，，
∴，
解得：，；
【小问2详解】
解：∵点是“倍关联点”，
∴，
∴，
∴
；
【小问3详解】
解：若点是“倍关联点”，
∴，
∵点的坐标满足方程，
∴，
，
当时，，
∴；
当，时，点有无数个；
当，时，点不存在；
综上所述：当时，点坐标；当，时，点无数个；当，时，点不存在．
25. 在中，AD是角平分线．
（1）如图1，，．已知，，，求的长；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，，，．若，求证：．
【答案】（1）2 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质；
（1）利用角平分线的性质可得，再利用求解即可；
（2）作点到、边的垂线，根据三角形面积公式即可得出结论；
（2）在上取点，使，再构造角平分线模型，作的角平分线，由可证明、、都是等腰三角形，，，结合（1）的结论即可解题．
【小问1详解】
解：∵在中，AD是角平分线，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，作，，，
∴，，
∵在中，AD是角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
；
【小问3详解】
解：如图，在上取点，使，作的角平分线交于点，
在中，，，
，
是角平分线，
∴
又，，
∴，
，，
，
∴，
，
又是角平分线，
，
，，
，
，
∴
是角平分线，
由（2）可得，即，
，