长沙市明德中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1.已知，集合，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】求定义域得到，解不等式得到，求出利用补集和交集概念进行求解.
【详解】由题意得，解得，故，，，解得，故，故选：B
2.在下列区间中函数的零点所在的区间为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【详解】因为，所以函数零点在区间，故选A．
3.已知，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别判定与0、1的大小关系，即可得出结论.
【详解】，，，∴,
故选：B.
4.已知角是的内角，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合特殊角的三角函数值，对条件进行判断.
【详解】已知角是的内角，当时，有；当时，有或，
所以则“”是“”的充分不必要条件.故选 ：B
5.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：
A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年
【答案】C
【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．
【详解】依题意，第n时投入资金为亿元，
设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
则,得，
两边同取常用对数，得，所以，
所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C．
6.如图，点A为单位圆上一点，，已知点A沿单位圆按逆时针方向旋转到点，则的值为（ ）

A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的正弦和余弦值，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】根据题意，利用三角函数的定义，可得，
所以.故选：C.
7.函数的图象大致为（ ）
A.B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】先求定义城、判断函数的奇偶性，利用定义域、奇偶性排除部分选项，再利用特殊点处的函数值或特殊区间内函数的值域排除其他不合适的选项．
【详解】易知的定义域为，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当时，，排除D．故选A．
8.已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值.
【详解】由可得，①
对任意的，，所以，，②
由①②可得，所以函数是周期为的周期函数．
因为为偶函数，则，
因为，由可得，且，
由可得，
因为，所以，，故函数为偶函数，
因为，则，所以，，
由可得，
因为，所以，
.故选：B.
二、多选题（本题共4个小题，每小题5分．共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分）
9.已知，则下列不等式一定成立是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】CD
【解析】【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D.
【详解】由，则，A错；
当时，B错；
，即，C对；
，即，D对.
故选：CD
10.已知函数的最大值为3，且的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为B.
C.函数的图象关于点对称D.函数在上单调递减
【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数的性质求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为的最大值为，所以，
又的图象关于直线对称，所以，，所以，，
因为，所以，所以，则函数的最小正周期，故A错误；
，故B正确；
，所以关于对称，故C正确；
当，则，因在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故D正确；故选：BCD
11.下列命题中正确的是（ ）
A.点（，0）是函数的一个对称中心
B.函数的值域为R，则或
C.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D.
【答案】ABD
【解析】【分析】由正切函数的对称中心方程可验证A，由复合型对数函数值域为R可得的值域包含，则，可解B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，利用三角函数的图象与性质可求D.
【详解】对于A，令，得，，
当时，，所以点是函数的图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，因为函数的值域为R，所以，解得或，故B正确；
对于C，圆心角为的扇形的弧长为，所以扇形的半径长为，则该扇形面积为，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，故D正确；故选：ABD.
12.已知函数，则以下结论正确的是（ ）．
A.函数为增函数
B.
C.若在上恒成立，则的最小值为8
D.若关于的方程有三个不同的实根，则
【答案】BCD
【解析】【分析】根据解析式可整理得到当，时，；
根据可知A错误；根据且可知B正确；由恒成立可确定C正确；
由方程根的个数可确定与有且仅有三个不同交点，根据在每一段上的值域可分析得到不等关系，解不等式可知D正确.
【详解】当时，；
当时，；
依次类推，当，时，；
对于A，，，不符合增函数定义，A错误；
对于B，，，
对于，不等式恒成立，B正确；
对于C，当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，
因为，则，在上恒成立，的最小值为，C正确；
对于D，由得：，
当时，则，方程无解，不合题意；
当时，则或；与有且仅有三个不同交点；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；，解得：；D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：本题考查函数中的类周期问题的求解，解题基本思路是根据解析式的变化规律确定函数解析式的形式及每一段解析式对应的值域，根据每个选项中的考点：单调性、最值、恒成立及方程根的个数问题，结合解析式和值域确定结果.
三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13.已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数定义可得系数，可解得的值，再利用单调性即可得出.
【详解】根据题意可得，解得或；
当时，函数在上单调递增，不合题意；
当时，函数在上单调递减，符合题意；所以.故答案为：
14.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】25
【解析】【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】因为正实数x，y满足，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为25.故答案为：25.
15.已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】【分析】将函数零点个数问题转化成方程解的个数问题，进一步转化成图像的交点个数问题.
【详解】函数在区间上有两个零点，
即在区间上有两个不同的解，
即在区间上有两个不同的解，
转化成与在区间上有两个不同的交点，
结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增，
且，所以，解得，故答案为：.
16.已知函数（，），，，且在区间上有且只有一个最大值，则的最大值为________．
【答案】
【解析】【分析】根据题意列出方程组，求出 的表达式，求出符合条件的，再根据在区间上有且只有一个最大值，分类讨论确定的值是否适合题意，可得答案.
【详解】由知，关于对称，又因为，
所以,，则,，，
其中，,
当时，，，；
当时，，，.
又在区间上有且只有一个最大值，所以，
得，即，所以.
当时，，，此时，此时有2个最大值，舍去；
当时，，此时，此时有1个最大值，成立，
所以的最大值为，故答案为：
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：
（1） ；
（2）已知，则的值.
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根据分数指数幂以及对数恒等式和换底公式进行化简，即可得答案；
（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】，
故.
18.已知角满足，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）首先由，得，再由同角三角函数的基本关系式求答案即可；（2）活用常数“1”，再弦化切即可求得答案.
【小问1详解】因为，所以，
所以，又因为，所以；
【小问2详解】，解得或；
由于，所以，所以，
.
19.已知函数（）的图象相邻两对称轴之间的距离为，过点．
（1）当，时，求函数的最大值、最小值及相应的x的值；
（2）求函数在上单调减区间．
【答案】（1）当时，函数的最大值为； 当时，函数的最小值为；
（2）
【解析】【分析】（1）由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数的最小正周期为，则，然后分类讨论，代入 可得的解析式，根据解析式求最值以及取最值时的x值即可；
（2）利用正弦型函数的单调性，结合整体代入法即可得解.
【小问1详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的最小正周期为，即，得，
当时，，
将代入可得，
所以，即，
由于，所以当时，满足题意；
所以，
当时，，
将代入可得，
所以，即，
由于，所以当时，满足题意；
所以，
综上，，
当时，，
所以当，即时，函数的最大值为；
当，即时，函数的最小值为.
【小问2详解】因为，
由得，
当时，；当时，；
所以函数在上的单调递减区间为.
20.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）奇函数； （2）.
【解析】【分析】（1）先求定义域，然后判断与的关系即可；
（2）根据单调性的性质判断函数的单调性，然后结合奇偶性和定义域去掉函数符号即可求解.
【小问1详解】由解得，即的定义域为，
又，所以，函数为奇函数.
【小问2详解】由（1）知，函数为奇函数，
所以，
易知均为增函数，所以单调递增，
又定义域为，所以，，解得，即实数m取值范围为.
21.随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：
（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③
（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.
【答案】21.见解析
22.
【解析】【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
（2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到的取值范围，从而得到结果.
【小问1详解】从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
函数增长的速度越来越快，
选择③（且）
代入表格中的三个点可得：，解得：
，.
【小问2详解】由（1）可知：，
故不等式对恒成立，
对恒成立，
令，则， ，，
在单调递增，则，
.
22.已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若且，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】【分析】（1）由定义可知有解，整理后转化为证明一元二次方程恒有解；
（2）由定义可知有解，可得方程在上有解，求出的范围即可；
（3）根据整理为（*）在上有解，通过换元，设，转化为关于的一元二次方程在内有解，列式求参数的取值范围.
【小问1详解】由得，
代入得，
得到关于的方程，其中，
由于且，∴恒成立，∴函数必有局部对称点；
【小问2详解】因为函数在上有局部对称点，
所以，即，即方程在上有解，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，所以，解得，所以实数的取值范围为；
【小问3详解】∵在上有局部对称点，
∴在上有解，
即（*）在上有解，
令，则，
∴方程（*）变为在内有解，
需满足条件，即，化简得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，将新定义转化为方程有根求参数的取值范围，第三问的关键点是代入后利用换元，则，转化为一元二次方程有实数根，求参数的取值范围.建立平台第年
1
2
3
4
会员个数（千人）
14
20
29
43