黑龙江省哈尔滨市南岗区第十七中学2022-2023学年上学期八年级期中测试数学(五四制)学科试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市南岗区第十七中学2022-2023学年上学期八年级期中测试数学(五四制)学科试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中是分式的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据分式的定义判断即可．
【详解】，，是整式，分母含有字母，是分式，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的运算法则逐项分析即可．
【详解】A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了整式的有关运算，熟练掌握合并同类项，幂的乘方，同底数幂的运算法则是解答本题的关键．
3. 下列四个数字图形，是轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】2、4、6无对称轴，8有对称轴，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、a+xb+x与不一定相等，不符合题意；
B、由分式的性质可知，符合题意；
C、与不一定相等，不符合题意；
D、与不一定相等，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟知分式的性质是解题的关键．
5. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式解答．
【详解】
故选:D.
【点睛】考查整式的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键.
6. 下列各式由左到右的变形中，是因式分解的有（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．是因式分解，符合题意；
B．是乘法运算，不符合题意；
C．的右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D． 是乘法运算，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．
7. 等腰三角形的一个外角是，则其底角是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用邻补角互补可求得与该外角相邻的内角的大小，然后判断出该内角应为等腰三角形的顶角，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出其底角的度数．
【详解】解：等腰三角形的一个外角是，
其相邻内角为：，
等腰三角形的底角不能为钝角，
该内角为顶角，
其底角为：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义，利用邻补角互补求角度，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．
8. 下列说法中不正确的是（ ）．
A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
B. 有两个角是的三角形是等边三角形
C. 三角形三边垂直平分线的交点到三边距离相等
D. 等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】利用等边三角形的判定、等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；
B、有两个角是的三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；
C、因为三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以原说法不正确，故符合题意；
D、等腰三角形底边上的高所在直线是它的对称轴，正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
9. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答．
【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键．
10. 如图，在中，，，于点D，下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（ ）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据含的直角三角形的性质：在直角三角形中，所对应的边等于斜边的一半；以及三角形的内角和为，判断即可得出答案
【详解】解：∵，
∴，
故①正确；
又∵
∴
∴
∴，，
故③，④正确；
∴
即
故②正确；
∴其中正确的结论有4个
故选：D．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共计30分）
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义，根据分式的分母不为零求解即可．
【详解】∵分式有意义，，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 当______时，分式的值为零．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，即可得到答案．
【详解】解：当分式的值为零时，
有，解得 ，
此时，
故答案为0．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，掌握分子为0，分母不为0是解题的关键．
13. 已知等腰三角形两边长分别为、．则它的周长是______．
【答案】22
【解析】
【分析】分两种情况，为腰和为腰，结合三角形的三边关系确定此等腰三角形的三边，再求周长即可．
【详解】解：如果等腰三角形三边长分别是、、，此时由于，故能构成三角形，此时三角形的周长为；
如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形．
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解答此题的关键是先分情况讨论三角形边长，然后再进一步解答．
14. 若ax=3，ay=4，则ax+y=________．
【答案】12
【解析】
【分析】同底数幂的乘法的逆用：再整体代入计算即可.
详解】解： ax=3，ay=4，

故答案为：12
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，掌握“同底数幂的乘法及其逆应用”是解本题的关键.
15. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，先提公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，则___________°．

【答案】30
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 已知，，则______．
【答案】17
【解析】
【分析】根据完全平方公式变形求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
18. 已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解．
【详解】解：a2﹣b2 +2b+9


故答案为：10
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键．
19. 已知在中，，，以为一边，在同一平面内作等边，连接，则的度数为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于．
分两种情况讨论：等边在的外侧时；等边在的内侧时；根据等边三角形的性质得出，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理求出的大小，再利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：分两种情况：
等边在的外侧时，
如图，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
等边在的内侧时，
推导过程与完全相同，
同理可求得；
故答案为：或．
20. 如图，在和中，，，点B、C、D在一条直线上，若，的面积是，则线段BD的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】作于点M，作于点N，证明可得，
再根据的面积是求出，从而可求线段BD的长．
详解】解：作于点M，作于点N，则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【解析】
【分析】先计算乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解．
详解】解：
当时，原式
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的顶点上，直线l在网格线上．
（1）在方格纸中画出关于直线l对称的，其中A、B、C的对应点分别为、、；
（2）画出，使为等腰三角形，且的面积5；
（3）连接、、，直接写出的面积S的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质确定点、、，再顺次连接即可；
（2）根据等腰三角形的定义和面积为5两个条件画图即可；
（3）画出图形，根据图形计算即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作的三角形，
【小问2详解】
解：如图，，
；
【小问3详解】
解：如图，
．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，等腰三角形的定义，以及三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的定义是解答本题的关键．
23. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
（3）求当时，此分式的值．
【答案】（1）第③步出现了错误
（2）见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可；
（2）根据分式混合运算的法则计算即可；
（3）把化简后代入（2）中结果计算．
【小问1详解】
解：第③不应为：，
故第③步出现了错误；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，零指数幂的意义，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
24. 在中，，点E在AB上，点D在BC上，，AD与CE相交于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图2中所有的等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2），，，．
【解析】
【分析】（1）根据AB=BC得，再依据SAS证明得，所以，故可得结论；
（2）由AB=BC可判断是等腰三角形；由可判断是等腰三角形；由可判断是等腰三角形；由可得CE=AD，所以CE=AC，故可判断是等腰三角形．
【详解】解：（1）证明：∵AB=BC
∴
在和△CEB中

∴
∴
∴，即
∴
（2）∵
∴是等腰三角形；
∵
∴是等腰三角形；
∵
∴是等腰三角形；
由（1）知
∴
∵
∴
∴∴是等腰三角形；
所以，等腰三角形有，，，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
25. 一个正方形的边长增加3，它的面积就增加39．
（1）求这个正方形的边长？
（2）若在原来的正方形里面种上单价为每平方米12元的A种花，在增加的面积上种植B种花，两种花预算总费用不超过1080元，求B种花每平方米最高多少元？
【答案】（1）这个正方形的边长为5
（2）B种花每平米最高20元
【解析】
【分析】（1）设正方形的边长为，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值即可；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【小问1详解】
解：设正方形的边长为，
根据题意得：，
整理得：，
即，
解得：，
则这个正方形的边长为5；
【小问2详解】
解：设B种花每平米y元，
根据题意得：，
解得：，
则B种花每平米最高20元．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次不等式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26. 如图，已知中，D是上一点，连接AD，，．
（1）判断的形状，并证明；
（2）如图，点F、G在线段AC上，，连接BF交AD于点K，过点A作交于点E，垂足为H，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接EF，，点F到EG的距离是8.5，求线段的长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）17
【解析】
【分析】（1）三角形的内角和定理求出，从而确定三角形的形状；
（2）由（1）推出，得到，构造，得到解题；
（3）由题意推出，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半进行解题．
【小问1详解】
解：在中，，
，
，
又，
，
,
是等腰直角三角形；
【小问2详解】
如图，过点C作的垂线交的延长线于点H，
，
，
又，
，
，
又，
(AAS)，
，
又
，
，
，
又
，
，
，
；
【小问3详解】
如图，过点F作交EG的延长线于点M，则，
，
即
在
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形边的关系，综合性强，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27. 平面直角坐标系中，如果一个点到两坐标轴距离相等，则该点称为“雁点”，例如、、、都称为“雁点”．
（1）如图，点，求第一象限内，线段的垂直平分线l上的“雁点”的坐标．
（2）如图，点、点，点是第一象限内的“雁点”，连接，当时，求“雁点”的坐标．
（3）如图，是等边三角形，点，点分别在边和的延长线上且，连接交轴于点，点为的中点，连接并延长交于点，点为轴上一点，连接与交于点，当为第四象限的“雁点”时，，求的面积．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得线段垂直平分线上的点横坐标为，根据定义即可求解；
（2）过点分别作轴，轴，证明，可得，设“雁点”的坐标为，列出方程，解方程即可求解；
（3）过点作，交的延长线于点，连接，连接，设，交于点，交于点，证明，得出是等边三角形，根据为第四象限的“雁点”，得出，进而证明，过点作的垂线，垂足为，则，得出平分，进而得出，则，则，，得出，即可求解．
即可求解．
【小问1详解】
解：∵点，
∴线段垂直平分线上的点横坐标为，
∴线段OA的垂直平分线l上的“雁点”D的坐标为或；
【小问2详解】
解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设“雁点”的坐标为，
∵点、点，
∴，
解得：，
∴“雁点”C的坐标为；
【小问3详解】
解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，连接，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
如图，过点作的垂线，垂足为，则（全等三角形对应边上的高相等），
∴平分，
∵，
∴，
则，
∴，
∵为第四象限的“雁点”，
∴，
∴，
∴，
则，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，设，边上的高为，则，
∴的面积为．
解：原式①
②
③
…