专题41 直线与圆、圆与圆的位置关系8题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
一、单选题
1．（2024·陕西宝鸡·二模）直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
2．（2024·江西·模拟预测）设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·北京）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
4．（2024高二上·黑龙江鹤岗·期中）圆上到直线的距离为的点共有
A．个B．个C．个D．个
5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3B．8C．4D．9
6．（2024·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2024·山西·模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
8．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2024·江西上饶·一模）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不能确定
10．（2024·四川成都·一模）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切B．相交C．相离D．无法确定
11．（2024高二上·广东珠海·期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高二上·四川内江·期中）已知点P在圆上，点，，则错误的是（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
13．（2024·河南·模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（ ）
A．1B．C．D．2
14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知直线与轴和轴分别交于A，两点，以点A为圆心，2为半径的圆与轴的交点为（在点A右侧），点在圆上，当最大时，的面积为（ ）
A．B．8C．D．
15．（2024·四川成都·模拟预测）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（ ）
A．2B．3C．或D．2或4
16．（2024·全国）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
17．（2024·全国）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024高二下·河北衡水·期末）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024高三下·江苏南京·开学考试）过抛物线上一点作圆的切线，切点为、，则当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
20．（湖南省常德市第一中学2022届高三考前二模数学试题）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
21．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
22．（2024·安徽黄山·二模）若圆关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·贵州毕节·一模）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
24．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
25．（2024高三·北京·强基计划）如图，过椭圆上一点M作圆的两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
26．（2024·黑龙江大庆·三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
27．（2024·河南·模拟预测）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
28．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆：，点M在抛物线：上运动，过点引直线与圆相切，切点分别为，则下列选项中能取到的值有（ ）
A．2B．C．D．
三、填空题
29．（2024·天津南开·二模）若直线与圆相切，则 .
30．（2024高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知分别是圆，圆上动点，是直线上的动点，则的最小值为 ．
31．（2024高三上·天津滨海新·阶段练习）已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为 .
32．（2024·福建福州·模拟预测）写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程 .
33．（2024高三上·广东梅州·阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是 .
34．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，则 .
35．（河北省石家庄部分重点高中2023届高三下学期3月月考数学试题）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为 .

36．（2024·江西·模拟预测）已知圆的方程为，若直线与圆相交于两点，则的面积为 .
37．（2024·河北邯郸·二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是 .
38．（2024·广东广州·三模）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ．
39．（2024高三下·江西南昌·阶段练习）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程为 .
40．（2024·河南郑州·模拟预测）已知圆，直线与圆C相交于M，N两点，则 ．
41．（2024高二下·新疆·期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
42．（2024高三上·福建福州·期中）已知是圆上两点，若，则的最大值为 .
43．（2024高三上·广东·阶段练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是 ．
44．（2024高二上·河北石家庄·期中）已知圆C：与直线l：交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是 .
45．（2024高三下·安徽亳州·开学考试）若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为 ．
46．（2024·江苏无锡·三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
47．（2024·四川成都·二模）若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为 ．
48．（2024·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为
49．（2024高二上·上海浦东新·期中）已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是 ．
50．（2024·河北邯郸·一模）已知点，，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）．
51．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆与直线相切，函数过定点，过点作圆的两条互相垂直的弦，则四边形面积的最大值为 .
52．（2024高二下·广东广州·期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 .
53．（2024·福建宁德·模拟预测）已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
54．（2024高三下·上海徐汇·阶段练习）若，则的最小值为 .
55．（2024高三·全国·专题练习）点，到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
56．（2024高三下·湖南·阶段练习）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程： .
57．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ．
58．（2024高三上·浙江丽水·期末）已知圆与圆相交于两点，则 .
59．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 .
60．（2024高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦的长为 ．
61．（2024高三下·浙江·阶段练习）从抛物线上一点作圆：得两条切线，切点为，则当四边形面积最小时直线方程为 .
62．（2024高三·河南·阶段练习）已知函数的图象恒过定点A，圆上两点，满足，则的最小值为 ．
63．（2024·安徽阜阳·三模）已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 .
四、解答题
64．（2024高二上·山东潍坊·阶段练习）已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
问题：是否存在唯一的圆过点且___________，并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
65．（2024·全国）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积．
66．（2024高二上·浙江杭州·期中）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为
(1)求圆C方程;
(2)过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是为坐标原点，求直线l的方程.
67．（2024高二·全国·课后作业）已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|