湖南省多校联考2024-2025学年八年级上学期月考卷（一）数学试题（湘教版）（解析版）-A4

这是一份湖南省多校联考2024-2025学年八年级上学期月考卷（一）数学试题（湘教版）（解析版）-A4，共16页。
考生注意：
1．本学科试卷分试题和答题卡两部分，满分120分．
2．请在答题卡上作答，答在试题上无效．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ）
A. 1，2，4B. 4，5，9C. 6，8，10D. 5，15，8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项判断即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解：A、，故1，2，4不能组成一个三角形，不符合题意；
B、，故4，5，9不能组成一个三角形，不符合题意；
C、，故6，8，10能组成一个三角形，符合题意；
D、，故5，15，8不能组成一个三角形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂，根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂相除、负整数指数幂的运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 代数式中的、都扩大10倍，则代数式的值 （ ）.
A. 扩大10倍B. 缩小10倍C. 不变D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【详解】解：把分式的，同时扩大10倍，得
，
∴分式的值扩大10倍．
故选：A．
4. 化简结果为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据分式的乘除运算法则计算即可得出结果．
【详解】解：原式，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 在生活中，其中没应用三角形稳定性的有（ ）
A. 晾衣架的结构B. 用窗钩来固定窗扇
C. 在栅栏门上斜着定根木条D. 商店的推拉活动防盗门
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性判断即可得解，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键．
【详解】解：A、晾衣架的结构，应用了三角形稳定性，故不符合题意；
B、用窗钩来固定窗扇，应用了三角形稳定性，故不符合题意；
C、在栅栏门上斜着定根木条，应用了三角形稳定性，故不符合题意；
D、商店的推拉活动防盗门，没有应用三角形稳定系，故符合题意；
故选：D．
6. 分式与最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
【详解】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：，
故选：C．
【点睛】本题考查最简公分母，解题关键是：需要掌握最简公分母的定义．
7. 若 则它们的大小关系是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂的性质、零指数幂的性质及有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，
∴它们的大小关系是：，
故选：A．
8. 如图，在中，已知点分别是的中点，且（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键．
【详解】解：点是的中点，
，，
，
，
为的中点，
，
故选：C．
9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里，
，
故选：B．
10. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A. B. 2C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简以及分式的增根，使分式的分母为0的未知数的值是增根，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵关于的分式方程有增根，
∴，
把代入
则
即
故选：A
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）．
11. 若分式的值为零，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出，，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，，
解得：，
故答案为：．
12. 若实数m、n满足，则________．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】此题主要考查了零次幂和负整数指数幂，关键是掌握零指数幂：，负整数指数幂：为正整数．
首先利用非负数的性质确定、的值，再利用零次幂和负整数指数数的性质进行计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得：，
，
故答案为：．
13. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用分式的基本性质进行通分，然后再进行同分母分式相减即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键．
14. 化简：÷＝_____．
【答案】x﹣1
【解析】
【分析】先利用平方差公式对第一项分子进行分解因式，然后将除法转化为乘法，继而约分即可求解．
【详解】解：原式＝
＝x﹣1
故答案为：x﹣1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟记法则和运算顺序是解决此题的关键．
15. 计算：_____________．
【答案】##0.875
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、有理数的乘法，先利用负整数指数幂将原式变形后，再利用有理数的乘方以及乘法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16. 如图，在中，平分．是外角的角平分线，若，则________．
【答案】25°##25度
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质可得，再由平分．是外角的角平分线，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
∵是的一个外角，
∴，
同理：，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
17. 观察给定的分式：……，猜想并探索规律，那么第n个分式是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是-2，…第n项是2n-1）；再看分母，后面一项是前面一项的x倍（第一项是x，第二项是x2，…第n项是xn）；据此可以找寻第n个分式的通式．
【详解】解：先观察分子：
1、21、22、23、…2n-1；
再观察分母：
x1、x2、x3…xn；
所以，第n个分式；
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的定义．解答此题的关键是找出分子分母的变化规律．找其中的规律采用了归纳法．
18. 已知，，，…，若的值为2022，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把a1代入a2中计算得到结果，把a2代入a3中计算得到结果，依次类推得到一般性规律，根据题意确定出x的值即可．
【详解】解：把a1=x+1代入得；，
把代入得：，
把代入得：，
依次类推，结果以x+1，，循环，
∵2022÷3=674，
∴a2022==2022，
去分母得：x=2022（x+1），
去括号得：x=2022x+2022，
解得：．
经检验，是方程的解且符合题意，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解分式方程，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
三、计算题（本大题共2小题，第19题4分，第20题8分，共12分）．
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
，
．
20 计算：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）原式＝－＝＝；
(2)原式＝·＝－·＝－.
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-b5；（2）﹣y.
【解析】
【分析】（1）先去括号，再根据分式的约分法则运算即可得出答案；
（2）先因式分解，再根据除法的运算法则将分子和分母调换位置，最后进行约分，即可得出答案.
【详解】解：（1）原式
（2）原式
【点睛】本题主要考查的是分式的四则运算，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除.
22. 化简求值：，其中实数满足．
【答案】，
【解析】
【分析】首先把除法转化为乘法，计算乘法，然后进行通分相减即可化简，根据已知可以得到a2+2a+1=16，，代入化简以后的式子即可求解．
【详解】解：原式=﹣•
=﹣
=
=．
∵a2+2a-15=0，
∴a2+2a+1=16，
∴原式===；
∴分式的的值为．
【点睛】本题综合考查了分式的化简与整体代入的思想．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．
五、解答题（本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
23. 在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．
【答案】15°
【解析】
【分析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形内角和求出∠A，再求出∠ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．
【详解】∵∠A＝∠B＝∠ACB，
设∠A＝x，
∴∠B＝2x，∠ACB＝3x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－30°＝60°，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
24. 为了“每天锻炼1小时，健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师的家距学校的路程是9千米；在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校．
（1）求王老师骑自行车的平均速度；
（2）王老师是否达到每天锻炼1小时的标准，若达到请说明理由；若没达到，请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时？
【答案】（1）12千米/小时
（2）1小时
【解析】
【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，由题意：王老师每天骑自行车上班要比开车早出发小时，才能按原驾车时间到达学校．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出王老师骑自行车上班、下班所需要的时间，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时．
【小问2详解】
解：王老师达到每天锻炼1小时的标准，理由如下：
由（1）可知，王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时，
则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为（小时），
王老师骑自行车上下班共需要的时间为（小时），
，
王老师达到每天锻炼1小时的标准．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，找出等量关系式进行正确求解是解题的关键．
六、解答题（本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
25. 计算：
（1）已知，，求的值．
（2）若n为正整数，且，求的值．
【答案】（1）9 （2）2450
【解析】
【分析】（1）根据幂的乘方法则和同底数幂除法法则的逆用计算即可；
（2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则的逆用解答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
∵n为正整数，且，
∴
【点睛】本题考查了逆用幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握同底数幂的除法，幂的乘方运算法则是解题关键．
26. 观察下列算式，
第一个式子；
第二个式子；
第三个式子；
第四个式子
根据你发现的规律解决下列问题：
（1）写出第个算式：_______（为正整数）
（2）______（，为正整数且）
（3）若，试求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性．
（1）根据题中所给等式关系，即可分别求解；
（2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解；
（3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解；
【小问1详解】
解：根据第一个式子；
第二个式子；
第三个式子；
第四个式子
根据以上规律可得第个算式为：；
【小问2详解】
解： 根据（1）中规律，
则；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
则
．