专题22 平面向量的概念及线性运算5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
5．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
6．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
7．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
一、单选题
1．（2024高三上·安徽·期中）已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三上·云南德宏·期末）已知为的边的中点.若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三上·青海西宁·期末）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．B．C．6D．
4．（2024·江苏南京·模拟预测）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，互为相反向量，则
C．空间中两平行向量相等D．在四边形ABCD中，
6．（2024高三上·浙江·阶段练习）已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024高三·全国·对口高考）给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若，则；
④若，，则；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．（2024高一下·江西九江·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2024·海南）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·山东潍坊·模拟预测）在中，，点为的中点，设，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024高二上·云南大理·期末）已知在中，点在边上，且，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高三上·重庆·阶段练习）在中，为边上的中线，，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·河南·模拟预测）在等腰梯形中，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国·模拟预测）在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·山西·一模）已知矩形中，为边中点，线段和交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024高三上·广东·开学考试）在中，已知，，与交于，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，点是上靠近的四等分点，与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
20．（2024高三上·山东滨州·期中）已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
21．（内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2024届高三上学期第二次月考数学试题）已知向量不共线，，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线
22．（2024·河南·三模）已知、、均为非零向量，且，，则（ ）
A．与垂直B．与同向C．与反向D．与反向
23．（2024高三上·安徽亳州·期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A．B．C．D．1
24．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
25．（2024高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形ABCD中，，，则（ ）
A．5B．6C．－5D．－6
26．（2024·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
28．（2024高三上·河南·阶段练习）如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三上·福建·阶段练习）在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．1
30．（2024高一下·陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
31．（2024高一下·上海·课后作业）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
32．（2024高一下·山西朔州·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则与的方向相反
D．若，则
33．（福建省南平市高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
34．（2024高一·全国·课后作业）若，则，，（ ）
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形
B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形
D．一定可构成三角形
35．（2024·山东泰安·模拟预测）在中，点为中点，点在上且.记，则（ ）
A．B．C．D．
36．（2024·河北邯郸·三模）已知等腰梯形满足，与交于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
37．（2024·河北·模拟预测）已知为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
38．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
39．（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
40．（2024高一下·全国·阶段练习）如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ）
A．B．C．D．
41．（2024高一下·四川泸州·期末）在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
42．（2024·河南·三模）已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024·广东广州·模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
44．（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
45．（2024高三·山西·阶段练习）如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（ ）
A．B．C．D．
46．（2024·湖北武汉）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则的值为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
47．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，为上一点，为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值是（ ）
A．8B．10C．13D．16
48．（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题）已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
49．（2024高三·全国·专题练习）已知直线上有三点，，，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题
50．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
51．（2024高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则
B．若与共线，则或
C．若，为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
52．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．的充要条件是且
D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
53．（2024高一下·湖南张家界·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．平行向量就是共线向量
B．相反向量就是方向相反的向量
C．与同向，且，则
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
54．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．的充要条件是且
D．已知λ，μ为实数，若，则与共线
三、填空题
55．（2024·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

56．（2024高三·全国·专题练习）下列命题正确的是 ．（填序号）
①向量、共线的充要条件是有且仅有一个实数，使；
②在中，；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量、不共线，则向量与向量必不共线．
57．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
58．（2024高三·全国·专题练习）在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 .
59．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 .
60．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①若与是共线向量，则与也是共线向量；
②若，则与是共线向量；
③若，则与是共线向量；
④若，则与任何向量都共线．
其中为真命题的有 (填序号)．
61．（2024高一下·安徽合肥·期中）设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为 .
62．（2024高三上·河南·专题练习）已知平行四边形中，点为线段的中点，交于点，若，则 ．
63．（2024高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在梯形中，，则 ．
64．（2024高三下·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则 .

65．（2024高三下·全国·专题练习）已知平面四边形满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则 .
66．（2024高三下·全国·专题练习）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则 .
67．（2024高三上·四川南充·阶段练习）在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
68．（2024高三上·江苏南通·期中）在中，为边上的中线，为上一点，且，若，且（），则 ．
69．（2024高三上·福建莆田·阶段练习）在边长为的等边中，在边上，延长到，使得，若（其中为常数），则 .
四、解答题
70．（2024高三·全国·专题练习）在平行四边形中，，为的中点，延长交于点，若，求的值.

71．（2024高一下·河北张家口·阶段练习）如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；
(2)若，求证：三点共线.
72．（2024高三上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，已知.
(1)用向量分别表示与；
(2)证明：三点共线.
73．（2024高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
74．（2024高三上·广东广州·开学考试）向量与能作为平面向量的一组基底.
(1)若，， ，证明三点共线
(2)若与共线，求的值
75．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
76．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ