专题32 空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：在同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
6．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
常用结论
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
一、单选题
1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
2．（2024·广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是
A．与，都相交B．与，都不相交
C．至少与，中的一条相交D．至多与，中的一条相交
3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（ ）
A．0B．0或1C．1D．2
4．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体中，分别为棱的中点，连接，对空间任意两点，若线段与线段都不相交，则称两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．点B．点C．点D．点
5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A．B．C．与相交D．
6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）.
A．相交B．平行C．异面D．无法确定
7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（ ）
A．对B．对
C．对D．对
8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（ ）
A．18B．21C．24D．27
9．（2024高一·全国·课后作业）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行
10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（ ）
A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有（ ）
A．①③B．②③C．②④D．②③④
12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内D．有无数条，不一定在平面内
13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形沿斜边
的中线折起得到空间四面体，如图(2)，则在空间四面体中, 与的位置关系是（ ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台中，、、、分别为棱，，，的中点，对空间任意两点、，若线段与线段、都不相交，则称点与点可视，下列选项中与点可视的为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·全国）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
16．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）

A．B．C．D．
17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m∥β”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知，，是正方体的棱，，的中点，则平面截正方体所得的截面是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
20．（2023届上海春季高考练习）如图，P是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ）
A．B．C．D．
21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（ ）
A．m与n异面B．m与n相交
C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能
22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（ ）
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线.
②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定个平面.
A．B．C．D．
23．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.
B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.
D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.
24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（ ）
A．①B．①④C．②③D．③④
25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；
②平面内存在与直线l垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线l平行；
④平面内所有直线均与直线l相交.
A．1B．2C．3D．4
26．（2024高一·全国·课后作业）直线是平面外的一条直线，下列条件中可推出的是
A．与内的一条直线不相交B．与内的两条直线不相交
C．与内的无数条直线不相交D．与内的任意一条直线不相交
27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）
A．直线与直线CP可能相交B．直线与直线CP始终异面
C．直线与直线CP可能垂直D．直线与直线BP不可能垂直
28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高一上·全国·专题练习）M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有
A．l∥αB．l⊂α
C．l与α相交D．以上都有可能
30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体中，点Р是侧面上的点，且点Р到棱与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（ ）
A．B．5C．D．8
31．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线与所成角的余弦值为；②点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为；③过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为；④当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为．则正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
32．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，，，既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ）

A．直线与是相交直线B．直线与是平行直线
C．直线与是异面直线D．直线与是异面直线
37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（ ）部分．
A．5B．6C．7D．8
40．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点E、F使得B．平面ABCD
C．的面积与的面积相等D．三棱锥A-BEF的体积为定值
三、填空题
41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.
其中真命题的序号是 .
42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线平面于，直线，则与平面的关系是 ．
43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为 ．
46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 .
47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为 .
49．（2024高一·全国·课后作业）“直线与平面没有公共点”是“”的 条件．
50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有 组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有 个.
52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是 ．
53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线与所成角的大小是
四、解答题
54．（2024高一·全国·课后作业）已知：，，，，，．求证：直线共面于．
55．（2024高一·全国·课后作业）如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：，必相交且交点在直线上．
56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且．
(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；
(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．
57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？
58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.

62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是和的中点，求证：四边形为平面图形．
63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体中．画出平面与平面及平面与平面的交线．
65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．
66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.

(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平面内
a⊂α
无数个
平面与平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
（一）
共面、共线、共点问题的证明
(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点
题型1：基本事实的应用
1-1．（2024高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：

(1)，，，四点共面；
(2)与的交点在直线上．
1-2．（2024高一下·云南楚雄·期中）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH，相交于一点．
1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
（二）
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成角的方法
方法
解读
平移法
将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线， 形成三角形求解
补形法
在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
题型2：空间位置关系的判断
2-1．（2024高三·全国·对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线
2-2．【多选】（2024·全国·模拟预测）如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（ ）
A．B．
C．直线，是异面直线D．直线，是相交直线
2-3．【多选】（2024·湖北荆门·模拟预测）已知，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则
C．若且，则直线
D．若直线，直线，则a与b为异面直线
2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面
D．直线始终与直线异面
题型3：异面直线所成的角
3-1．（2024高二上·上海浦东新·期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是 .
（1）直线与直线相交；
（2）直线与直线平行；
（3）直线与直线是异面直线；
（4）直线与直线成角.
3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的大小为 ．
3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ．
3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形沿对角线翻折，得到空间四边形，若，则直线与所成角的大小可能为 .（写出一个值即可）
3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段的两端分别在直二面角的两个面内，且与这两个面都成角，则直线与所成的角等于 ．
（三）
空间几何体的切割(截面)问题
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
题型4：空间几何体的切割(截面)问题
4-1．（2024·河南新乡·三模）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则这两部分中大的体积与小的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
4-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，分别为，的中点，则下列结论正确的个数为（ ）
①平面 ；②；③直线与所成角的余弦值为
④过三点的平面截正方体所得的截面为梯形
A．1B．2C．3D．4
4-3．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（ ）
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
4-4．（2024高三下·北京东城·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点），

①异面直线与AF所成角可以为
②当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．①④
4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
（四）
等角定理的应用
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
题型5：等角定理的应用
5-1．（2024高一下·江苏常州·阶段练习）已知空间中两个角，且，若，则 .
5-2．（2024高二·全国·课后作业）若空间两个角与的两边对应平行，当时，则 ．
5-3．（2024高一·全国·专题练习）过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条．
5-4．（湖北省2023-2024学年高三下学期3月调研数学试题）在棱长均相等的四面体中，为棱不含端点上的动点，过点A的平面与平面平行若平面与平面，平面的交线分别为，，则，所成角的正弦值的最大值为 ．