自贡市蜀光绿盛实验学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份自贡市蜀光绿盛实验学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2．用配方法解方程时,原方程变形为( )
A.B.C.D.
3．对于二次函数的图象,下列说法不正确的是( )
A.开口向下B.对称轴是直线
C.当时,y有最大值D.当时,y随x的增大而减小
4．一元二次方程的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.只有一个实数根
5．二次函数向左平移3个单位,向上平移1个单位得到函数解析式是( )
A.B.C.D.
6．用公式法解方程,得到( )
A.B.
C.D.
7．生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是( )
A.B.
C.D.
8．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
A.B.且
C.D.且
9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A.12B.9C.13D.12或9
10．已知m,n是方程的两根,则代数式的值是( )
A.B.12C.3D.0
11．在同一坐标系中,一次函数与二次函数的图象可能是( )
A.B.C.D.
12．二次函数,当且时,y的最小值为2m,最大值2n,则的值等于( )
A.0B.C.D.
二、填空题
13．把方程化为一般形式是______.
14．已知函数,当____________时,它是二次函数.
15．若一元二次方程的两个实数根为a,b,则的值为______.
16．如图所示,在宽为米、长为米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地,若耕地面积需要平方米,设修建的路宽为x米,根据题意,可列方程为____________.
17．设,,是抛物线上的三点,则,,的大小关系为______.
18．二次函数的图象如图,点位于坐标原点,点、、、…、在y轴的正半轴上,点、、、…、在二次函数位于第一象限的图象上.若、、、…、都为等边三角形,则的边长为__________________.
三、解答题
19．解方程：
(1)用直接开平方法：；
(2)用配方法：；
(3)用公式法：；
(4)用因式分解法：.
20．已知关于x的方程.
(1)若该方程的一个根为2,求a的值及该方程的另一根.
(2)求证：不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
21．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中.
(1)求二次函数和一次函数解析式.
(2)求的面积.
22．已知关于x的一元二次方程有实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为,,若,求m的值.
23．某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率；
(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元？
24．阅读材料：
为了解方程,我们可以将看作一个整体,设,那么原方程可化为①,解得,.
当时,,∴.∴；
当时,,∴.∴.
故原方程的解为,,,.
解答问题：
(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：；
(3)请利用以上知识解方程：.
25．平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A,,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式,并直接写出点A,C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使是直角三角形？若存在,请直接写出点P的坐标,请说明理由；
(3)如图,点M是直线上的一个动点,连接,是否存在点M使最小,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：A、,变形为：,是关于x的一元二次方程,故本选项符合题意；
B、,不是整式方程,故本选项不符合题意；
C、,当a为0时,则不是关于x的一元二次方程,故本选项不符合题意；
D、,变形为：,不是关于x的一元二次方程,故本选项不符合题意；
故选：A.
2．答案：B
解析：,
,
,
,
故选：B.
3．答案：D
解析：∵二次函数,
∴该函数图象开口向下,故选项A正确,不符合题意；
对称轴是直线,故选项B正确,不符合题意；
顶点坐标为,故选项C正确,不符合题意；
当时,y随x的增大而增大,故选项D错误,符合题意；
故选：D.
4．答案：C
解析：
，
原方程无实数根.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意知,二次函数向左平移3个单位,向上平移1个单位得到函数解析式是,
即,
故选：D.
6．答案：C
解析：,
,
,
∴,
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意可得,
,
故选B.
8．答案：B
解析：由题意知，，方程有两个不相等的实数根，
所以，.
又方程是一元二次方程，，
且.
故选：B.
9．答案：A
解析：因式分解可得：
解得：,
当2为底,5为腰时,则三角形的周长为；
当5为底,2为腰时,则无法构成三角形,
故选：A.
10．答案：B
解析：,n是关于x的方程的两根,
,,.
.
故选：B.
11．答案：C
解析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得,
当时,
二次函数图象开口向上,顶点在y轴负半轴,
一次函数经过一、二、四象限；
当时,
二次函数图象开口向上,顶点在y轴正半轴,
一次函数经过一、二、三象限.
符合条件的只有选项C,
故选：C.
12．答案：B
解析：二次函数的大致图象如下：
.
①当时,当时,y取最小值,即,
解得：,(舍去).
当时,y取最大值,即,
解得：或(均不合题意,舍去)；
②当时,当时,y取最小值,即,
解得：.
当时,y取最大值,即,
解得：,
或时,y取最小值,时,y取最大值,
,,
∴,
∵,
∴此种情形不合题意,
所以.
故选：B.
13．答案：
解析：由得：,
故答案为：.
14．答案：
解析：∵是二次函数,
∴,
∴或(舍去).
故答案为：-1.
15．答案：5
解析：根据题意得,
故答案为：5
16．答案：
解析：设路宽为xm,那么余下耕地的长为,宽为,
根据面积可列出方程.
.
故答案为..
17．答案：
解析：抛物线的开口向下,对称轴为直线,
而离直线的距离最远,点离直线最近,
.
故答案为：.
18．答案：
解析：如图,分别过、、作y轴的垂线,垂足为A、B、C,设,,,a、b、c均大于0,
∵、、是等边三角形,
∴,,,
∴,
将代入得,
解得,或(舍去),
∴；
∴,
将代入得,
解得,或,
∴；
∴,
将代入得,
解得,或(舍去),
∴；
……
∴的边长为,
故答案为：.
19．答案：(1),
(2),
(3),
(4),
解析：(1),
,
,；
(2),
,
,
,
,；
(3),,
,
,
,；
(4),
,
或,
,.
20．答案：(1),
(2)证明见解析
解析：(1)∵方程的一个根为2,
∴,
解得：,
∴,
∴,
∴；
(2)证明：由题意可得,
,
∵,
∴,
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根；
21．答案：(1)，；
(2)3
解析：(1)一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数表达式为，
过点，
，解得，
二次函数表达式为；
(2)在中，令，得，
，
由一次函数与二次函数联立可得，
解得或
A的横坐标点B的横坐标.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵关于x的一元二次方程有实数根.
∴,
解得：.
(2)∵关于x的一元二次方程的两个根分别为、,
∴,,
∵,
∴,即,
解得：,(舍去),
∴实数m的值为.
23．答案：(1)两次下降的百分率为10%
(2)每件商品应降价2.5元
解析：(1)设每次降价的百分率为x.
,
即：,
或(190%不符合题意,舍去),
答：两次下降的百分率为10%；
(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,
由题意,得,
化简得：,
解得：,,
∵有利于减少库存,
∴.
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价2.5元.
24．答案：(1)换元
(2),,,
(3),
解析：(1)换元
(2)设,
则原方程化为：,
,
解得,,
①当,即时,解得；
②当,即时,解得.
综上所述,原方程的解为：,,,；
(3)设,
原方程化为：,
解得：,,
∵,
∴,
当时,,解得,,
原方程的解为：,.
25．答案：(1),,
(2)存在,,,,
(3)存在点M使最小,
解析：(1)将代入,
即,
解得,
,
令,,
令,,
解得,,
,；
(2)存在点P,使是直角三角形,
,对称轴为直线,
设,
,,
,
,
,
①当时,,
,
解得；
②当,,
,
解得；
③当,,
,
解得或,
综上所述,或或或；
(3)存在
作O点关于的对称点Q,连接交于点M,连接,
由对称性可知,,
,
当A,M,Q三点共线时,有最小值,
,,
,
,
由对称性可知,,,
,
,
设直线的解析式为,
,
解得,
直线的解析式为,
设直线解析式为,
,
解得,
故直线解析式为,
联立方程组,
解得.
故.