黑龙江省大庆市肇源县西部四校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份黑龙江省大庆市肇源县西部四校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分．）
1. 实数，，，，，（相邻两个之间依次多一个），其中无理数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义即无限不循环小数是无理数判断即可．
【详解】、、是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，相邻两个之间依次多一个，共有个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的判断，熟记无理数的定义是解题的关键．
2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，则不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，2，B. 6，8，10C. 3，4，5D. 5，12，13
【答案】A
【解析】
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 无理数不是实数B. 无理数是带根号的数
C. 带根号的数是无理数D. 无理数是无限不循环小数
【答案】D
【解析】
【分析】实数包括有理数和无理数，所以A答案错误；无理数是无限不循环小数，∴B、C答案错误．利用排除法就可以确定本题的正确答案．
【详解】用排除法解答本题：
A、答案错误，∵实数包括有理数和无理数，
∴无理数是实数．
B、C、答案错误，
∵无理数的定义是无限不循环小数．
∴正确答案为D．
故选D．
【点睛】本题是一道关于实数的问题．考查了实数的概念及对实数的理解和无理数的定义及判断．
4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为( )．
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的长度；然后在直角△ACD中，根据勾股定理来求线段AC的长度即可．
【详解】如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
又∵AB=17，BD=15，DC=6，
∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2−BD2=64.
在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC= =10，即AC=10.
故选B.
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于掌握运算公式.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 的立方根是B. 的平方根是
C. 的立方根是D. 的立方根是
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是求一个数的立方根或平方根，掌握立方根的含义是解题的关键．如果 那么是的平方根，如果 那么是的立方根，根据立方根和平方根的含义逐一分析可得答案．
【详解】解：A、的立方根是，故此选项错误，不符合题意；
B、没有平方根，故此选项错误，不符合题意；
C、16的立方根是，故此选项正确，符合题意；
D、的立方是，的立方根不是，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
6. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=20-x，BC=9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
7. 下列式子中，是最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
【详解】解：、，选项不是最简二次根式，不符合题意；
、，选项不是最简二次根式，不符合题意；
、是最简二次根式，符合题意；
、，选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
8. 如图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形的面积减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为四个直角边长分别为m、n的直角三角形的面积.
【详解】解：∵大正方形面积减去小正方形面积得到图②的面积，
∴.
即，
故选B.
【点睛】本题是利用几何图形的面积来验证等式，解题的关键是利用勾股定理及三角形面积公式正确表示出左右两边的阴影部分的面积.
9. 的平方根是（ ）
A. 16B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根．
【详解】解：∵，4的平方根为±2，
∴的平方根是，
故选C．
【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9，则S1的值为（ ）
A. 18B. 12C. 9D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】过A作AH∥CD交BC于H，根据题意得到∠BAE=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】∵S2=48，∴BC=43，过A作AH∥CD交BC于H，则∠AHB=∠DCB．
∵AD∥BC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH=BH=AD=23，AH=CD=3．
∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=3，∴S1=3．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、选择题（每题3分，共24分）
11. 已知|a－5|＋＝0，那么a－b＝_______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用非负数性质得：a－5＝0，b＋3＝0，可求a，b．
【详解】因为|a－5|＋＝0，|a－5|≥0，≥0，
所以，a－5＝0，b＋3＝0，
所以，a＝5，b＝－3
所以，a－b＝8
故答案为：8
【点睛】本题考核知识点：非负数性质． 解题关键点：利用非负数性质．
12. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____．
【答案】50
【解析】
【分析】根据∠C的度数确定△ABC为直角三角形，且AB为斜边，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边．
∵AB=5，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
13. 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为________．

【答案】64
【解析】
【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．
【详解】解：两个阴影正方形的面积和为 ，
故答案为：64．
【点睛】本题考查了正方形的面积以及勾股定理的应用，准确识图是解题的关键．
14. 如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=_____．
【答案】70
【解析】
【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3．故S3=70．
【详解】设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：
则，，.
∵a2+b2=c2，
∴．
即S1+S2=S3．
∴S3=70．
故答案为70.
【点睛】本题考查了圆的面积公式和勾股定理的应用，注意发现此图中的结论：S1+S2=S3．
15. 若与是同一个数的平方根，则a的值为________.
【答案】或3
【解析】
【分析】由题意可知，与相等或互为相反数，由此即可列出关于a的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：当时，；当时，．
综上，a的值为或3.
故答案为或3.
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
16. 实数在数轴上的位置如图所示，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】由a在数轴上对应的点的位置可得：1 ＜a＜2，从而得到：a-1＞0，a-2＜0，再利用绝对值和二次根式的意义化简即可．
【详解】由题意得：1＜a＜2，
∴a-1＞0，a-2＜0，
∴
故答案： 1．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，二次根式的化简，同时考查了利用数轴比较数的大小，去括号，整式的加减运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17. 观察下列各等式：，，，…用自然数n表示一般规律为________.
【答案】
【解析】
【分析】将所给式子变形可得，，，易得规律，
【详解】解：将所给式子变形可得，，，
故用自然数n表示一般规律为.
【点睛】本题考查立方根的性质以及数字类规律探索，要求学生有一定的观察能力和总结能力，难度不大.
18. 一个透明的圆柱形的玻璃杯，测得其底面半径为3cm，高为8cm，今有一根长度为12cm的细吸管斜放在杯子中，则吸管露出杯口外的长度最少为________.
【答案】2cm
【解析】
【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】如下图所示：
∵底面半径为3厘米，高为8厘米，
∴AC=6厘米，BC=8厘米，
∴AB= =10厘米，
∴杯口外的长度最小为：12−10=2(厘米).
故答案为2cm.
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算.
三、计算题（共16分）
19. 计算：
（1）；
（2）（）+.
【答案】（1）0；（2）4
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据二次根式的性质，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的性质和乘法的分配律，先化简二次根式，再合并同类二次根式即可.
试题解析：（1）原式==0；
（2）原式==4-=4.
20. 求满足下列式子的x的值：
（1）4x2﹣16=0 （2）﹣8（x+1）3=27．
【答案】（1）x=±2；（2）﹣.
【解析】
【分析】（1）利用开平方可求得方程的解，
（2）利用开立方可求得方程的解．
【详解】（1）4x2﹣16=0，
x2=4，
x=±2．
（2）﹣8（x+1）3=27，


【点睛】考查平方根与立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键.
四、解答题：（共50分）
21. 在波平如镜的湖面上有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺(如图)．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲离开原处的水平距离为6尺，请问水深多少？
【答案】4.5尺．
【解析】
【详解】试题分析：首先画出示意图，设水深为h尺，则AB＝h尺，然后表示出AC、BC的长度，由勾股定理列方程求解即可.
试题解析：
设水深h尺，根据题意画出图形，如图：
在Rt△ABC中，AB＝h尺，AC＝(h＋3)尺，BC＝6尺．
由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即(h＋3)2＝h2＋62，解得h＝4.5.
∴水深4.5尺．
点睛：本题关键在于设出未知数，找出等量关系列方程求解.
22. 对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，，如：，求的值．
【答案】1
【解析】
【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果．
【详解】∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解．
23. 如图，△ABC中，D是BC上的一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.
(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)AD⊥BC.理由见解析； (2) 84.
【解析】
【分析】(1)根据AB＝10,BD＝6,AD＝8,可得BD2＋AD2＝AB2,根据勾股定理的逆定理可进行判定△ABD是直角三角形,即∠ADB＝90°,
(2) 在Rt△ACD中,根据CD2＝AC2－AD2＝172－82＝152,可得CD＝15,进而可得S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋CD)·AD＝×21×8＝84
【详解】(1)AD⊥BC.理由如下:
因为BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2,
所以△ABD是直角三角形,且∠ADB＝90°,
所以AD⊥BC.
(2)在Rt△ACD中,因为CD2＝AC2－AD2＝172－82＝152,所以CD＝15,
所以S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋CD)·AD＝×21×8＝84.
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理和直角三角形的面积,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的性质.
24. 若3是的平方根，是的立方根，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平方根的定义求得x的值，再根据立方根的定义求y，最后根据平方根的定义解答．
【详解】∵3是的平方根，∴2x﹣1=9，解得：x=5．
∵-3是y-3x的立方根，∴y-3x=﹣27，∴y=﹣12，∴3x+y=15+（﹣12）=3，∴3x+y的平方根是±．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
25. 如图，在ΔABC中，，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，则几秒后，的面积等于？
【答案】5秒后，的面积等于.
【解析】
【分析】设经过后，的面积等于.在中，根据勾股定理，得，根据面积公式可求出t.
【详解】解：设经过后，的面积等于.
在中，根据勾股定理，得，
所以.
所以.
解得.
故5秒后，的面积等于.
【点睛】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.根据勾股定理求出AC是解题关键.
26. 如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处与河岸的距离AC，BD分别为500m和300m，且C，D两处的距离为600m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？
【答案】牧童最少要走1000m.
【解析】
【分析】延长BD至，使，连接，的长即为牧童所走最短距离，再构造直角三角形用勾股定理求解即可.
【详解】解：如图所示，延长BD至，使，连接，的长即为牧童所走最短距离，作交DB延长线于.
在中，，，
∴，
∴m.
∴牧童最少要走1000m.
【点睛】本题考查的是轴对称之最短路线问题，解题的关键是根据题意作出图形，构造出直角三角形利用勾股定理求解.
27. 若，求的立方根.
【答案】2
【解析】
【分析】根据非负数的性质，分别求出x,y的值，然后再代入，即可解答．
【详解】由题意可知，且，则且，所以，所以，所以.
所以，其立方根为.
【点睛】此题考查立方根，非负数性质：偶次方，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.
28. 如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．
（1）求证：；
（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．
（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；
（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．
【小问1详解】
证明：由折叠的性质 ，得，，
在长方形纸片中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，，之间的关系是．理由如下：
由（1）知，由折叠的性质，
得，，．
在中，，